اللوغاريتمات: الخصائص ، المعادلات اللوغاريتمية ، الشروط ، التلال ، المشكلات

لوغاريتم هي عملية حسابية حيث تكون هذه العملية هي عملية معكوس (أو معكوس) الأس أو القوة. يكون الأساس أو الأساس في هذه الصيغة اللوغاريتمية بشكل عام في شكل الحرف أ.

أو هناك ذكر أيضًا إذا كان هذا اللوغاريتم معكوسًا أو معكوسًا للقوة (الأس) المستخدمة في تحديد الأس للرقم الأساسي.

في اللغة الإنجليزية ، يسمى اللوغاريتم اللوغاريتم.

إذن ، في الجوهر ، من خلال دراسة اللوغاريتمات ، يمكننا إيجاد قوة عدد بأس معروف.

لوغاريتم

بعد أن تعرف ما هو اللوغاريتم ، فأنت ملزم أيضًا بمعرفة الشكل العام لهذا اللوغاريتم.

هذا هو الشكل العام للوغاريتم:

الشكل العام للوغاريتم:

اذا كان^ن = x إذن ^أlogx = ن

معلومة:

أ: هو الأساس الذي تتوافر فيه الشروط التالية: أ> 0 وأ 1.

x: هو الرقم الذي تبحث عنه الخوارزمية (numerus) ، الشروط هي: x> 1

n: هي قوة اللوغاريتم.

حان الوقت الآن لإلقاء نظرة على أمثلة الأسئلة أدناه حتى تتمكن من فهم الوصف أعلاه بشكل أفضل:

1. عندما 3² = 9 ، ثم في الشكل اللوغاريتمي سوف يتغير إلى ³سجل 9 = 2
2. عندما 2³ = 8 ، ثم في الشكل اللوغاريتمي سوف يتغير إلى ²سجل 8 = 3
3. عندما 5³ = 125 ، ثم في الشكل اللوغاريتمي سوف يتغير إلى ⁵سجل 125 = 3

كيف حالك؟ الآن بدأت أفهم حق?

نحن سوف، مستخدم هنا، ستظل غالبًا تواجه ارتباكًا في تحديد أي رقم هو الأساس وأي رقم هو الرقم.

لوغاريتم هي عملية حسابية هي معكوس الأس أو القوة.

الصيغة الأساسية للوغاريتم: ب^ج = أ هو مكتوب ^بسجل أ = ج (ب يسمى اللوغاريتم الأساسي).

أليس كذلك؟

اهدأ يا رفاق ، المفتاح الذي عليك فقط أن تتذكره هو إذا رقم القاعدة أنه يتمركز, الموجود في الجزء العلوي قبل علامة "السجل". و عددنتيجة الترتيب يطلق عليه نوميروس, يقع في الجزء السفلي بعد كلمة "تسجيل". سهل حق?

المعادلات اللوغاريتمية

المعادلة اللوغاريتميةأ هي معادلة يكون فيها المتغير هو أساس اللوغاريتم.

يمكن أيضًا تعريف هذا اللوغاريتم على أنه عملية رياضية والتي هي معكوس (أو معكوس) الأس أو القوة.

مثال عدد 

سنقدم هنا بعض الأمثلة على الأرقام اللوغاريتمية ، بما في ذلك ما يلي:

بعد ذلك ، تحتوي اللوغاريتمات أيضًا على بعض الخصائص التي مطلوب لكي تفهم ، هنا. لماذا إلزامي؟

وذلك لأن هذه الخصائص ستصبح فيما بعد توفيرك في العمل على المشكلات اللوغاريتمية بسهولة.

بدون فهم خصائص اللوغاريتمات ، لن تتمكن من العمل على مشاكل اللوغاريتمات ، أنت تعرف!

ثم أي شيء الجحيم ما هي خصائص اللوغاريتم؟ هيا، لاحظ المراجعات أدناه.

