المعادلات التربيعية: التعريف ، الصيغ ، أمثلة على المشاكل. مناقشة

في الرياضيات، معادلة من الدرجة الثانية هي معادلة المتغير الذي له أعلى قوة لاثنين.

أو قال أحدهم إذا هذه المعادلة التربيعية هي معادلة متعددة الحدود (عدة مصطلحات) لها ترتيب (قوة) اثنين.

إذن ، ما هي أشكال وطرق حل هذه المعادلة التربيعية؟ تحقق من الوصف الكامل أدناه.

غالبًا ما يشار إلى المعادلات التربيعية أيضًا باسم معادلة القطع المكافئ. لأنه إذا تم تصوير شكل المعادلة التربيعية في صورة إحداثيات س ص ، فإنها ستشكل رسمًا بيانيًا مكافئًا.

يمكننا كتابة المعادلة التربيعية في x بالصيغة العامة التالية:

الشكل العام للمعادلة التربيعية

ص = الفأس² + ب س + ج

مع a و b و c R و a 0

معلومة:

• x متغير.
• أ هو معامل مربع س²
• ب هو المعامل الخطي لـ x.
• ج ثابت.

يسمى حل أو حل المعادلة بجذور المعادلة التربيعية.

وفي الوقت نفسه ، بالنسبة لمفهوم المربع نفسه ، فإن الجذر التربيعي للرقم x يساوي العدد r على هذا النحو r2 = x ، أو بعبارة أخرى ، الرقم r الذي إذا تربيع (منتج الرقم نفسه) ستكون القيمة مساوية لـ x.

معادلة من الدرجة الثانية

من الوصف أعلاه ، يمكن ملاحظة أن قيم المعاملات a و b و c تحدد الشكل المكافئ لوظيفة المعادلة التربيعية في إحداثيات xy.

المعادلة التربيعية هي المعادلة التي يكون أعلى متغير فيها هو 2.
الشكل العام للمعادلة التربيعية مكتوب:
فأس² + bx + c = 0 ، a ≠ 0 و a ، b ، c عناصر R

معلومة:

س هو متغير المعادلة التربيعية

أ هو المعامل س²

ب هو المعامل س

ج ثابت

ها هي المراجعة الكاملة.

• يبحث المعامل عن التقعر أو التحدبمنحنى قطع مكافئ.

إذا كانت القيمة a> 0 ، سيتم فتح القطع المكافئ ، وإذا كان <0 ، سيتم فتح القطع المكافئ. انظروا إلى الصورة أدناه:

• يجد معامل b الموضع x لقمة القطع المكافئ

المعامل b في تحديد موضع x على أنها قمة المكافئ أو محور تناظر المنحنى المشكل هو x = –b / 2a. انظروا إلى الصورة أدناه:

• يجد معامل c نقطة تقاطع دالة القطع المكافئ مع المحور ص

انظروا إلى الصورة أدناه:

أنواع جذور المعادلات التربيعية

لمعرفة الأنواع المختلفة لجذور المعادلة التربيعية ، يمكننا أيضًا معرفة ذلك باستخدام الصيغة د = ب 2 - 4 أ.

إذا تم تشكيل قيمة D ، فسنكون قادرين بسهولة على إيجاد الجذور المختلفة.

فيما يلي بعض أنواع المعادلات التربيعية بشكل عام ، ومنها:

1. الجذر الحقيقي (D 0):

»تختلف الجذور الحقيقية إذا كانت معروفة = D> 0

كمثال:

حدد نوع جذر المعادلة أدناه:

• x2 + 4x + 2 = 0!

إجابه:

من المعادلة = x2 + 4x + 2 = 0 ، يمكننا معرفة:

معروف :

• أ = 1
• ب = 4
• ج = 2

حل:

• د = ب 2 - 4 أ
• د = 42-4 (1) (2)
• د = 16-8
• د = 8 (D> 8 ، إذن الجذر هو أيضًا جذر حقيقي ولكنه مختلف)

»الجذور الحقيقية تساوي x1 = x2 إذا عرف أن D = 0

كمثال:

إثبات أن المعادلة التالية لها جذور مزدوجة حقيقية:

• 2 × 2 + 4x + 2 = 0

إجابه:

من هذه المعادلات وهي: = 2 × 2 + 4x + 2 = 0 إذن

معروف:

• أ = 2
• ب = 4
• ج = 2

حل:

• د = ب 2 - 4 أ
• د = 42-4 (2) (2)
• د = 16-16
• د = 0 (D = 0 ، ثبت إذا كانت الجذور حقيقية وتوأم)

2. جذر خيالي / غير واقعي (D <0)

كمثال:

حدد نوع جذر المعادلة أدناه:

• س 2 + 2 س + 4 = 0!

