نظامان معادلة خطية متغيرة
نظامان معادلة خطية متغيرة (SPLDV) - المعادلة الخطية ذات المتغيرين هي معادلة تحتوي على متغيرين حيث قوة أو درجة كل متغير تساوي واحدًا.
الشكل العام للمعادلة الخطية ذات المتغيرين هو:
الفأس + ب = ج
حيث x و y متغيران. ثم
جدول المحتويات
نظامان معادلة خطية متغيرة (SPLDV)
نظام المعادلات الخطية المتغيرة أو ما نسميه عادة SPLDV هما معادلتان خطيتان لمتغيرين لهما علاقة بينهما ولهما حل واحد.
الشكل العام لنظام ذو متغيرين من المعادلات الخطية هو:الفأس + ب = ج
مقصف + qy = د
معلومة:
- تسمى x و y كمتغيرات
- يشار إلى a و b و p و q بالمعاملات
- تسمى c و r بالثوابت
SPLDV تستخدم بشكل عام لحل المشكلات اليومية التي تتطلب استخدام الرياضيات.
على سبيل المثال ، عندما تريد تحديد سعر عنصر ما ، ابحث عن أرباح المبيعات لتحديد حجم العنصر.
هناك خطوات معينة لحل مشاكل استخدام SPLDV ، بما في ذلك:
- استبدال كل كمية في المشكلة بمتغير (يُشار إليه عادةً بحرف أو رمز).
- قم بعمل نموذج رياضي للمشكلة. يتم بعد ذلك صياغة هذا النموذج الرياضي ويتبع الشكل العام لـ SPLDV.
- البحث عن حل من نموذج المشكلة باستخدام طريقة حل SPLDV.
الشروط والمعاملات والثوابت والمتغيرات
قبيلة هو جزء من الصورة الجبرية التي يمكن أن تتكون من المتغيرات والمعاملات أو في شكل ثوابت يتم فصل كل مصطلح بعلامة عملية للإضافة.
كمثال:
5 س ص + 8 ،
في هذه الحالة ، تكون المصطلحات 5x و -t و 8
عامل هو بديل لقيمة أو رقم يشار إليه عمومًا بحرف أو رمز.
كمثال:
لدى جيلانج 6 ماعز و 3 أبقار.
إذا كتبنا الرياضيات ،
قل: أ = عنزة وب = بقرة
ثم: 6 أ + 3 ب ، حيث أ وب متغيران
معامل في الرياضيات او درجة هو رقم يشير إلى عدد المتغيرات المتشابهة.
يمكن أيضًا الإشارة إلى المعاملات على أنها أرقام أمام المتغير لأن الكتابة للمصطلحات التي لها متغير هي معامل أمام المتغير.
كمثال:
يوجد في سيتياوان 7 ماعز و 3 أبقار أيضًا.
إذا كتبنا الرياضيات على النحو التالي ،
قل: أ = عنزة وب = بقرة
ثم: 7 أ + 3 ب ، مع معاملات 7 و 3
مع 7 معاملات أ و 3 معاملات ب
ثابت هو رقم لا يتبعه متغير بحيث تكون قيمته ثابتة (ثابتة) لأي قيمة متغيرة.
كمثال:
5p + 3q - 10.
- 10 ثابت لأنه مهما كانت قيمة p و q فإن قيمة -10 لا تتأثر ، لذلك تظل (ثابتة).
كيفية حل نظام متغيرين من المعادلات الخطية
1. طريقة الاستبعاد
تُستخدم طريقة الحذف لتحديد مجموعة الحلول لنظام المعادلات الخطية ذات المتغيرين.
كارانجان هو حذف أو حذف أحد المتغيرات من نظام المعادلات.
إذا تم التصريح عن المتغير بـ x و y ، لتحديد المتغير x ، يجب علينا أولاً حذف المتغير y والعكس صحيح.
حاول أن تلاحظ أنه إذا كان معامل أحد المتغيرات هو نفسه ، فيمكننا حذف أو حذف أحد هذه المتغيرات.
لمزيد من التفاصيل ، نقدم أمثلة على المشكلات أدناه:
مثال:
باستخدام طريقة الحذف ، حدد مجموعة الحلول لنظام المعادلات 2x + 3y = 6 و x - y = 3!
حل:
2 س + 3 ص = 6 ، س - ص = 3
الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي حذف المتغير y.
للتخلص من المتغير y ، يجب أن يكون معامل y هو نفسه ، لذا فإن المعادلة هي: 2x + 3y = 6 مرات 1 والمعادلة
س - ص = 3 مرات 3.
