المتتاليات والمتسلسلات: الحساب ، الهندسة ، أمثلة على المشكلات ، المناقشة

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية في الرياضيات هي أنواع المتتاليات وسلسلة الأرقام حيث الرقم التالي هو إضافة الرقم السابق برقم مختلف تأكيد.

على سبيل المثال 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ،... .. يمكن أيضًا التعبير عن هذا التسلسل الحسابي باستخدام الصيغة التالية:

أ ، أ + ب ، أ + 2 ب ، أ + 3 ب ،…. لمزيد من المعلومات حول التسلسلات والمتسلسلات ، راجع المناقشة التالية.

صف حسابي

تعريف الخطوط

التسلسل هو تسلسل أعضاء مجموعة بناءً على قاعدة معينة.

في كل عضو من المجموعة سيتم فرزها بالترتيب أو شروط الأول والثاني وهكذا.

للتعبير عن تسلسل أو الحد التاسع من التسلسل ، يمكننا الإشارة إليه بالرمز: يو_ن .

يمكن أيضًا تفسير المتتاليات على أنها دالة للأعداد الطبيعية أو وظائف مجالها عبارة عن مجموعة من الأعداد الطبيعية. لهذا السبب، يو_ن = و (ن)

أمثلة على المشاكل:

على سبيل المثال: U_ن = (2n + 1) ، إذن الحد الرابع من الصف هو U₄ = (2(4) + 1) = 9.

التسلسل هو مجموعة يكون أعضاؤها نتيجة التعيين من الأرقام الطبيعية.

instagram viewer

مثال على الخط كما يلي:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• 2, 5, 8, 11, 14, 17
• 13, 11, 9, 7, 5, 3
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
• 2, 4, 8, 16, 32, 64

فهم الصفوف الحسابية

صف حسابي هو صف حيث يتم الحصول على القيمة في كل مصطلح من المصطلح السابق عن طريق إضافة أو طرح رقم ب.

الفرق بين قيم الحدود المتجاورة هو نفسه دائمًا ، أي ب.

ثم:

يو_ن - يو (_{ن -1)} = ب

على سبيل المثال ، الصفوف 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، هي صفوف حسابية ذات قيم:

ب = (9-7) = (7-5) = (5-3) = (3-1) = 2

لمعرفة قيمة الحد النوني من المتتالية الحسابية ، يمكننا معرفة ذلك من خلال معرفة قيمة الحد k والفرق بين الحدين المتجاورين (ب).

الصيغة مدرجة أدناه:

يو_ن = يو_ك + (ن - ك) ب

إذا كان ما هو معروف هو قيمة المصطلح الأول U_ك = أ والفرق بين المصطلحين (ب) ، ثم قيمة k = 1 وأيضًا قيمة يو_ن = هو

يو_ن = أ + (ن - 1) ب

التسلسل الحسابي للقبيلة الوسطى

إذا كان هناك متتالية حسابية تحتوي على عدد فردي من (n) حد ، فإن المصطلح الأول a وكذلك المصطلح الأخير U_ن ثم على المدى المتوسط ​​U_ر من الخط على النحو التالي.

يو_ر = 1/2 (أ + ش_ن)
مع ر = 1/2 (ن + 1)

صيغة الحد النوني من المتتالية الحسابية
يو_ن = أ + (ن - 1) ب 
معلومة:
يو_{ن =} القبيلة التاسعة
أ = الفترة الأولى
ب = مختلف
ن = العديد من المصطلحات

إدراجات في المتواليات الحسابية

إذا تم إدخال متتالية حسابية بين المصطلحين k بحيث يتم تكوين تسلسل حسابي جديد. ثم سيتغير الاختلاف في المتتالية الحسابية بعد إدخال حد k.

الفرق من هذا التسلسل الحسابي بعد إدخال حدود k هو كما يلي.

ب '= ب / (ك + 1) 

معلومة:

ب '= فرق التسلسل الحسابي بعد إدخال حدود k
k = عدد المصطلحات المدرجة

ستتغير أيضًا العديد من مصطلحات المتتالية الحسابية التي تم إدراجها ضمن حدود k ، لتكون على النحو التالي.

ن '= ن + (ن - 1) ك 

معلومة:

n '= هو عدد حدود المتوالية الحسابية الجديدة.
n = هو عدد شروط المتوالية الحسابية القديمة.