الخصائص اللوغاريتمية

فيما يلي بعض خصائص اللوغاريتمات التي يجب أن تفهمها ، بما في ذلك:

بالإضافة إلى بعض الخصائص المذكورة أعلاه ، هناك أيضًا بعض خصائص المعادلات اللوغاريتمية ، بما في ذلك:

خواص المعادلات اللوغاريتمية

تحتوي المعادلة اللوغاريتمية أيضًا على بعض الخصائص الخاصة ، وهذه الخصائص هي كما يلي:

1. الخواص اللوغاريتمية للضرب 

الخاصية اللوغاريتمية للضرب هي نتيجة إضافة لوغاريتمين آخرين تكون فيهما قيمة العددين عاملًا للقيمة الرقمية الأولية.

^أسجلات ص. ف = ^أتسجيل p + ^أسجل q

هناك عدة شروط لهذه السمة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1 ، p> 0 ، q> 0.

2. الضرب اللوغاريتمي

ضرب اللوغاريتمات هو خاصية للوغاريتم أ والتي يمكن ضربها في اللوغاريتم ب إذا كانت القيمة الرقمية للوغاريتم أ تساوي الرقم الأساسي للوغاريتم ب.

نتيجة الضرب هي لوغاريتم جديد مع رقم أساسي يساوي لوغاريتم a. ولها نفس القيمة الرقمية مثل اللوغاريتم ب.

^أسجل ب س ^بتسجيل ج = ^أسجل ج

هناك عدة شروط لهذه السمة الواحدة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1.

3. طبيعة التقسيم 

الخاصية اللوغاريتمية للقسمة هي نتيجة طرح لوغاريتمين آخرين حيث تكون قيمة العددين كسرًا أو قسمة من القيمة الرقمية اللوغاريتمية الأولية.

^أتسجيل p / q: ^أتسجيل ع - ^أسجل q

هناك عدة شروط لهذه السمة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1 ، p> 0 ، q> 0.

4. الصفات القابلة للمقارنة عكسيا

خاصية اللوغاريتم المتناسب عكسيًا هي خاصية مع اللوغاريتمات الأخرى التي تحتوي على الرقم الأساسي والأرقام القابلة للتبديل.

^أتسجيل ب = 1 /^بتسجيل أ

هناك عدة شروط لهذه السمة الواحدة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1.

5. علامة المعاكس 

الخاصية اللوغاريتمية للعلامة المعاكسة هي خاصية ذات لوغاريتم يكون رقمه كسرًا معكوسًا للقيمة الرقمية اللوغاريتمية الأولية.

^أتسجيل p / q = - ^أتسجيل ع / س

هناك عدة شروط لهذه السمة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1 ، p> 0 ، q> 0.

6. طبيعة السلطات 

الخاصية اللوغاريتمية للقوى هي خاصية قيمتها الرقمية هي الأس. ويمكن استخدامه كلوغاريتم جديد بإصدار الأس لمضاعف.

^أسجل ب^ص = ص. ^أسجل ب

هناك عدة شروط لهذه السمة الواحدة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1 ، b> 0

7. قوة الأعداد الأساسية اللوغاريتمية 

قوة القوة اللوغاريتمية للرقم الأساسي هي خاصية تكون فيها قيمة الرقم الأساسي أ الأس (القوة) التي يمكن استخدامها كلوغاريتم جديد عن طريق إزالة الأس إلى رقم مقسم.

أ^صتسجيل ب = 1 / ص^أسجل ب

هناك عدة شروط لهذه السمة الواحدة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1.

8. الأعداد الأساسية اللوغاريتمية المماثلة للقوى الرقمية 

خاصية الرقم الأساسي المتناسب مع قوة العدد هي خاصية قيمتها الرقمية a الأس (القوة) لقيمة الرقم الأساسي الذي له نفس قيمة النتيجة مثل قيمة قوة العدد الذي - التي.

^أتسجيل أ^ص = ص

هناك عدة شروط لهذه السمة الواحدة ، وهي: a> 0 و a \ ne 1.

9. رتبة 

قوة اللوغاريتمات هي إحدى خصائص الأعداد التي تكون قواها في شكل لوغاريتمات. نتيجة قيمة الطاقة هي القيمة التي يأتي فيها الرقم من اللوغاريتم.

أ ^أسجل م = م

هناك عدة شروط لهذه السمة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1 ، m> 0.