2 س + 3 ص = 6 × 1 2 س + 3 ص = 6
س - ص = 3 × 3 3 س - 3 ص = 9
5 س = 15
س = 15/5
س = 3
الخطوة الثانية التي يتعين علينا القيام بها هي حذف المتغير x.
وبالمثل في الخطوة الأولى ، لإزالة المتغير x ، يجب أن تكون المعاملات على x هي نفسها ، لذا فإن المعادلة التي نحصل عليها هي 2x + 3y = 6 في 1 و
س - ص = 3 مرات 2.
2 س + 3 ص = 6 × 1 2 س + 3 ص = 6
س - ص = 3 × 2 2 س - 2 ص = 6
5 ص = 0
ص = 0/5
ص = 0
إذن ، مجموعة الحلول هي {(3،0)}.
2. طريقة الاستبدال
طريقة الاستبدال هي طريقة لحل نظام المعادلات الخطية بمتغيرين باستخدام طريقة الاستبدال.
الذي سنستخدمه أولاً بذكر متغير واحد في متغير آخر في المعادلة.
ثم استبدل (استبدل) المتغير في معادلة أخرى.
مثال:
باستخدام طريقة التعويض ، أوجد مجموعة حل المعادلتين التاليتين 2x + 3y = 6 و x - y = 3.
الحل:
المعادلة x - y = 3 تكافئ x = y + 3.
باستبدال المعادلة س = ص + 3 في المعادلة 2 س + 3 ص = 6 ، يمكننا الحصول على البيانات التالية:
2 س + 3 ص = 6
ó 2 (ص + 3) + 3 ص = 6
2 ص + 6 + 3 ص = 6
ó 5y + 6 = 6
ó 5y + 6-6 = 6-6
ó 5y = 0
ص = 0
ثم للحصول على قيمة x ، عوض بقيمة y في المعادلة x = y + 3 ، لذلك سنحصل على:
س = ص + 3
ó س = 0 + 3
ó س = 3
إذن ، مجموعة الحلول هي {(3،0)}
3. الطريقة المركبة
الطريقة المدمجة هي طريقة لحل نظام المعادلات الخطية لمتغيرين باستخدام الطريقة المدمجة. حيث سنجمع بين طرق الحذف والاستبدال.
مثال:
باستخدام الطريقة المجمعة أعلاه ، حدد مجموعة حل نظام المعادلات 2x - 5y = 2 و x + 5y = 6!
الحل:
الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي تطبيق طريقة الحذف ، لذلك سوف نحصل على:
2 س - 5 ص = 2 × 1 2 س - 5 ص = 2
س + 5 ص = 6 × 2 2 س + 10 ص = 12
-15 ص = -10
ص = (-10) / (- 15)
ص = 2/3
بعد ذلك ، بالتعويض عن قيمة y في المعادلة x + 5y = 6 ، نحصل على:
س + 5 ص = 6
ó x + 5 (2/3) = 6
ó س + 10/15 = 6
ó س = 6-10/15
ó س = 22/3
إذًا ، مجموعة الحلول هي {(2 2 / 3،2 / 3)}
4. طريقة الرسم
يتم إجراء حل SPLDV باستخدام الطريقة الرسومية عن طريق تحديد إحداثيات تقاطع الخطين اللذين يمثلان المعادلتين الخطيتين.
ومع ذلك ، قبل استخدام طريقة الرسوم البيانية هذه ، عليك أن تتعلم كيفية رسم خط في معادلة خطية أولاً.
فيما يلي بعض الخطوات لحل مشكلة SPLDV باستخدام طريقة الحذف:
- ارسم خطًا يمثل المعادلتين في المستوى الديكارتي.
- حدد نقطة تقاطع الرسمين البيانيين.
- الحل هو نقطة على (س ، ص).
مشاكل في SPLDV:
- المعادلة الأولى: 2 س + 3 ص = 8
- المعادلة الثانية: 3 س + ص = 5
حل SPLDV باستخدام الطريقة الرسومية.
الخطوة 1: ارسم كلا الرسمين البيانيين
حدد نقطة التقاطع على محوري x و y في المعادلتين.
تمثيل المعادلتين في المستوى الديكارتي.
الخطوة 2: ابحث عن نقطة تقاطع الرسمين البيانيين.
الخطوة 3: الحل هو (س ، ص)
بناءً على الصورة ، يمكننا أن نرى أن نقطة التقاطع عند x = 1 و y = 2
ثم منطقة الحل هي (1 ، 2)
مثال على المشاكل
بعد ذلك سوف نقدم بعض الأمثلة على أسئلة القصة وكذلك الأسئلة التي تم طرحها في الأمم المتحدة. ها هي المراجعة الكاملة.
