الوظائف التربيعية: الوظائف ، الصيغ ، الرسوم البيانية المكافئة ، المشاكل

الدالة التربيعية ، والمعروفة أيضًا باسم دالة كثيرة الحدود ، هي دالة ذات قوة أس أعلى مقدارها 2.

بشكل عام ، الشكل العام للدالة التربيعية هو و (س) = الفأس²+ ب س + ج أو ص = الفأس²+ ب س + ج.

ترتبط الوظيفة دائمًا بالرسم البياني للدالة. وبالمثل مع الدالة التربيعية.

التمثيل البياني للدالة التربيعية له شكل القطع المكافئ. لرسم رسم بياني لوظيفة تربيعية ، من الضروري تحديد نقطة التقاطع مع محاور الإحداثيات وكذلك النقاط القصوى.

بالنسبة للتعيينات الأخرى للنقاط القصوى ، وهي نقطة الذروة أو النقطة القصوى أو الدنيا. والآن نناقش كل واحد من تلك النقطة. تحقق من المناقشة التالية.

تقاطع مع المحور الإحداثي

يتم الحصول على نقطة التقاطع مع المحور X من خلال تحديد قيمة المتغير x في الدالة التربيعية. إذا كانت قيمة المتغير y تساوي صفرًا ، فسيتم الحصول على نقطة التقاطع (x.)₁، 0) و (x₂,0).

الذي س₁ و x₂ هي جذور المعادلة التربيعية.

لكن عليك أن تتذكر أن الجذور المختلفة للمعادلة التربيعية تعتمد على المميز.

إذا كان المميز يساوي صفرًا ، فسيتم الحصول على جذر واحد فقط وهذا يعني أن هناك نقطة تقاطع واحدة فقط مع المحور X.

إذا كانت القيمة المميزة أقل من الصفر ، فإن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية ، مما يعني أنها لا تقاطع مع المحور X.

يتم الحصول على نقطة التقاطع مع المحور Y بإيجاد قيمة y في الدالة التربيعية إذا كانت قيمة المتغير x تساوي صفرًا ، بحيث يتم الحصول على النقطة (0 ، y).₁).

إكستريم بوينت

النقطة القصوى للدالة التربيعية هي إحداثي حيث يكون الإحداثي هو قيمة محور التناظر والإحداثيات هي القيمة القصوى.

تنسيق أزواج النقاط القصوى في الدالة التربيعية y = ax²+ bx + c مثل هذا.

D هو المميز

د = ب²-4ac

كما ذكرنا أعلاه ،

هو محور التناظر و هي القيمة القصوى للدالة التربيعية.

إثبات صيغة Extreme Point للوظائف التربيعية

يمكننا الحصول على النقطة القصوى من مفهوم المشتق الأول.

النقطة القصوى للدالة التربيعية y = ax² + bx + c يتم الحصول عليها بخفضها أولاً ، ثم نتيجة المشتق تساوي صفرًا ، y '= 0 ، لذلك ستحصل على النموذج على النحو التالي:

فيما يلي خطوات رسم رسم بياني للوظيفة التربيعية y = ax²+ ب س + ج

1. حدد نقطة التقاطع مع محاور الإحداثيات.
   • نقطة التقاطع مع المحور X إذا كانت y = 0.
     (لا شيء للدوال التربيعية التي تحتوي على D <0).
   • نقطة التقاطع مع المحور Y إذا كانت x = 0.
2. حدد النقطة المتطرفة ، أي

مثال على المشاكل:

دعونا نحلل معًا الدالة التربيعية لـ و (س) = س²-6x + 8

نقطة التقاطع مع المحور السيني

تذكر أنه سيتم الحصول على نقطة التقاطع مع المحور X إذا كانت قيمة y = 0 ، ثم من ذلك سيتم الحصول على شكل المعادلة التربيعية x²-6 س + 8 = 0.

للتأكد من أن المعادلة التربيعية أعلاه لها جذور ، فإن الخطوة الأولى هي تحديد المميز أولاً.

د = ب²-4ac = (- 6)²-4(1)(8)=36-32=4

نظرًا لأن المميز هو 4 (موجب) ، يجب أن يكون للمعادلة التربيعية جذرين حقيقيين متميزين.

