عناصر المصفوفة: الترتيب ، الهوية ، النوع ، التحويل ، المحدد ، المعكوس

عنصر المصفوفة أو المصفوفة هو مجموعة من الأرقام مرتبة في صفوف أو أعمدة أو كليهما وموضوعة بين قوسين.

تسمى الأعداد المختلفة التي تتكون منها المصفوفة عناصر المصفوفة. تُستخدم المصفوفة لتبسيط إيصال البيانات ، لذا سيكون من الأسهل معالجتها.

المصفوفة هي مجموعة من الأرقام التي تم ترتيبها في صفوف وأعمدة وتم وضعها بين قوسين عاديين أو أقواس مربعة. ويكيبيديا

مثال سهل لمعرفة المصفوفة ، يمكنك مشاهدة الرسم التوضيحي أدناه:

يمكنك قراءة الرسم التوضيحي أعلاه بفهم مثل هذا:

• يقرأ a11 على أنه الصف الأول والعمود الأول
• يقرأ a12 على أنه الصف الأول والعمود الثاني ؛
• amn مما يعني الصف mth والعمود n.

يتم استدعاء عدد الصفوف والأعمدة في المصفوفة ترتيب.

الترتيب الذي تحتاج إلى تذكره هو صف ثم عمود. ترتيب المصفوفة في الرسم التوضيحي أدناه 2 × 3. هذا لأن المصفوفة تتكون من صفين وثلاثة أعمدة.

لمعرفة المصفوفات في الرياضيات بشكل أعمق ، هناك عدة أنواع من المصفوفات تحتاج إلى معرفتها. توجد أنواع المصفوفات التالية في الرياضيات:

1. مصفوفة صفرية: المصفوفة التي كل العناصر صفر.
2. مصفوفة الصف : المصفوفة التي فقط لديه سطر واحد.
3. مصفوفة العمود : المصفوفة التي فقط لديك عمود واحد.
instagram viewer
4. مصفوفة مربعة: المصفوفة التي لديك نفس عدد الصفوف والأعمدة.
5. مصفوفة الهوية: مصفوفة ثابتة مع العناصر القطر الرئيسي هو 1.

بالإضافة إلى الأنواع العديدة من المصفوفات أعلاه ، هناك أيضًا مصفوفة تسمى تبديل المصفوفة.

انت تتذكر 'حق إذا كانت المصفوفة دائمًا ما يتم الإشارة إليها بحرف كبير؟

على سبيل المثال ، رمز المصفوفة هو A.

نحن سوف، سيتم الإشارة إلى تبديل المصفوفة A بالرمز A '(بعلامات اقتباس مفردة فوقه).

يتم استخدام التحويل الذاتي مع ضع صفوفًا في المصفوفة أ تُستخدم كأعمدة في المصفوفة أ '، والعكس صحيح.

فيما يلي مثال على تبديل المصفوفة:

مصفوفة

على سبيل المثال ، سوف نقدم بيانات عن الحياة اليومية يمكننا استخدامها باستخدام المصفوفات.

مثال:

من المعروف أن مبيعات السيارات من الأنواع A و B و C ، حيث تبلغ أسعار بيع كل سيارة 146 و 275 و 528 (بالمليون) في المدن P و Q و R وهي:

يمكننا كتابة بيانات المبيعات من السيارة على شكل مصفوفة بالشكل التالي:

• مصفوفة سعر السيارة هي:
  
• مصفوفة مبلغ المبيعات هي:
  

كيف؟ أبسط بكثير ، أليس كذلك؟

ترتيب المصفوفة

في الشرح أعلاه ، تتكون المصفوفة من عدة عناصر مرتبة في صفوف وأعمدة.

إذا كان عدد الصفوف في المصفوفة m ، وعدد الأعمدة في المصفوفة هو n ، فإن المصفوفة لها ترتيب المصفوفة أو الحجم m x n.

أنت بحاجة إلى أن تكون m و n مجرد رمز ، لذلك لا يُسمح بإجراء عملية حسابية (الجمع ، الضرب).

في مثال عدد مصفوفة مبيعات السيارات أعلاه ، من المعروف أن:

• عدد الصفوف ، م = 3
• عدد الأعمدة ، ن = 3
• مصفوفة ترتيب m x n = 3 x 3

تسمية أو تدوين المصفوفة باستخدام الأحرف الكبيرة. بينما تستخدم العناصر الموجودة فيه أحرفًا صغيرة وفقًا لتسمية المصفوفة ويتم إعطاؤها الفهرس ij.

