علم المثلثات: الهوية ، الصيغ ، المشتقات ، الجداول ، أمثلة على المشاكل

هل سبق لك أن سمعت كلمة trogonometry؟ علم المثلثات هو فرع من فروع الرياضيات يدرس الزوايا والجوانب ونسبة الزوايا إلى الأضلاع.

الأساس المستخدم في علم المثلثات هو الشكل المستوي للمثلث.

هذا لأن معنى كلمة علم المثلثات نفسها مأخوذ من اللغة اليونانية التي تعني القياسات في ثلاث زوايا أو مثلثات. اقرأ المزيد بعناية المناقشة التالية.

تاريخ

يأتي علم المثلثات من اليونانية ، المثلثون الذي يعني ثلاث زوايا و metro = القياس وهو فرع من الرياضيات يتعامل مع زوايا المثلث والوظائف المثلثية.

تشمل هذه الزوايا الجيب وجيب التمام والظل.

علم المثلثات له علاقة كبيرة بالهندسة ، على الرغم من وجود خلاف حول ما يتعلق به. بالنسبة لبعض الناس ، يعتبر علم المثلثات جزءًا من الهندسة.

التاريخ المبكر.

يمكن العثور على بدايات علم المثلثات في مصر القديمة وبابل وحضارة وادي السند ، التي يعود تاريخها إلى أكثر من 3000 عام.

كان علماء الرياضيات الهنود روادًا في حساب المتغيرات الجبرية المستخدمة في حساب علم الفلك وعلم المثلثات.

لاغادا عالم رياضيات معروف حتى يومنا هذا والذي استخدم الهندسة وعلم المثلثات لحساب علم الفلك في كتابه فيدانجا ، جيوتيشا.

حيث تم تدمير معظم أعماله بسبب الغزاة الهنود.

على الرغم من أن المصطلحات الجيب وجيب التمام والظل جزء من علم المثلثات ، إلا أنها أقدم بكثير من مصطلح علم المثلثات نفسه في تاريخ اكتشافه.

تم استخدام مصطلح علم المثلثات لأول مرة في عام 1595. وفي الوقت نفسه ، كانت الكلمات الجيب وجيب التمام والظل موجودة في القرن السادس عشر. ومع ذلك ، فإن هذه الورقة ليست فقط لمناقشة تاريخ مصطلحات علم المثلثات.

من الناحية اللغوية ، فإن معنى كلمة الجيب بعيد عن محتوى المفهوم. "Sinus" هي كلمة لاتينية تعني "breast".

مفهوم المقارنة بين الضلع المقابل للوتر في المثلث ، في اللغة السنسكريتية الشعبية يسمى "جيفا".

ثم في الحضارة الإسلامية تطورت إلى "جبة".

لأن تطور الكلام في اللغة العربية أصبح "جيب" التي تعني حرفيًا "الصدور".

نحن سوف، الثدي في المصطلح اللاتيني "الجيوب الأنفية". وكذلك التطور إلى "شرط" في اللغة الإنجليزية.

لذلك لا تتفاجأ إذا وجدت كلمة جيب في القاموس اللاتيني والتي تعني "صدر" ثم تطور جيب التمام ؛ "الجيوب التكميلية".

بينما تطورت كلمة tangent بعد عدة عقود ، والتي جاءت من الكلمة اللاتينية "tangere" والتي تعني اللمس.

بدءًا من مفهوم المقطع المستقيم AB الذي يلامس الدائرة عند A. الظل هو الفرق بين AB و AO في الزاوية BOA.

قام عالم الرياضيات اليوناني هيبارخوس حوالي عام 150 قبل الميلاد بتجميع جدول مثلثي لحل المثلثات.

طور عالم رياضيات يوناني آخر يُدعى بطليموس حوالي عام 100 المزيد من الحسابات المثلثية.

لذلك في عام 499 ، أنشأ أرياباتا ، وهو عالم رياضيات هندي ، جداول نصف النسبة المئوية والتي تُعرف الآن باسم جداول الجيب ، جنبًا إلى جنب مع جداول جيب التمام.

لقد استخدم zya للجيب ، kotizya لجيب التمام ، و otkram zya لـ sinsang sangang. وقدم أيضا فيرسينوس.

ثم في عام 628 ، كان هناك عالم رياضيات هندي يُدعى Brahmagupta استخدم الصيغة استيفاء لحساب قيمة الجيب بحيث تكون المرتبة الثانية لصيغة الاستيفاء نيوتن ستيرلينغ.

ثم قام عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام (1048-1131) بدمج علم المثلثات ونظرية التقريب لتقديم طرق مختلفة لحل المعادلات الجبرية من خلال الهندسة.