المتوالية العددية

تعريف السلسلة

صف هو مجموع أعضاء التسلسل.
مثال على سلسلة:

• 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
• 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
• 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3

تعريف المتسلسلة الحسابية

المتوالية العددية هو مجموع شروط المتتالية الحسابية. يمكن حساب مجموع المصطلحات الأولى إلى الحد التاسع من المتتالية الحسابية على النحو التالي:

س_ن = يو₁ + يو₂ + يو₃ + …. + يو_{(ن -1)}

أو ك =

س_ن = أ + (أ + ب) + (أ + 2 ب) +…. + (أ + (ن - 2) ب) + (أ + (ن - 1) ب)

إذا كان من المعروف فقط أن قيمة a هي المصطلح الأول وقيمته هي المصطلح التاسع ، فإن قيمة السلسلة الحسابية هي:

س_ن = ن / 2 (أ + ش_ن)

يمكننا عكس هذه المعادلة لإيجاد قيمة الحد التاسع على النحو التالي:

س_ن = يو₁ + يو₂ + يو₃ + …. + يو_{(ن -1)}

س_{(ن -1)} = يو₁ + يو₂ + يو₃ + …. + يو_{(ن -1)}

س_ن - س_{(ن -1)} = يو_ن

لذلك سوف نحصل على الصيغة النهائية على النحو التالي:

يو_ن = S._ن - س_{(ن -1)}

المتسلسلة الحسابية هي مجموع مصطلحات المتتالية الحسابية. يُشار إلى المتسلسلة الحسابية لأول حد n بالحرف S_ن ولها الصيغة التالية.
س_ن = ن / 2 (أ + ش_ن) 
أو
س_ن = ن / 2 (2 أ + (ن - 1) ب) 
معلومة:
س_{ن =} مجموع المصطلحات n الأولى
أ = الفترة الأولى
يو_{ن =} المصطلح التاسع أو الفصل الأخير
ب = مختلف
ن = العديد من المصطلحات

الهندسة

التسلسل الهندسي هو تسلسل تكون فيه المقارنة بين حدين متتاليين ثابتة دائمًا.

يتم استدعاء المقارنة بين المصطلحين المتتاليين نسبة، والذي يُشار إليه عادةً باستخدام الحرف ص.

الصيغة العامة للنسبة في الهندسة وهي:

صيغة الحد النوني في متوالية هندسية

يو_ن = ar^{ن - 1}

معلومة:

يو_ن هو المصطلح nth.
أ هو المصطلح الأول.
ص هي النسبة.
ن هو عدد المصطلحات.

المصطلح المركزي للتتابع الهندسي

إذا كان للمتتالية الهندسية عدد فردي من حد (n) ، فإن الحد الأول a ، والحد الأخير U_ن ثم على المدى المتوسط ​​U_ر من الخط على النحو التالي.

صيغة الحد الأوسط من المتتالية الهندسية:

إدراجات في متواليات هندسية

إذا تم إدخال حد k بين متتابعين هندسيين ، فسيتم تكوين تسلسل هندسي جديد بحيث تتغير نسبة المتواليات الهندسية بعد إدخال حد k.

نسبة التسلسل الهندسي بعد إدخال مصطلحات k هي كما يلي:

معلومة:

r 'هي نسبة المتواليات الهندسية بعد إدخال حد k.
k هو عدد المصطلحات المدرجة.

ستتغير أيضًا العديد من مصطلحات التسلسل الهندسي التي تم إدراجها ضمن حدود k ، لتكون مثل المصطلح أدناه:

ن '= ن + (ن - 1) ك 

معلومة:

n 'هو عدد حدود المتوالية الهندسية الجديدة.
ن هو عدد حدود المتسلسلة الهندسية القديمة.

سلسلة الهندسة

المتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود المتسلسلة الهندسية. يُشار إلى المتسلسلة الهندسية لأول حرف n باستخدام الحرف S_ن ولها الصيغة التالية:

معلومة:

س_ن هو مجموع أول n حد.
أ هو المصطلح الأول.
ص هي النسبة.
ن هو عدد المصطلحات.