يمثل الفهرس موضع عناصر المصفوفة. وهي في الصف الأول والعمود ي. على سبيل المثال ، المصفوفة السابقة لمصفوفة مبيعات السيارات:

حيث ، e12 = 56 عنصر من عناصر المصفوفة يقع في الصف الأول (i = 1). وكذلك العمود الثاني (ي = 2). وبالمثل مع عناصر المصفوفة الأخرى.

في مصفوفة المصفوفة ، هناك نوعان من الأقطار ، وهما القطر الرئيسي والقطري الثانوي.

قطري رئيسي هي العناصر المختلفة التي يمكن أن تشكل شرطة مائلة.

حيث ل قطري ثانوي هو مقلوب الشرطة المائلة للقطر الرئيسي.

ضع في اعتبارك صورة المصفوفة التالية:

الأقطار الرئيسية هي العناصر 34 ، 36 ، 46 ، بينما الأقطار الثانوية هي العناصر 41 ، 36 ، 51.

مصفوفة الهوية

تسمى المصفوفة القطرية ذات العناصر القطرية الرئيسية المختلفة التي لها قيمة 1 مصفوفة الهوية.

بشكل عام ، سيتم الإشارة إلى مصفوفة الهوية بالحرف "I". على سبيل المثال:

أنواع المصفوفة

كما ذكرنا أعلاه ، هناك عدة أنواع من المقاييس. لكن هذه المرة سنناقش أنواع المصفوفات بناءً على عدد الصفوف والأعمدة وكذلك نمط عناصر المصفوفة. هم كالآتي:

1. مصفوفة الصف ومصفوفة العمود

مصفوفة الصف هي مصفوفة تحتوي على صف واحد فقط. وفي الوقت نفسه ، مصفوفة العمود هي مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط.

كمثال:

A = (1 4) أو B = (3 7 9) عبارة عن مصفوفة صفوف

2. مصفوفة مربعة

المصفوفة المربعة هي مصفوفة لها نفس عدد الأعمدة والصفوف. مرتبة المصفوفة المربعة n.

كمثال:

هي مصفوفة مربعة من الرتبة 3. أو

هي مصفوفة مربعة من الرتبة 2.

3. مصفوفة المثلث العلوي والمثلث السفلي

المصفوفة المثلثية العلوية عبارة عن مربع أ يحتوي على عنصر مصفوفة أ_{اي جاي} = 0 لأني > j أو عناصر المصفوفة أسفل القطر الرئيسي وهي 0.

بينما المصفوفة المثلثية السفلية عبارة عن مصفوفة مربعة أ تحتوي على عنصر مصفوفة أ_{اي جاي} = 0 لأني <j أو عناصر مختلفة من المصفوفة أعلى القطر الرئيسي الذي تكون قيمته 0.

كمثال:

 ما يلي هو أعلى مصفوفة مثلثة. في حين

 ما يلي هو مصفوفة مثلثة سفلية.

4. مصفوفة قطرية

المصفوفة القطرية هي مصفوفة مربعة أ تحتوي على عنصر مصفوفة أ_{اي جاي} = 0 بالنسبة إلى i j أو العناصر المختلفة للمصفوفة خارج القطر الرئيسي الذي تكون قيمته 0.

كمثال:

5. مصفوفة عددي

المصفوفة العددية هي مصفوفة قطرية بها عناصر على قطرها الرئيسي لها نفس القيمة.

كمثال:

6. مصفوفة الهوية

انظر مرة أخرى إلى الشرح أعلاه.

7. مصفوفة متناظرة

المصفوفة المتماثلة هي مصفوفة مربعة A تحتوي على عنصر مصفوفة للصف الأول من الصف الأول يساوي عنصر مصفوفة العمود j من أجل i = j. أو يمكننا تسميتها كعنصر أ_{اي جاي} نفس العنصر.

كمثال:

يمكن ملاحظة أن عناصر الصف الأول تساوي العمود الأول ، والصف الثاني يساوي العمود الثاني ، والصف الثالث يساوي العمود الثالث.

تبديل المصفوفة

نقل المصفوفة هو تغيير الصفوف إلى أعمدة والعكس صحيح.

قلب مصفوفة من A_مكسن هي مصفوفة بحجم (n x m) والرمز A^تي. إذا تم تغيير موضع المصفوفة A ، فسيصبح الصف 1 هو العمود 1 ، وسيصبح الصف 2 هو العمود 2 ، وهكذا.