هذا يعني أن الدالة التربيعية أعلاه لها نقطتا تقاطع مع المحور X. يتم الحصول على نقطة التقاطع مع المحور X من جذور المعادلة التربيعية.

x²-6 س + 8 = 0
(x-2) (x-4) = 0
س = 2 أو س = 4

إذن ، نقاط التقاطع مع المحور السيني هي (2،0) و (4،0)

تقاطع مع المحور ص

سيتم الحصول على نقطة التقاطع مع المحور Y إذا كانت القيمة x = 0.
ص = س²-6x + 8
ص = 0²-6(0)+8=8

إذن ، نقطة التقاطع مع المحور ص هي (0.8)

إكستريم بوينت

النقطة القصوى للدالة التربيعية f (x) = ax²+ bx + c أي

هذا يعني أنه بالنسبة للدالة التربيعية f (x) = x²-6x + 8 نقاط قصوى كما يلي:

محور التناظر هو x = 3 والقيمة القصوى هي -1.

من المعلومات الموجودة على نقطة التقاطع مع المحور X ، ونقطة التقاطع مع المحور Y ، وكذلك النقاط القصوى ، يمكننا رسم دالة تربيعية.

المراحل ، بعد الحصول على نقطة التقاطع مع المحور X ، ونقطة التقاطع مع المحور Y ، وكذلك النقطة القصوى. ثم ارسم النقاط في الإحداثيات الديكارتية ثم اربطها بمنحنى سلس.

في المثال أعلاه ، الدالة التربيعية f (x) = x²-6x + 8 تقاطع مع المحور X (2.0) و (4،0) ، والتقاطع مع المحور Y (0.8) والنقطة القصوى (3 ​​، -1).

توجد صورة لهذه النقاط في الإحداثيات الديكارتية في الشكل أدناه.

ثم قم بتوصيل النقاط بمنحنى سلس ، بحيث يتم الحصول على منحنى الوظيفة التربيعية f (x) = x.²-6x + 8 على النحو التالي:

خصائص منحنى القطع المكافئ

1. على أساس المعامل "ɑ"

قيمة a لها وظيفة كمحدد لاتجاه فتح الرسم البياني.

• إذا كانت القيمة> 0 ، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى بينما تكون نقطة التحول في أدنى مستوياتها بحيث يكون لها قيمة دنيا.
• إذا كانت القيمة <0 ، فإن القطع المكافئ يفتح للأسفل بينما تكون نقطة التحول القصوى لذلك يكون لها قيمة قصوى.

2. على أساس المعامل "ب"

قيمة ب لها وظيفة كمحدد لتحديد موضع محور التناظر على الرسم البياني.

• بالنسبة إلى a و b بنفس العلامة (a> 0 ، b> 0) أو (a <0 ، b <0) يكون محور التناظر على يسار المحور y.
• بالنسبة إلى a و b بعلامات مختلفة (a <0 ، b> 0) أو (a> 0 ، b <0) يكون محور التناظر على يمين المحور y.

3. على أساس المعامل "ج"

قيمة ج لها وظيفة كمحدد لنقطة التقاطع مع المحور ص.

• إذا كانت c> 0 ، يتقاطع الرسم البياني للقطع المكافئ على المحور y الموجب.
• إذا كانت c <0 ، فإن الرسم البياني للقطع المكافئ يتقاطع مع المحور y السالب.

4. على أساس D = ب² - 4ac (مميز)

• إذا كانت D> 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذرين حقيقيين متميزين.
  سوف يتقاطع القطع المكافئ مع المحور x عند نقطتين. لكي يكون D مربعًا كاملاً ، يكون كلا الجذور منطقيًا ، بينما D ليس مربعًا كاملاً ، لذا فإن كلا الجذور هما جذور غير منطقية.
• إذا كانت D = 0 ، فإن المعادلة التربيعية لها جذران متساويان (جذور مزدوجة) ، وهي حقيقية ، وعقلانية أيضًا. سيكون القطع المكافئ مماسًا للمحور السيني.
• إذا كانت D <0 ، فإن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية أو أن كلا الجذور غير حقيقي (وهمي). لن يتقاطع القطع المكافئ ولن يلمس المحور السيني.
  • بالنسبة إلى D <0 ، سيكون القطع المكافئ دائمًا فوق المحور x أو يشار إليه عمومًا باسم التحديد الإيجابي.
  • بالنسبة إلى D <0 ، سيكون القطع المكافئ دائمًا تحت المحور السيني أو يشار إليه عادةً باسم التحديد السلبي.