سلسلة هندسية لانهائية

يُطلق على التسلسل الهندسي بنسبة بين -1 و 1 اسم تسلسل الهندسة المتقاربة.

يمكننا حساب السلسلة الهندسية للمتواليات الهندسية المتقاربة وعدد لا نهائي من المصطلحات باستخدام الصيغة أدناه:

معلومة:

أ هو المصطلح الأول.
ص هي نسبة مع الشرط -1

علاقة المتتاليات والمتسلسلات

• يو_ن = S._ن - س_{ن - 1}
• يمكننا الحصول على فرق متتالية حسابية من المشتق الثاني لسلسلة حسابية.

أمثلة على الأسئلة ومناقشة المتسلسلات والمتسلسلات

المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

المشكلة 1. المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

المتتالية الحسابية لها عدد فردي من الحدود. إذا كان الحد الأول هو 4 أو الحد الأخير هو 20 ، فإن الحد الأوسط هو ...

أ. 12
ب. 8
ج. 10
د. 16

إجابه:

أ = 4
Un = 20
Ut = a + Un2 = 20 + 42 = 12

الجواب: أ

السؤال 2. المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

المتتالية الحسابية لها سبعة حدود. إذا كان الحد الأول وقيمة الفرق 2. احسب المدى المتوسط؟

أ. 9
ب. 8
ج. 10
د. 12

إجابه:

أ = 2
ب = 2
ن = 7
Ut = a + (n-1) b2 Ut = a + (n-1) b2 = 2 + (7-1) 22 = 8

مشكلة 3. المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

الحد الخامس عشر من التسلسل: 2 ، 5 ، 8 ، 11 ، 14 ،... هو ...

أ 41
ب 44
ج 45
د 47

إجابه:

التسلسل أعلاه هو تسلسل حسابي لأنه يحتوي أيضًا على فرق ثابت جدًا.

• المصطلح الأول = أ = U1 = 2
• الفرق هو = ب = U2 - U1 = 5–2 يساوي 3

المصطلح الخامس عشر = U15
Un = a + (n - 1) b
ق 15 = 2 + (15-1) 3
= 2 + 14. 3
= 2 + 42
= 44

السؤال 5. المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

الحد 45 من تسلسل الأرقام: 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، 19 ،... هو ...

أ. - 179
ب - 173
ج 173
د 179

إجابه:

التسلسل أعلاه هو متتالية حسابية ، لأن العديد منها لها نفس الاختلاف.

• المصطلح الأول = أ = 3
• الفرق = ب = U2 - U1 = 7–3 يساوي 4

Un = a + (n - 1) b
ق 45 = 3 + (45-1) 4
= 3 + 44. 4
= 3 + 176
= 179

السؤال 6. المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

الحد الخمسون من التسلسل: 20 ، 17 ، 14 ، 11 ، 8 ،... هو ...

أ. - 167
ب - 127
ج 127
د 167

إجابه:

التسلسل أعلاه هو متتالية حسابية ، لأن العديد منها لها نفس الاختلاف.

• المصطلح الأول = أ = 20
• الفرق هو = ب = U2 - U1 = 17-20 يساوي -3

Un = a + (n - 1) b
ق 50 = 20 + (50-1) -3
= 20 + 49. (-3)
= 20 + (-147)
= -127

السؤال 7. المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

صيغة الحد النوني من المتتالية الحسابية 94 ، 90 ، 86 ، 82 ،... هي ...

أ. Un = 90 + 4n
ب. Un = 94 + 4n
ج. Un = 94 - 4n
د. Un = 98 - 4n

إجابه:

• الحد الأول = أ = 94
• الفرق = ب = 90-94 يساوي -4

المصطلح التاسع هو:
Un = a + (n-1) ب
= 94 + (ن -1) -4
= 94 + (-4 ن) + 4
= 94 + 4 - 4 ن
= 98-4 ن

السؤال 8. المتتاليات والمتسلسلات الحسابية

ومن المعروف أيضًا أن المتسلسلة الحسابية 17 ، 20 ، 23 ، 26 ،... مجموع أول 30 مصطلحًا من السلسلة هو ...