تمكن الخيام بعد ذلك من حل معادلة القوة الثلاثية ، x3 + 200x = 20 × 2 + 2000. واحصل على قمة موجبة للقوة الأسية ثلاثة بعبور القطع الزائد الرباعي والدائرة.

ثم يتم الحصول على حل الرقم التقريبي عن طريق الاستيفاء في الجداول المثلثية.

تم تقديم الطرق التفصيلية المختلفة المستخدمة في إنشاء جدول الجيب لأي زاوية من قبل عالم الرياضيات الهندي بهاسكارا في عام 1150.

إنه مع صيغ نصف الجيب وجيب التمام.

كما طور باسكارا فيما بعد حساب المثلثات الكروية.

قد يكون ناصر الدين الطوسي ، عالم الرياضيات الفارسي ، إلى جانب بهاسكارا ، من البشر أول من يكون قادرًا على معالجة علم المثلثات باعتباره تخصصًا رياضيًا بقيم عالية مختلف.

في مقالته عن الأشكال الرباعية ، كان أول من سرد ست حالات مختلفة من المثلثات القائمة الزاوية في حساب المثلثات الكروية.

ثم في القرن الرابع عشر ، كان الكاشي عالم رياضيات فارسيًا ، وألوك بيك (حفيد شرقي) خبيرًا ثم أنتجت الرياضيات التيمورية جداول للوظائف المثلثية كجزء من دراسة علم الفلك أنهم.

قام بارثوليماوس بيتيسكوس Bartholemaeus Pitiscus ، عالم رياضيات سيليزيا ، بنشر عمل مثلثي تأثرت عام 1595 بإدخال كلمة "علم المثلثات" إلى الإنجليزية والإنجليزية فرنسا.

وفي هذا الاجتماع ، علم المثلثات الذي سيتم مناقشته هو علم المثلثات المرتبط بصيغ مختلفة للجمع أو الفرق. والمنتج جيد للجيب وجيب التمام والظل.

علم المثلثات أو في اليونانية ، وتحديداً trigonon = "ثلاث زوايا" و metron = "القياس" هو فرع من فروع الرياضيات الذي يدرس العلاقات التي تشمل أطوال وزوايا المثلثات.

أين يظهر علم المثلثات هذا في القرن الثالث قبل الميلاد (قبل الميلاد) في العصر الهلنستيلدراسة علم الفلك.

قياس الزاوية

وفقًا للصورة أعلاه ، يمكننا أن نستنتج أن الفهم يعد قياس الزاوية أحد الجوانب المهمة في قياس وتعيين أيضًا إطار العمل أو نقاط التفاصيل.

نظام قياس الزاوية المستخدم ليس هو نفسه من الآخر.

قد يتكون نظام قياس الزوايا في رسم الخرائط والقياس من:

• نظام قياس الزاوية الستينية
• نظام قياس الزاوية العاطفية
• نظام خطأ زاوية الراديان

أساس قياس الزاوية هو نفس أساس الدائرة المقسمة إلى أربعة أجزاء. وتسمى الدائرة رباعيًا مقسمًا إلى 4 مناطق. من بين هؤلاء: الربع الأول والثاني والثالث و الربع الرابع.

بالنسبة للطريقة الستينية ، يمكن تقسيم الدائرة إلى 360 جزءًا متساويًا ويسمى كل جزء درجة. إذن ، ربع الدائرة في الدائرة يساوي 900.

1o = 60 '1' = 60 "1o = 3600"

مقارنة علم المثلثات في المثلثات القائمة الزاوية

للتعريف صالمقارنة المثلثية للزاوية اليمنى الأولى- هو:

وللتعريف النسب المثلثية للزاوية اليمنى الثانية، نكون:

قيم المقارنة المثلثية للزوايا الخاصة

تحتوي قيمة المقارنة على عدة جداول تسهل عليك العثور على النتائج. يحتوي الجدول نفسه على نوعين من الجداول الخاصة.

اي نوع؟ ألق نظرة على الجدول أدناه:

أول جدول خاص للمقارنة المثلثية الزاوية

جدول المقارنة المثلثية للزاوية الخاصة الثانية

مقارنة بين زوايا العلاقة المثلثية والزوايا أنا

تعتبر مقارنات الزوايا والعلاقات المثلثية امتدادًا للتعريف المثلثي الأساسي للتشابه في مثلث قائم الزاوية والذي يمكن أن يرضي فقط زوايا الربع الأول. وزوايا حادة (0 90 درجة).

على سبيل المثال ، يمكنك إلقاء نظرة على الصورة أدناه!