إجابه:

من المعادلة وهي: = x2 + 2x + 4 = 0 إذن

معروف:

• أ = 1
• ب = 2
• ج = 4

حل:

• د = ب 2 - 4 أ
• د = 22-4 (1) (4)
• د = 4-16
• د = -12 (D <0 ، لذا فإن الجذور ليست جذورًا حقيقية)

3. الجذر العقلاني ( د = ك² )

كمثال:

حدد نوع جذر المعادلة أدناه:

• x² + 4x + 3 = 0

إجابه:

من هذه المعادلات وهي: = x² + 4x + 3 = 0 إذن

معروف:

• أ = 1
• ب = 4
• ج = 3

حل:

• د = ب² - 4 أ
• د = 4² – 4(1)(3)
• د = 16-12
• د = 4 = 2² = ك²(لأن د =ك²= 4 ، لذا فإن جذر المعادلة هو جذر عقلاني)

خواص جذور المعادلة التربيعية

تحتوي المعادلات التربيعية أيضًا على عدة أنواع ، فيما يلي بعض الأنواع وخصائصها ، راجع المراجعة الكاملة أدناه:

يتم تحديد جذور المعادلة التربيعية من خلال القيمة المميزة (د = ب² - 4 أ) حيث يميز أنواع جذور المعادلات التربيعية إلى 3 ، ومنها:

1. إذا كانت D> 0 ، إذن للمعادلة التربيعية جذرين حقيقيين متمايزين.

• • إذا كان D مربعًا كاملًا ، فإن كلا الجذرين منطقيان.
  • إذا لم يكن D مربعًا كاملاً ، فإن كلا الجذور غير منطقيين.

1. إذا كانت D = 0 ، إذن للمعادلة التربيعية جذران متساويان (جذور مزدوجة) ، حقيقية ، وهي أيضًا منطقية.
2. إذا كانت D إذن فالمعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية أو أن كلا الجذور ليسا حقيقيين (خياليين).

شكل التوسع للجذور الحقيقية ، من بين أمور أخرى:

1. كلا الجذور الإيجابية

كلا الجذور موجبة إذا:

• د 0

x₁ + س₂ > 0

x₁ x₂ > 0

2. كلا الجذور السلبية

كلا الجذور سلبية إذا:

• د 0

x₁ + س₂ < 0

x₁ x₂ > 0

3. الجذوران علامتان مختلفتان

للجذور علامات مختلفة إذا:

• د> 0

x₁ x₂ < 0

4. كلا جذرين من نفس العلامة

كلا الجذور متساوية إذا:

• د 0

x₁ x₂ > 0

5. جذرين مقابل بعضهما البعض

الجذور متقابلة إذا:

• د> 0

x₁ + س₂ = 0 (ب = 0)

x₁ x₂ < 0

6. الجذوران متقابلان

يكون الجذوران معكوسان إذا:

• د> 0

x₁ + س₂ = 1 (ج = أ)

إيجاد جذور معادلة من الدرجة الثانية 

هناك ثلاث طرق أو طرق لإيجاد الجذور لحل المعادلات التربيعية. من بين أمور أخرى ، بالتحديد عن طريق: التحليل إلى عوامل ، والمربعات الكاملة واستخدام صيغة abc

فيما يلي شرح لكل طريقة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

1. التخصيم

التخصيم أو التحليل هو طريقة أو طريقة لإيجاد جذور معادلة تربيعية من خلال إيجاد قيمة ينتج عنها عند ضرب قيمة أخرى.

هناك ثلاثة أشكال من المعادلات التربيعية بعوامل مختلفة للجذور ، بما في ذلك:

لفهم الوصف أعلاه بشكل أفضل ، ضع في اعتبارك أمثلة الأسئلة أدناه:

حل المعادلة التربيعية التالية باستخدام طريقة التحليل 5x²+ 13 س + 6 = 0!