10. تغيير القاعدة اللوغاريتمية 

يمكن أيضًا تقسيم طبيعة تغيير قاعدة هذا اللوغاريتم إلى مقارنة بين لوغاريتمين.

^صسجل ف = ^أتسجيل ع /^أ سجل q

هناك عدة شروط لهذه السمة ، وهي: a> 0 ، a \ ne 1 ، p> 0 ، q> 0

صيغة المعادلة اللوغاريتمية

استنادًا إلى الوصف أعلاه ، يعد اللوغاريتم عملية حسابية هي معكوس الأس أو القوة.

مثال على لوغاريتم الصيغة الأسية بين ليان: أ^ب = c إذا تم التعبير عنها بالتدوين اللوغاريتمي فسيكون كذلك ^أتسجيل ج = ب.

البيان كالتالي:

• أ هو الرقم الأساسي أو الأساسي.
• ب هي نتيجة أو نطاق اللوغاريتمات.
• ج هو عدد أو مجال اللوغاريتم.

مع ملاحظات:

من الضروري أن تفهم ، قبل أن نناقش المزيد حول صيغة اللوغاريتم ، إذا كان هناك كتابة ^أسجل ب يعني نفس السجل_أ ب.

صيغة المعادلة اللوغاريتمية ، من بين أمور أخرى ، هي:

صيغة المعادلة اللوغاريتمية:

اذا كان لدينا ^أlogf (x) = ^أسجل g (x) ، ثم f (x) = g (x).
مع بعض الشروط مثل: a> 0 ، a 1 ، f (x)> 0 ، g (x)> 0.

عدم المساواة اللوغاريتمية:

إذا كان لدينا سجل f (x)> ^أlog g (x) ثم لدينا حالتان ، وهما:

أولاً ، عندما تعني a> 0: f (x)> g (x)
ثانيًا ، الساعة 0

عينة من الأسئلة والمناقشة

في ما يلي ، سوف نقدم بعض الأمثلة على الأسئلة بالإضافة إلى مناقشتها. استمع بعناية ، نعم.

نماذج الأسئلة 1-3

1. ²سجلات 4 + ²سجل 8 =

2. ²سجل 32 =

3. عندما يكون معروفا ²سجل 8 = م و ²log 7 = n ، ثم أوجد قيمة ¹⁶سجلات 14!

إجابه:

المشكلة 1.

الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي التحقق القاعدة.

يبدو أن المعادلتين اللوغاريتميتين أعلاه لهما نفس القيمة الأساسية ، وهي 2.

لذلك ، يمكننا استخدام الخاصية الثانية للوغاريتم لإيجاد النتيجة.

لهذا السبب، ²سجلات 4 + ²سجل 8 = ²تسجيل (4 × 8) = ²سجلات 32 = 5. تذكر! الغرض من اللوغاريتم هو إيجاد القوة.

إذن ، ما 2 أس 32؟ الجواب هو 5. سهل أليس كذلك؟

السؤال 2.

دعنا ننتقل إلى السؤال رقم 2.

في السؤال رقم 2 ، لا يمكننا فعل ذلك على الفور ، لأنك بالتأكيد ستشعر بالارتباك في إيجاد قيمة أس 8 التي ينتج عنها 32. إذا كيف؟

إذا نظرنا إلى المشكلة بعناية أكبر ، نجد أن 8 هي نتيجة القوة 2³ وكذلك 32 وهي نتيجة قوة 2⁵.

لذلك ، يمكننا تغيير الصيغة اللوغاريتمية إلى:

⁸سجل 32 = ²³سجل 2

= 5/3 ²سجل 2 (استخدم الخاصية رقم 6)

= 5/3(1) = 5/3

مشكلة 3.

كيف حالكم يا شباب؟ هل بدأت تشعر بالإثارة بعد؟

نحن سوف، في مناقشة السؤال رقم 3 هذا سيجعلك أكثر حماسًا!

يجب أن تعرف أن النموذج من السؤال رقم 3 يمكن العثور عليه غالبًا في أسئلة الامتحان الوطني أو أسئلة اختيار الجامعة أنت تعرف.