المشكلة 1.
يريد الابن القفز على الحبل. على سبيل المثال ، يبلغ طول الحبل الذي يستخدمه الابن 70 سم أقصر من ارتفاع الابن.
حتى لا يعلق الحبل في جسد الابن ، فعلى الأقل يجب أن يكون طول الحبل المستخدم ضعف الحجم السابق.
لذا ، إذا تم القياس مرة أخرى ، فسيكون حجم ضعف طول الحبل أطول بمقدار 30 سم من ارتفاع الابن.
حدد ما طول الحبل المستخدم وطول الابن! و حدد ما هي مدة استخدام الحبل حتى لا يعلق في جسد الابن!
إجابه:
- الخطوة الأولى التي يمكننا القيام بها هي استبدال جميع الكميات الموجودة في المشكلة بالمتغيرات. هنا نأخذ على سبيل المثال:
x = طول الحبل (بالسنتيمتر) و y = الارتفاع (بالسنتيمتر)
- قم بعمل نموذج رياضي للمشكلة.
طول الحبل أقصر بـ 70 سم من ارتفاع كومامون س = ص - 70 أو - س + ص = 70
ضعف طول الحبل بمقدار 30 سم أطول من ارتفاع كومامون 2 2 س = 30 + ص أو 2 س - ص = 30
إذن ، النموذج الرياضي للمشكلة أعلاه هو:
- المعادلة I: -x + y = 70
- المعادلة الثانية: 2 س - ص = 30
حتى هنا تفهم حق؟ نحن سوف، بعد ذلك سنحدد قيم x و y باستخدام طرق حل SPLDV الأربعة. استمع بعناية ، نعم.
1. طريقة الرسم البياني
إذن ، سنحصل على نقطة تقاطع الخطين ، وهي (س ، ص) = (100،170).
في السابق ، قمنا بمقارنة طول الحبل بالمتغير x وارتفاع الابن بالمتغير y.
لذلك ، يمكن تحديده هنا ما هو طول الحبل وايضا ارتفاع الابن. نعم! الإجابة هي 100 سم لطول الحبل و 170 سم لطول الصبي.
من السهل؟ طريقة الرسم البياني هذا عادة مفيد إذا كانت معاملات وثوابت المعادلة ليست أعدادًا صحيحة، لذلك سيكون من الأفضل لو تم رسمها لتسهيل إيجاد قيم x و y.
2. طريقة الاستبعاد
معروف:
- المعادلة I: -x + y = 70
- المعادلة الثانية: 2 س - ص = 30
لإيجاد قيمة x ، احسب المعامل y
-x + ص = 70
2 س - ص = 30
نظرًا لأن معاملي y للمعادلتين متماثلتان بالفعل ، يمكننا حلها مباشرةً باستخدام عملية الجمع لإزالة قيمة y.
-x + ص = 70
2 س - ص = 30
________ +
س = 100
لإيجاد قيمة y ، احسب معامل x
-س + ص = 70 | س 2 |
2 س - ص = 30 | س 1 |
إذا كان المعامل x للمعادلتين هو نفسه ، فاضرب المعادلة I في 2 واضرب المعادلة II في 1.
ثم قم بحلها باستخدام عملية الجمع لإزالة قيمة x.
-2 س + 2 ص = 140
2 س - ص = 30
_________ +
ص = 170
3. طريقة الاستبدال
معروف:
- المعادلة I: -x + y = 70
- المعادلة الثانية: 2 س - ص = 30
لإيجاد قيمة x ، أوجد قيمة y أولًا.
من المعادلة I: -x + y = 70 → y = 70 + x
بعد ذلك ، استبدل قيمة y في المعادلة II:
2 س - ص = 30
→ 2 س- (70 + س) = 30
→ 2 س -70-س = 30
← س -70 = 30
→ س = 100
بعد ذلك ، عوض بقيمة x في المعادلة y = 70 + x
ص = 70 + س
→ ص = 70 + 100
→ ص = 170
بناءً على طريقة الاستبدال ، نحصل على قيم x = 100 و y = 170. لذلك ، يمكننا أن نعرف أن ارتفاع الابن 170 سم وأن الحبل الذي يستخدمه الابن للعب حبل القفز هو 100 سم.
4. الطريقة المركبة
معروف:
- المعادلة I: -x + y = 70
- المعادلة الثانية: 2 س - ص = 30
على سبيل المثال ، سنجد أولاً قيمة x باستخدام طريقة الحذف. لذلك لتحديد قيمة x ، يساوي معامل y.
-x + ص = 70
2 س - ص = 30
نظرًا لوجود معامل y لكلا المعادلتين بالفعل ، يمكن حلها مباشرة باستخدام عملية الجمع لإزالة قيمة y.