إجابه:

5x² + 13 س = 6 = 0

5x² + 10x + 3x + 6 = 0

5 س (س + 2) + 3 (س + 2) = 0

(5 س + 3) (س + 2) = 0

5 س = -3

س = -3/5 ، أو س = -2

إذن ، مجموعة الحل HP = (-3/5 ، -2)

2. مربع ممتاز

لا يمكن إيجاد جميع المعادلات التربيعية باستخدام طريقة التحليل.

هناك طرق أو طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية بإكمال المربعات الكاملة.

شكل المعادلة التربيعية الكاملة هو شكل المعادلة التي ستنتج عددًا منطقيًا.

يستخدم حل المعادلة التربيعية بإكمال المعادلة التربيعية بشكل عام الصيغة التالية:

(س + ع)² = س² + 2 بكسل + ص²

ثم قم بتحويلها إلى صيغة المعادلة في (س + ع)² = ف

حل:

(س + ع)² = ف

س + ص = ± س

س = -p ± q

لفهم الوصف أعلاه لنموذج المربع الكامل بشكل أفضل ، ضع في اعتبارك أمثلة الأسئلة أدناه:

x² + 6 س + 5 = 0

إجابه:

x² + 6 س +5 = 0

التغيير إلى x² + 6 س = -5

أضف رقمًا واحدًا على الجانب الأيسر وكذلك الجانب الأيمن حتى يتحول إلى مربع كامل.

إضافة هذا الرقم مأخوذة من نصف أرقام المعامل التي تأتي من قيمة x أو نصف 6 تربيع ، أي 3 yaitu²=9.

بعد ذلك ، أضف الرقم 9 على الجانب الأيسر وكذلك الجانب الأيمن ، بحيث تتحول المعادلة إلى:

x² + 6 س + 9 = -5 + 9

x² + 6 س + 9 = 4

(x + 3)² = 4

(س + 3) = 4

س = 3 ± 2

• بالنسبة إلى x + 3 = 2

س = 2-3

س = -1

• بالنسبة إلى x + 3 = -2

س = -2-3

س = -5

إذن القيمة النهائية هي ، س = -1 أو س = -5

3. الصيغة التربيعية أو صيغة ABC

بالإضافة إلى استخدام طريقة التحليل وإكمال مربع كامل ، يمكن أيضًا حل المعادلات التربيعية باستخدام صيغة تربيعية أو المعروفة باسم صيغة abc.

صيغة أو صيغة

قيم جذور المعادلة التربيعية ax + bx + c = 0 يتم حلها باستخدام صيغة abc على النحو التالي:

لفهم الوصف أعلاه بشكل أفضل ، ضع في اعتبارك أمثلة الأسئلة أدناه:

x² + 4x - 12 = 0

إجابه:

x² + 4x - 12 = 0

أ = 1 ، ب = 4 ، ج = -12

اكتب معادلة تربيعية جديدة

اكتب معادلة إذا كانت الجذور معروفة

إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور س₁ وكذلك س₂ ثم يمكن التعبير عن المعادلة التربيعية بالصيغة:

(x-x₁) (س- س₂)=0

كمثال:

أوجد معادلة تربيعية حيث تكون الجذور -2 و 3.

إجابه:

x₁ = -2 و x₂=3
(س - (- 2)) (س -3) = 0
(س + 2) (س + 3)
x²-3 س + 2 س -6 = 0
x²-x-6 = 0

اكتب معادلة تربيعية إذا كنت تعرف مجموع الجذور وحاصل ضربها.

إذا عرفنا معادلة تربيعية لها جذور x₁و x₂ وكذلك المعروف (x₁₊ x₂) و (x_1.x₂) ثم يمكن تشكيل المعادلة التربيعية على النحو التالي:

x²- (x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂)=0

كمثال:

أوجد معادلة تربيعية جذورها 3 وأيضًا -1/2!