تجميع دالة تربيعية

1. إذا تقاطع على المحور x عند (x₁، 0) و (x₂، 0) ، فإن الصيغة التي تنطبق هي: y = ƒ (س) = (س - س₁) (س - س₂).
2. إذا كان الرأس (x_ص، ذ_ص) إذن الصيغة التي تنطبق هي: y = ƒ (س) = (س - س_ص)² + ص_ص.
3. إذا كان مماسًا للمحور x عند (x₁، 0) إذن الصيغة التي تنطبق هي: y = ƒ (س) = (س - س₁)²

علاقة الخط مع القطع المكافئ

على أساس D = ب² - 4ac ، ينقسم موضع الخط على القطع المكافئ إلى 3 أنواع ، بما في ذلك:

1. D> 0 تعني أن الخط سيتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطتين.
2. D = 0 تعني أن الخط يتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطة واحدة (تقاطعات)
3. D <0 تعني أن الخط لا يتقاطع ولن يلمس القطع المكافئ.

عينة من الأسئلة والمناقشة

المشكلة 1:

إذا كانت الوظيفة f (x) = px²- (p + 1) تصل x-6 إلى أعلى قيمة لـ x = -1 ، ثم حدد قيمة p.

إجابه:

x = -1 هو محور التناظر ، الصيغة هي -b / 2a.

المعنى: -b / 2a = -1
- (- (ف + 1)) / 2 (ع) = - 1
ع + 1 = -2 ص
3 ع = -1
ع = -1 / 3

المشكلة 2:

حدد النقطة القصوى وأيضًا نقطة التقاطع مع المحور X للدالة التربيعية
و (س) = س²-20 × + 75.

إجابه:
النقطة القصوى في الصيغة:

نقطة التقاطع مع المحور X إذا كانت y = 0 للدالة التربيعية y = x²-20x + 75 نقطة قصوى:

نقطة التقاطع مع المحور السيني

x²-20 س + 75 = 0
(x-5) (x-15) = 0
س = 5 أو س = 15 لذا فإن نقاط التقاطع هي (5،0) و (15،0)

مشكلة 3:
إحداثيات نقطة التحول في الرسم البياني للدالة التربيعية y = x²+ 4x-6 هي ...

إجابه:

الإحداثيات العكسية للصيغة هي:

المشكلة 4:

من المعروف أن f (x) = -x² + 5x + c ، إذا كان إحداثي الذروة هو 6 ، فإن قيمة c هي ...

إجابه:

إحداثيات الرأس ، الصيغة: -D / 4a
-(5²-4 (-1) ج) / 4 (-1) = 6
- (25 + 4 ج) / - 4 = 6
- (25 + 4 ج) = - 24
25 + 4 ج = 24
4 ج = -1
ج = -1 / 4

بعد ذلك ، سوف نعطي مثالاً على سؤال حول SNMPTN وكذلك الأمم المتحدة فيما يتعلق بالوظائف التربيعية ، فكر جيدًا في المناقشة أدناه:

المشكلة 1. (ماداس SNMPTN 2012)

إذا كانت الصورة أدناه عبارة عن رسم بياني لدالة تربيعية f برأس (-2.0) وعبر النقطة (0 ، -4) ، فإن قيمة f (-5) هي ...