للوهلة الأولى يبدو الأمر معقدًا للغاية ، نعم ، ولكن إذا كنت تفهم المفهوم بالفعل ، فسيكون من السهل جدًا القيام بهذه المشكلة.

إذا وجدت نموذج مشكلة مثل هذا ، يمكنك إيجاد قيمته باستخدام الخاصية اللوغاريتمية للرقم 4.

إذن ، ستكون العملية:

²سجل 8 = م و ²سجل 7 = ن ، ¹⁶سجلات 14؟

¹⁶سجل 14 = ²سجل 14 / ²سجل 16

ملحوظة:

لاختيار القاعدة ، يمكننا النظر مباشرة إلى الرقم الذي يظهر غالبًا في المشكلة. لذلك نحن نعلم أن الرقم 2 يظهر مرتين ، و 8 يظهر مرة واحدة ، و 7 يظهر مرة واحدة.

الرقم الأكثر ظهورًا هو 2 ، لذلك نختار 2 كأساس. فهمتك؟

= ²سجلات (7 × 2) / ²سجلات (8 × 2)

بعدها نحن وصف العدد.

دعنا نحاول تغييره إلى النموذج الموجود بالفعل في المشكلة. ماذا تقصد بذلك؟

هنا رفاقحول السؤال المعروف ²سجل 8 وأيضا ²سجلات 7. نظرًا لأن العددين هما 8 و 7 ، فإننا نقسم 14 إلى 7 × 2 و 16 إلى 8 × 2 حتى نتمكن من رؤية النتيجة النهائية.

= ²تسجيل 7 + ²سجل 2 / ²تسجيل 8 + ²سجل 2 (استخدم الخاصية رقم 2)

= ن + 1 / م + 1

سؤال مثال آخر.

المشكلة 1. (EBTANAS '98)

معروف ³سجل 5 = x و ³سجل 7 = ص. احسب قيمة ³245 ^1/2! (إبتاناس 98)

إجابه:

³245 ^½ = ³سجلات (5 × 49) ^½

³245 ^½ = ³السجلات (5) ^½ × (49) ^½)

³245 ^½ = ³السجلات (5) ^½ + ³سجلات (7²) ^½

³245 ^½ = ½( ³سجل 5 + ³سجلات 7)

³245 ^½ = (س + ص)

لذا ، فإن قيمة ³245 ^½ أي (س + ص).

السؤال 2. (UMPTN '97)

إذا كان ب = أ⁴، قيمتا a و b موجبة ، ثم قيمة ^أسجل ب - ^بتسجيل أي ...؟

إجابه:

من المعروف إذا كان ب = أ⁴، ثم يمكننا استبداله في الحساب ليكون:

^أسجل ب - ^بلوغا = ^أتسجيل أ⁴ - أ⁴ تسجيل أ

^أسجل ب - ^بلوغا = 4 (^ألوغا) - 1/4 ( ^أسجلات أ)

^أسجل ب - ^بلوغا = 4 - 1/4

^أسجل ب - ^بلوغا = 3^3/4

لذا ، فإن قيمة ^أسجل ب - ^بسجل a في السؤال رقم 2 هو 3^3/4.

مشكلة 3. (UMPTN '97)

إذا ^أالسجلات (1- ³سجل 1/27) = 2 ، ثم احسب قيمة a.

إجابه:

إذا جعلنا القيمة 2 في لوغاريتم حيث يصبح الرقم الأساسي للوغاريتم هو a ^أتسجيل أ²= 2 ، ثم نحصل على:

^أالسجلات (1- ³سجل 1/27) = 2

^أالسجلات (1- ³سجلات 1/27) = ^أتسجيل أ²

يمكن أن تكون القيمة الرقمية للوغاريتمين معادلة ، وهي:

1- ³سجل 1/27 = أ²

³سجلات 3 - ³سجل 1/27 = أ²

³سجلات 3 - ³سجل 3^(-3) = أ²

³سجلات 3/3^-3 = أ²

³سجل 3⁴ = أ²

4 = أ²

إذن نحصل على القيمة a = 2.

المشكلة 4.