أ. 1.815
ب. 2.520
ج. 2.310
د. 2.550

إجابه:

• المصطلح الأول = أ = 17
• الفرق = ب = U2-U1 = 20-17 يساوي 3
• مجموع أول 30 حدًا = S30

Sn = n / 2 (2a + (n-1) ب)
S30 = 30/2 (2.17 + (30-1) 3)
= 15 (34 + 29.3)
= 15 (34 + 87)
= 15.121
= 1.815

المشكلة 9.

من المعروف أن المتسلسلة الحسابية بالصيغة Sn = 2n ^ 2 + 3n. الفرق بين المتسلسلة الحسابية هو ...

أ. 3
ب. 4
ج. 5
د. 9

إجابه:

يمكننا إيجاد الفرق بطرح عدد المصطلحين (S2) بعدد المصطلح الأول (S1) ، بحيث:

Sn = 2n ^ 2 + 3n
S2 = 2.2 ^ 2 + 3.2
= 2.4 + 6
= 8 + 6
= 14

Sn = 2n ^ 2 + 3n
S1 = 2.1 ^ 2 + 3.1
= 2.1 + 3
= 2 + 3
= 5

الفرق = ب = S2-S1
= 14 – 5
= 9

السؤال 10.

إعطاء تسلسل حسابي. الحد الأول من المتتابعة هو 25 أو الحد الحادي عشر هو 55.

الحد 45 من التسلسل هو ...

أ. 157
ب. 163
ج. 169
د. 179

إجابه:

U1 = a = 25

ق 11 = 55
أ + (11-1) ب = 55
25 + 10 ب = 55
10 ب = 55-25
10 ب = 30
ب = 30/10
ب = 3

بعد ذلك ، يُطلب منا البحث عن U-45 ، بحيث:
Un = a + (n-1) ب
ق 45 = 25 + (45-1) 3
= 25 + 44.3
= 25 + 132
= 157

الجواب: أ.

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

المشكلة 1. المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

إعطاء تسلسل هندسي لإيجاد المصطلح Un.

أوجد الحد العاشر Un في التسلسل 1/8، 1/4، 1/2،…. الذي - التي!

إجابه:

معروف:

• = ص = 1/4: 1/8 = 1/4 × 8 = 2 (نسبة)
• أ = 1/8

حل:

• Un = arn - 1
• Un = 1/8. 2 (10 – 1) = 1/8. 29 = 2 – 3. 29 = 26 = 64

لهذا السبب، مصطلح الأمم المتحدة العاشر = 64 

السؤال 2.

من المعروف أن الأميبا تنقسم إلى 2 كل 6 دقائق ، فما هو عدد الأميبا بعد ساعة واحدة إذا كان هناك في البداية 2 أميبا فقط.

عد مصطلح الأمم المتحدة لعدد الأميبا!

إجابه:

معروف:

• أ = 2
• ص = 2
• ن = (1 ساعة / 6 دقائق) + 1 = 11

حل:

• Un = arn - 1
• Un = 2. 2 11 – 1 = 210 = 1024 قطعة من الأميبا

لهذا السبب، قبيلة Un للبحث عن الأميبا أعلاه = 1024 قطعة من الأميبا

مشكلة 3.

بالنظر إلى تسلسل هندسي لإيجاد الحد Un

أوجد الحد السابع Un من التسلسل 3، 6، 2،…. الذي - التي!

إجابه:

معروف:

• أ = 3
• ص = 2

حل:

• Un = ar^{(ن -1)}
• Un = 3.2^(7-1)
• U7 = 3.2^(7-1)
• U7 = 192

لهذا السبب، الحد السابع عشر من الأمم المتحدة هو = 192 

المشكلة 4.

بالنظر إلى تسلسل هندسي لإيجاد الحد Un

أوجد الحد السابع Un في التسلسل 48، 24، 12،…. الذي - التي!

إجابه:

معروف:

• أ = 48
• ص = 1/2

حل:

• Un = ar^{ن -1}
• Un = 48. (1/2)^{ن -1}
• Un = 48. (1/2)^{ن -1}
• Un = 48. (2^-1)^{1 ن}
• Un = 3.16. (2)^{1 ن}
• U7 = 3.2⁴ (2)^{1 ن}
• U7 = 3.2^{5 ن}

لهذا السبب، مصطلح الأمم المتحدة السابع = 3.2^{5 ن}

السؤال 5.

يوجد تسلسل هندسي لإيجاد المصطلح Un.