إجابه:

x₁= 3 و x₂= -1/2

x₁₊ x₂=3 -1/2 =6/2 – 1/2 = 5/2

x_1.x₂ = 3 (-1/2) = -3/2

إذن ، المعادلة التربيعية هي:

x²- (x₁₊ x₂) x + (x_1.x₂)=0

x²- 5/2 س - 3/2 = 0 (كل جانب مضروب في 2)

2x²-5 س -3 = 0

عينة من الأسئلة والمناقشة

المشكلة 1. الشكل العام للمعادلة التربيعية

إذا كان الشكل العام للمعادلة س² - 4 = 3 (س - 2) فأس² + bx + c = 0 ، فإن قيم a و b و c هي….
أ. 1, -3, 2
ب. 1, -2, 3
ج. 1, 3, -2
د. 1, -3, -10

إجابه:

لتحديد قيمة a و b و c ، يجب علينا أولاً تغيير شكل السؤال إلى صيغة عامة.

كيف:

x² - 4 = 3 (س - 2)
x² - 4 = 3 س - 6
x² - 4 - 3 س + 6 = 0
x² - 3 س + 2 = 0
أ = 1 ، ب = -3 ، ج = 2

الجواب:

السؤال 2. جذور المعادلة التربيعية

إذا كان أحد جذور المعادلة التربيعية س² - 4x + c = 0 وهو 2 ، ثم قيمة c التي تحقق المعادلة هي….

أ. ج = 2
ب. ج = 4
ج. ج = -4
د. ج = -6

إجابه:

الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي استبدال قيمة x = 2 في المعادلة ، بحيث:

x² - 4x + ج = 0
⇒ 2² - 4 (2) + ج = 0
4-8 + ج = 0
-4 + ج = 0
ج = 4

الجواب: ب

مشكلة 3.تحديد جذور المعادلة التربيعية

إذا كان أحد جذور المعادلة التربيعية س² + 2x + c = 0 وهو 3 ، ثم الجذور الأخرى….

أ. س = 5
ب. س = 3
ج. س = -5
د. س = -15

إجابه:

الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي التعويض بقيمة x = 3 لإيجاد قيمة c:

x² + 2 س + ج = 0
⇒ 3² + 2 (3) + ج = 0
9 + 6 + ج = 0
15 + ج = 0
ج = -15

الخطوة الثانية التي يتعين علينا القيام بها هي استبدال قيمة c بحيث تصبح المعادلة:

x² + 2 س + ج = 0
x² + 2 س - 15 = 0

ثم حدد قيمة الجذر عن طريق التحليل:

(س + 5) (س - 3) = 0
س = -5 أو س = 3

الجواب: ج

المشكلة 4. مجموعة من المعادلات التربيعية

مجموعة حل المعادلة: x² + 5x + 6 = 0 أي ...

أ. {-2, -3}
ب. {-2, 3}
ج. {-3, 2}
د. {3, 4}

إجابه:

باستخدام طريقة العوملة ، إذن:

x² + 5 س + 6 = 0
(س + 2) (س + 3) = 0
س = -2 أو س = -3
صحة = {-2، -3}

الجواب:

السؤال 5. مجموع جذور المعادلة التربيعية

إذا كانت جذور المعادلة س² - 3x - 10 = 0 تساوي x₁ و x₂، ثم نتيجة x₁ + س₂ معا مع …

أ. x₁ + س₂ = 3
ب. x₁ + س₂ = 4
ج. x₁ + س₂ = 5
د. x₁ + س₂ = 7

إجابه:

باستخدام طريقة العوملة ، إذن:

x² - 3 س - 10 = 0
(س + 2) (س - 5) = 0
x₁ = -2 أو س₂ = 5

عدد الجذور هو:

x₁ + س₂ = -2 + 5
x₁ + س₂ = 3

باستخدام الطريقة السريعة وهي:

من x² - 3 س - 10 = 0
Bro: أ = 1 ، ب = -3 ، ج = -10

عدد الجذور هو:

x₁ + س₂ = -ب / أ
x₁ + س₂ = -(-3)/1
x₁ + س₂ = 3

الجواب:

السؤال 6. إيجاد الجذور الأخرى للمعادلة التربيعية

أحد جذور المعادلة 3 س² - 2x + c = 0 تساوي 2 ، الجذور الأخرى….