إذا كان معروفًا أن 2log 8 = a و 2log 4 = b. ثم احسب قيمة 6log 14

أ. 1 /2
ب. (1+2) / (2+1)
ج. (أ + 1) / (ب + 2)
د. (1 + أ) / (1 + ب)

إجابه:

ل 2 سجل 8 = أ

= (سجل 8 / سجل 2) = أ
= سجل 8 = سجل 2

ل 2 سجل 4 = ب

= (سجل 4 / سجل 2) = ب
= سجل 4 = ب سجل 2

لذلك ، 16 سجل 8 = (سجل 16) / (سجل 68)
= (تسجيل 2.8) / (تسجيل 2.4)
= (سجل 2 + سجل 8) / (سجل 2 + سجل 4)
= (سجل 2 + سجل أ) / (سجل 2 + ب سجل ب)
= log2 (1+ a) / log 2 (1+ b)
= (1 + أ) / (1 + ب)

إذن ، قيمة 6 log 14 في المثال أعلاه هي (1 + a) / (1 + b). (د)

السؤال 5.

قيمة (3log 5 - 3 log 15 + 3log 9) هي؟

أ. 2
ب. 1
ج. 4
د. 5

إجابه:

(3log 5 - 3log 15 + 3log 9
= 3 سجلات (5. 9) / 15
= 3log 45/15
= 3log 3
=1

إذن ، قيمة 3log 5 - 3log 15 + 3log 9 هي 1. (ب)

السؤال 6.

احسب القيمة في مشكلة اللوغاريتم أدناه:

1. (2log 4) + (2log 8)
2. (2log 2√2) + (2log 4√2)

إجابه:

1. (2log 4 + 2log 8) = (2log 4) × 8 = 2log 3 أس 2 = 5

2. (2log 2√2 + 2log 4√2) = (2log 2√2) x (4√2) = 2log 16 = 4

إذن ، قيمة كل مشكلة لوغاريتمية أعلاه هي 5 و 4.

السؤال 7.

احسب القيمة في مشكلة اللوغاريتم أدناه:

1. 2 سجل 5 × 5 لوغ 64
2. 2 سجلات 25 × 5 سجلات 3 × 3 سجلات 32

إجابه:

1. (2log 5) x (5log 64) = 2log 64 = 2log 26 = 6

2. (2log 25) x (5log 3) x (3log 32) = (2log 52) x (5log 3) x (3log 25)
= 2. (2 سجل 5) × (5 سجل 3) × 5. (3 سجلات 2)
= 2 x 5 x (2log 5) x (5log 3) x (3log 2)
= 10 × (2log 2) = 10 × 1 = 10

إذن ، قيمة السؤال أعلاه هي 6 و 10.

السؤال 8.

احسب قيمة log 25 + log 5 + log 80 هي ...

إجابه:

سجل 25 + سجل 5 + سجل 80
= سجل (25 × 5 × 80)
= سجلات 10000
= سجل 104
= 4

المشكلة 9.

من المعروف أن log 3 = 0.332 و log 2 = 0.225. ثم سجل 18 من السؤال هو….

أ. 0,889
ب. 0,556
ج. 0,677
د. 0,876

إجابه:

معروف:

• السجل 3 = 0.332
• السجل 2 = 0.225

طلبت:

• سجل 18 = ...؟

إجابه:

السجلات 18 = السجلات 9. سجل 2
سجل 18 = (سجل 3.log 3). سجل 2
السجلات 18 = 2. (0,332) + (0,225)
سجل 18 = 0.664 + 0.225
سجل 18 = 0.889

إذن ، قيمة log 18 في السؤال أعلاه هي 0.889. (أ)

السؤال 10.

قم بتحويل الأسس التالية إلى الشكل اللوغاريتمي:

1.  24 = 16
2.  58 = 675
3.  27 = 48

إجابه:

* تحويل الأس إلى شكل لوغاريتمي على النحو التالي:

إذا كانت قيمة ba = c ، فإن قيمة المدونة c = a.

1.  24 = 16 ← 2 سجل 16 = 4
2.  58 = 675 ← 5 لوغ 675 = 8
3.  27 = 48 ← 2log 48 = 7

وبالتالي مراجعة موجزة هذه المرة يمكننا أن ننقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.