1. -7
2. -8
3. -9
4. -10
5. -11

إجابه:

الرأس معروف (x_ص، ذ_ص) = (-2،0) ، المرور بالنقطة (س ، ص) = (0 ، -4)

الصيغة المناسبة إذا كان الرأس معروفًا هي:

y = f (x) = a (x-x_ص )² + ص_ص

للعثور على قيمة a ، ثم:

y = f (x) = a (x-x_ص)² + ص_ص
ص = أ (س + 2)² + 0
-4 = أ (0 + 2)² + 0
-4 = 4 أ
أ = -1

لذلك سوف تحصل على:
و (س) = - (س + 2)²، مع f (-5)
و (-5) = - (- 5 + 2)² = -9

إذن ، الجواب هو: ج

السؤال 2. (ماتداس SBMPTN 2013)

إذا كان الرسم البياني للوظيفة التربيعية f (x) = ax² + bx + c له رأس (8،4) ويتقاطع مع المحور x السالب ثم ...

1. أ> 0 ، ب> 0 ، ج> 0
2. أ <0 ، ب <0 و ج> 0
3. أ <0 ، ب> 0 و ج <0
4. أ> 0 ، ب> 0 ، ج <0
5. أ <0 ، ب> 0 و ج> 0

إجابه:

من المعروف أن الرأس هو (8،4) ، لذا فإن الرسم البياني يفتح للأسفل ، ثم:

أ <0
x_ص = -b / 2a = 8 ، لأن a <0 → b> 0
د = ب² - 4ac ، شرط قطع المحور x هو سالب D> 0 لأن b> 0 و a <0 ، إذن:
ب² - 4ac> 0
(+) - 4 (-) ج> 0
ج> 0

إذن الجواب هو: E.

مشكلة 3. (علوم الرياضيات SBMPTN 2014)

من المعروف أن القطع المكافئ متماثل حول الخط x = -2 وظل القطع المكافئ عند النقطة (0،1) الموازية للخط 4x + y = 4. رأس القطع المكافئ ...

1. (-2,-3)
2. (-2,-2)
3. (-2,0)
4. (-2,1)
5. (-2,5)

إجابه:

دع معادلة القطع المكافئ تكون y = ax² + bx + c متماثل مع الخط x_ص = -2 ثم حدد x_ص = -b / 2a = -2 → b = 4

خط 4x + ص = 4 → م_ز = -4
لأنها متوازية ثم م_{القطع المكافئ} = م_خط = -4
م_{القطع المكافئ} = ذ
2ax + b = -4 حتى النقطة (0،1)
2 أ (0) + ب = -4
ب = -4

لتحديد س_ص و ذ_ص:
ب = 4 أ
-4 = 4 أ
أ = -1

معادلة القطع المكافئ y = ax² + bx + c هو: h كما يلي
ص = -x² - 4x + c خلال النقطة (0،1)
1 = -0² - 4 (0) + ج
ج = 1

ثم يمكن حسابها y = -x² - 4x + 1
x_ص = -b / 2a = - (- 4) / 2 (-1) = -2 و y_ص = -(-2)² – 4(-2) +1= 5

إذن ، رأس القطع المكافئ هو (-2.5)

إذن الجواب هو: E.

المشكلة 4. (الأمم المتحدة 2008)

الرسم البياني للدالة التربيعية التي تمر عبر النقاط A (1،0) و B (3،0) و C (0، -6) هو ...

1. ص = 2 س² + 8 س - 6
2. ص = -2 س² + 8 س - 6
3. ص = 2 س² - 8x + 6
4. ص = -2 س² - 8x - 6
5. ص = -x²+ 4x - 6

إجابه:

للنقطة C (0، -6) → x = 0، y = - 6

للنقطتين A (1،0) و B (3،0) → x₁ = 1 ، س₂ = 3

ثم الصيغة التي تنطبق هي y = a (x - x₁) (س - س₂)

ص = أ (س - 1) (س - 3)
– 6 = (0 – 1)(0 – 3)
- 6 = 3 أ
أ = - 2

تحديد الدالة التربيعية كيف:

ص = أ (س - س₁) (س - س₂)
ص = - 2 (س - 1) (س - 3)
ص = - 2 (س² - 4x + 3)
ص = - 2 س² + 8 س - 6

إذن الجواب هو: ب

السؤال 5. (الأمم المتحدة 2007)

شاهد الصور!

معادلة الرسم البياني للدالة التربيعية في الشكل هي ...