س + ص = 70
2 س - ص = 30
________ +
س = 100
بعد الحصول على قيمة x ، عوض بقيمة x في إحدى المعادلات للحصول على قيمة y.
على سبيل المثال ، استبدال قيمة x في المعادلة I ، ثم:
-x + ص = 70
→ 100 + ص = 70
→ ص = 70 + 100
→ ص = 170
بناءً على الطريقة المدمجة ، يتم الحصول على قيم x = 100 و y = 170. إذن ، يمكننا معرفة أن طول الحبل 100 سم وارتفاع الدائرة 170 سم.
أنت بحاجة لمعرفة ما إذا كان طريقة مجتمعة هذا هو الطريقة الأكثر استخدامًا لحل مشاكل SPLDV.
بعد ذلك ، سوف نكتشف المدة التي يحتاجها الحبل حتى يتمكن بوترا من لعب القفز بالحبل دون أن يعلق في جسده.
إذا أعدت قراءة أمثلة الأسئلة أعلاه ، فيمكننا معرفة أن الحبل على الأقل يجب أن يكون كذلك ضعف المدة من الحجم السابق (2x).
لذلك ، يمكننا أن نعرف بالفعل أن طول الحبل المطلوب حتى لا يعلق في جسد الابن هو 2x = 2 (100) = 200 سم.
على الرغم من أنها تبدو طويلة ومعقدة ، ولكن إذا قمت بإجراء المزيد من الأسئلة التدريبية ، فسيكون ذلك سهلاً ، لماذا. حافظ على الروح.
سؤال 1 (الأمم المتحدة 2016)
يحصل عامل المواقف على 17000.00 روبية إندونيسية من 3 سيارات و 5 دراجات نارية ، بينما يحصل من 4 سيارات ودراجتين ناريتين على 18000 روبية إندونيسية. إذا كان هناك 20 سيارة و 30 دراجة نارية ، فإن مبلغ المال المكتسب لوقوف السيارات هو….
أ. 135.000.00 روبية إندونيسية
ب. 115000.00 روبية
ج. 110،000.00 روبية إندونيسية
د. 100،000.00 روبية إندونيسية
إجابه:
على سبيل المثال:
السيارة = س ودراجة نارية = ص
سئل: 20x + 30y = ...؟
النماذج الرياضية:
3x + 5y = 17000 …… (1)
4x + 2y = 18000 …… (2)
سيحصل حذف المعادلتين (1) و (2) على:
3 س + 5 ص = 17000 | س 4 | 12 س + 20 ص = 68.000
4 س + 2 ص = 18000 | x3 | 12x + 6y = 54000 -
14 ص = 14000
ص = 14000/14
ص = 1000
عوّض بقيمة y = 1000 في إحدى المعادلات:
3 س + 5 ص = 17000
3 س + 5 (1،000) = 17000
3 س + 5000 = 17000
3 س = 17000 - 5000
3 س = 12000
س = 12000/3
س = 4000
لذا ، فإن رسوم وقوف السيارة الواحدة هي 4000.00 روبية ودراجة نارية واحدة هي 1.000.00 روبية
20x + 30y = 20 (4،000) + 30 (1،000)
= 80.000 + 30.000
= 110.000
لذا ، فإن الكثير من أموال وقوف السيارات التي تحصل عليها هي 110.000.00 روبية
(الجواب: ج)
سؤال 2 (الأمم المتحدة 2015)
يوجد في القفص 13 ماعز ودجاجة. إذا كان عدد أرجل الحيوان 32 2 كر ، يكون عدد الماعز والدجاج….
أ. 3 و 10
ب. 4 و 9
ج. 5 و 8
د. 10 و 3
إجابه:
على سبيل المثال:
الماعز = س والدجاج = ص
عدد أرجل الماعز = 4 وأرجل الدجاج = 2
سئل: عدد الماعز والدجاج =…؟
النماذج الرياضية:
س + ص = 13... (1)
4x + 2y = 32 …… (2)
بحذف المعادلتين (1) و (2) سنحصل على:
س + ص = 13 | x4 | 4 س + 4 ص = 52
4 س + 2 ص = 32 | x1 | 4 س + 2 ص = 32 -
2 ص = 20
ص = 20/2
ص = 10
عوّض بقيمة y = 10 في إحدى المعادلات:
س + ص = 13
س + 10 = 13
س = 13-10
س = 3
إذن ، عدد الماعز = 3 والدجاج = 10.
(الجواب:)
وبالتالي ، مراجعة موجزة لنظام المعادلة الخطية المتغيرة (SPLDV) التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.