أ. -4/5
ب. -4/3
ج. 3/4
د. 4/3

إجابه:

الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي التعويض بقيمة x = 2 في المعادلة:

3x² - 2 س + ج = 0
⇒ 3(2)² - 2 (2) + ج = 0
3.4 - 4 + ج = 0
12-4 + ج = 0
8 + ج = 0
ج = -8

الخطوة الثانية التي يتعين علينا القيام بها هي استبدال قيم c بحيث تصبح المعادلة:

3x² - 2 س + ج = 0
3x² - 2 س + (-8) = 0
3x² - 2 س - 8 = 0

باستخدام طريقة العوملة:

3x² - 2 س - 8 = 0
(3 س + 4) (س - 2) = 0
س = -4/3 أو س = 2

إذن ، الجذر الآخر هو -4/3.

الجواب: ب

السؤال 7. تحديد قيمة معامل المعادلة التربيعية

إذا كانت جذور المعادلة س² + bx + c = 0 أي -1 و 3 ، فإن قيمة b التي تحقق المعادلة هي... ..

أ. ب = 4
ب. ب = 2
ج. ب = -1
د. ب = -2

إجابه:

الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي استبدال قيمة x = -1 في المعادلة:

x² + ب س + ج = 0
⇒ (-1)² + ب (-1) + ج = 0
1 - ب + ج = 0
-ب + ج = -1
ج = ب - 1... (1)

الخطوة الثانية التي يتعين علينا القيام بها هي التعويض بقيمة x = 3 في المعادلة:

x² + ب س + ج = 0
⇒ (3)² + ب (3) + ج = 0
9 + 3 ب + ج = 0
3 ب + ج = -9... (2)

ثم استبدل المعادلة (1) في المعادلة (2) ، بحيث:
3 ب + ج = -9
3 ب + (ب - 1) = -9
4 ب - 1 = -9
4 ب = -9 + 1
4 ب = -8
ب = -2

الجواب: د

السؤال 8. إكمال المربعات المثالية 

الصيغة التربيعية الكاملة للمعادلة x² - 6x - 7 = 0 أي ...

أ. (x + 3)² = 16
ب. (× - 3)² = 16
ج. (× - 4)² = 16
د. (× - 5)² = 25

إجابه:

الخطوة الأولى هي تشكيل مربع كامل عن طريق تغيير شكل الفأس² + bx + c = 0 يصبح

x² + ب / الفأس = -c / أ.

الشكل المربع المثالي هو:

x² - 6 س - 7 = 0
x² - 6 / 1x = 7/1
x² - 6 س = 7

والثاني أنه يتم جمع كل الأطراف معًا بنفس الرقم ، بحيث:
x² - 6x + (3)² = 7 + (3)²
x² - 6 س + 9 = 7 + 9
(× - 3)² = 16

الجواب: ب

المشكلة 9. تحديد نوع الجذر لمعادلة تربيعية

أنواع جذور المعادلة س² - 4x + 4 = 0 أي ...

أ. التوائم الحقيقية
ب. حقيقي مختلف
ج. خيالي
د. علامة معاكسة حقيقية

إجابه:

بناءً على قيمة الجذر ، نستخدم طريقة العوملة ، وهي:

x² - 4 س + 4 = 0
(س - 2) (س - 2) = 0
س = 2 أو س = 2

مما يعني أن الجذور توائم حقيقية.

الطريقة الثانية هي:

راجع القيمة المميزة ، ثم:

د = ب² - 4 أ
د = (-4)² – 4(1)(4)
د = 16-16
د = 0

بالنسبة إلى D = 0 ، تكون الجذور توائم حقيقية.

الجواب:

السؤال 10.تجميع المعادلات التربيعية

المعادلة التربيعية التي جذورها -2 و 3 هي ...

أ. x² - 2 س - 6 = 0
ب. x² - س + 6 = 0
ج. x² - س - 6 = 0
د. x² + س - 6 = 0

إجابه:

المعادلة التربيعية هي:

(س - س₁) (س - س₂) = 0
(س - (-2)) (س - 3) = 0
(س + 2) (س - 3) = 0
x² - 3 س + 2 س - 6 = 0
x² - س - 6 = 0

الجواب: ج

وبالتالي مراجعة موجزة للمعادلة التربيعية التي يمكننا نقلها. نأمل أن تستخدم المراجعة أعلاه للمعادلات التربيعية كمادة دراستك.