مقارنة بين زوايا وزوايا العلاقات المثلثية II

لكل حاد ، عندها (90 درجة +) و (180 درجة -) ستكون قادرة على الإنتاج الربع الثاني. زاوية. في علم المثلثات ، يمكن التعبير عن علاقة هذه الزوايا على النحو التالي:

الهوية المثلثية

المتطابقات المثلثية هي أوجه تشابه تحتوي على نسب مثلثية لزاوية.

يمكن للهوية المثلثية أن تصف حقيقتها من خلال ثلاث طرق.

الأول يبدأ بتبسيط الطرف الأيسر باستخدام المتطابقة السابقة حتى يصبح نفس شكل الطرف الأيمن.

والثاني هو تغيير الطرف الأيمن وتبسيطه بحيث يصبح بنفس شكل الجانب الأيسر.

والطريقة الثالثة ، تغيير كلا الجانبين الأيسر والأيمن إلى نفس الشكل.

هناك العديد من صيغ الهوية المثلثية التي يجب أن تعرفها ، بما في ذلك:

1. الصيغة الأساسية هي عكس ذلك

2. الصيغة الأساسية وهي علاقة المقارنة

لمزيد من التفاصيل حول صيغة الهوية المثلثية ، سنصفها أدناه:

صيغ التعريف المثلثية المختلفة

1. صيغة مجموع الزاويتين والفرق بينهما

• الصيغة قيد التشغيل جيب التمام مجموع الفرق بين زاويتين هو:

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B 
cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

• الصيغة قيد التشغيل شرط مجموع وزاويتين هما:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B 
sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

• الصيغة قيد التشغيل الظل مجموع وزاويتين هما:

tan A (A + B) = tan A + tan B / 1 - tan A x tan B
tan A (A - B) = tan A - tan B / 1 + tan A x tan B

2. صيغة لزاوية مزدوجة

• من خلال استخدام الصيغة sin (A + B) بالنسبة لـ A = B ، ستصبح:

الخطيئة 2 أ = الخطيئة (أ + ب)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
إذن ، sin 2A = 2 sin A cos A

• من خلال استخدام الصيغة cos (A + B) بالنسبة إلى A = B ، ستصبح:

cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A - sin A sin
= cos 2A - sin 2A ……………………… (1)

أو يمكن أن يكون

cos 2A = cos 2A - sin 2A
= cos 2A - (1 - cos 2A)
= cos 2A - 1 + cos 2A
= 2 cos 2A - 1 ……………………………… (2)

أو

cos 2A = cos 2A - sin 2A
= (1 - الخطيئة 2 أ) - الخطيئة 2 أ
= 1 - 2 sin 2A …………………… ..… (3)

من المعادلات (1) ، (2) ، (3) أعلاه ، سيتم الحصول على صيغة جديدة ، وهي:

cos 2A = cos 2A - sin 2A
= 2 cos 2A - 1
= 1 - 2 خطيئة 2 أ

• من خلال استخدام صيغة tan (A + B) لـ A = B ثم:

تان 2 أ = تان (أ + أ)
= tan A + tan A / 1 tan A x tan A
= 2 طن أ / 1 - طن 2 أ
إذن ، tan 2A = 2 tan A / 1 - tan 2A

3. صيغة مجموع الزوايا وفرقها 

4. صيغة ضرب حساب المثلثات الرياضية

5. صيغة الجمع والفرق 

6. صيغة نصف الزاوية المثلثية

عينة من الأسئلة والمناقشة

1. إذا كانت tan 5 ° = p. ثم حدد قيمة:

• تان 50 درجة

إجابه:

تان 50 درجة = تان (45 درجة + 5 درجة)

= tan 45 ° + tan 5 ° / 1 - tan 45 ° x tan 5 °

= 1 + ص / 1 - ص

وبالتالي، قيمة tan 50 درجة = 1 + ص / 1 - ص

2. أوجد قيمة sin 105 ° + sin 15 °

إجابه:

من المشكلة أعلاه ، يمكننا أن نستنتج أن نوع المشكلة أعلاه هو مثال على مشكلة الجمع المثلثية.

لذلك يمكننا أن نرى صيغة إضافة الخطيئة في الوصف أعلاه.

الصيغة هي 2sin (A + B) cos (A-B)

إجابه:

القيمة sin 105 ° + sin 15 ° = 2 sin (105 + 15) ° cos (105-15) °
= 2 sin (102) ° cos (90) °
= sin 60 ° cos 45 °

إذن ، قيمة sin 105 ° + sin 15 ° هي sin 60 ° cos 45 °

وبالتالي مراجعة موجزة هذه المرة يمكننا أن ننقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.