احسب الحد السابع Un من المتتالية 44 ، 24 ، 12 ،…. الذي - التي!

إجابه:

معروف:

• أ = 44
• ص = 1/2

حل:

• Un = ar^{ن -1}
• Un = 44. (1/2)^{ن -1}
• Un = 44. (1/2)^{ن -1}
• Un = 44. (2^-1)^{1 ن}
• Un = 3.8. (2)^{1 ن}
• U7 = 3.2³ (2)^{1 ن}
• U7 = 3.2^{4 ن}

لهذا السبب، مصطلح الأمم المتحدة السابع = 3.2^{4 ن}

السؤال 6.

بالنظر إلى تسلسل هندسي لإيجاد الحد Un

أوجد الحد السابع Un في المتتالية 42، 24، 12،…. الذي - التي!

إجابه:

معروف:

• أ = 42
• ص = 1/2

حل:

• Un = ar^{ن -1}
• Un = 42. (1/2)^{ن -1}
• Un = 42. (1/2)^{ن -1}
• Un = 42. (2^-1)^{1 ن}
• Un = 3.4. (2)^{1 ن}
• U7 = 3.2² (2)^{1 ن}
• U7 = 3.2^{3 ن}

لهذا السبب، مصطلح الأمم المتحدة السابع = 3.2^{3 ن}

السؤال 7.

بالنظر إلى تسلسل هندسي لإيجاد الحد Un

أوجد الحد السابع Un في المتتالية 58، 24، 12،…. الذي - التي!

إجابه:

معروف:

• أ = 48
• ص = 1/2

حل:

• Un = ar^{ن -1}
• Un = 58. (1/2)^{ن -1}
• Un = 58. (1/2)^{ن -1}
• Un = 58. (2^-1)^{1 ن}
• الأمم المتحدة = 4.16. (2)^{1 ن}
• U7 = 4.2⁴ (2)^{1 ن}
• U7 = 4.2^{5 ن}

لهذا السبب، مصطلح الأمم المتحدة السابع = 4.2^{5 ن}

السؤال 8.

في المتسلسلة الهندسية ، من المعروف أن U1 = 6 و U5 = 486. ما حجم النسبة؟

إجابه:

U1 = 6
ق 5 = 486
ن = 5

Un = U1 × r^{ن -1}
U5 = 6 × ص^5-1
486 = 6 × ص⁴

ص⁴  = 486/6
= 81

ص = ±
ص = 3 أو -3

إذن ، نسبة المتسلسلة هي 3 أو -3.

المشكلة 9.

في المتسلسلة الهندسية ، من المعروف أن U3 = 81 و U6 = 3. ثم عد السلسلة!

إجابه:

U3 = 81 ، ثم U1 × r² = 81
U6 = 3 ، ثم U1 × r⁵  = 3
U6 / U3 = (U1 × r⁵ ) / (U1 × r²) = 3/81

ص = 1/27
ص = الجذر التربيعي لـ (1/27)
ص = 1/3

U1 × r² = 81
U1 × (1/3) ² = 81
ق 1 × 1/9 = 81

U1 = 81: 1/9
U1 = 81 × 9
ق 1 = 729

إذن السلسلة 729 + 243 + 81 + 27 + ...

السؤال 10.

الحد الأول من المتسلسلة الهندسية هو 2 والنسبة 3. إذا كان الحد الأوسط للسلسلة هو 54 ، فحدد:

أ. الفصل الأخير من السلسلة.

ب. عدد المصطلحات في السلسلة.

إجابه:

أ. U1 = 2
يوت = 54
ص = 3

Ut = (U1 × Un)
54 = (2 × Un)
54² = 2 × Un

2916 = 2Un
Un = 2.916 / 2
الأمم المتحدة = 1.458

إذن ، الحد الأخير (Un) من السلسلة هو 1،458.

ب. Un = U1 × r^{ن -1}
1.458 = 2 × (3)^{ن -1}
(3)^{ن -1} = 1.458/2
(3)^{ن -1} = 729
(3)^{ن -1} = 3⁶
ن -1 = 6
ن = 7

إذن ، عدد الحدود في المتسلسلة هو 7.

هذه مراجعة موجزة تتعلق بالصفوف والمتسلسلة يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.