كمثال:

خصائص مدور المصفوفة وهي: (أ^تي)^تي = أ

بعد التعرف بإيجاز على المصفوفات ، سنقدم هنا شرحًا لكيفية تشغيل المصفوفات في الرياضيات. والتي تشمل الجمع والضرب والمحدد والعكس. اقرأ بعناية الشرح أدناه ، نعم.

مصفوفة الجمع والطرح

لا يمكننا إضافة مصفوفتين أو أكثر إلا إذا كان لهما نفس الترتيب.

تتم الإضافة عن طريق إضافة العناصر الموجودة في نفس المكان. كمثال:

ومن بعد:

كما هو الحال مع الجمع ، لا يمكننا إجراء طرح المصفوفة إلا إذا كان هناك مصفوفتان أو أكثر.

لديك نفس الترتيب. يتم الطرح على العناصر الموجودة في نفس الموضع.

كمثال:

ومن بعد:

تشمل خصائص الجمع والطرح في المصفوفات ما يلي:

• أ + ب = ب + أ
• (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج)
• أ - ب ب - أ

ضرب المصفوفة

يمكننا إنشاء مصفوفات باستخدام عدد صحيح أو مصفوفة أخرى.

كلا الضربين لهما شروط معينة لكل منهما. إليك الشرح الكامل:

ضرب المصفوفة بالأعداد الصحيحة

يمكننا ضرب مصفوفة بأعداد صحيحة ، ثم يمكن أن تكون نتيجة الضرب في صورة مصفوفة مع عناصرها التي هي حاصل ضرب الأرقام مع عناصر المصفوفة الذي - التي.

إذا تم ضرب المصفوفة A في العدد r ، فعندئذٍ r. أ = (ص_{اي جاي})

كمثال:

إذا والرقم r = 2 ، ثم:

يمكن القيام بضرب المصفوفات بواسطة الأعداد الصحيحة الممزوجة بجمع أو طرح المصفوفات في مصفوفات من نفس الترتيب.

فيما يلي خاصيتان لضربها ، من بين أمور أخرى:

• ص (أ + ب) = rA + rB
• ص (أ - ب) = rA - rB

ضرب مصفوفتين

الضرب بين مصفوفتين ، أي ضرب المصفوفتين A و B ، يمكننا القيام به إذا كان عدد الأعمدة في A يساوي عدد الصفوف في B.

سيكون الضرب بعد ذلك مصفوفة لها نفس عدد الصفوف مثل المصفوفة A وكذلك بنفس عدد المصفوفة B ، بحيث:

صورة

عناصر مصفوفة ج_(مكس) هو مجموع حاصل ضرب العناصر المختلفة للصف الأول من المصفوفة A بالعمود j من المصفوفة B. هذه صورة تخطيطية:

على سبيل المثال ، المصفوفة أ لها ترتيب (3 × 4) والمصفوفة ب لها ترتيب (4 × 2) ، ثم المصفوفة ج لها ترتيب (3 × 2).

العنصر C الموجود في الصف الثاني والعمود الثاني أو أ₂₂ تم الحصول عليها من مجموع نتائج العناصر المختلفة للصف الثاني من المصفوفة A والعمود الثاني من المصفوفة B. كمثال:

ومن بعد:

ضع في اعتبارك أن خاصية ضرب مصفوفتين هي:

أ × ب ب × أ

كدليل معروف: ومن بعد:

ثبت أن A x B B x A. هناك العديد من الخصائص الأخرى لضرب المصفوفات بالأرقام أو بالمصفوفات الأخرى ، بما في ذلك ما يلي:

• ك (أب) = (كا) ب
• ABC = (AB) C = A (BC)
• أ (ب + ج) = أب + أج
• (أ + ب) ج = أس + ق

المصفوفة المحددة

تم إعطاء محدد المصفوفة A أقواسًا ، بحيث تتم كتابتها كـ | A |. لا يمكن تنفيذ المحددات إلا على مصفوفات مربعة.

محدد مصفوفة من الرتبة 2 × 2

إذا ثم محدد A هو:

محدد مصفوفة الترتيب 3 × 3 (حكم ساروس)

إذا ثم محدد A هو:

= aei + bfg + cdg - ceg - afh - bdi

محدد المصفوفة له الخصائص التالية:

1. المحدد أ = المحدد أ^تي

2. تتغير علامة المحدد عند تبديل صفين متجاورين / عمودين في المصفوفة.

3. إذا كان الصف أو العمود في محدد المصفوفة له عامل p ، فيمكن إزالة p كمضاعف.

4. إذا كان هناك صفان أو عمودان عبارة عن مضاعفات لبعضهما البعض ، فإن قيمة المحدد هي 0.

5. قيمة محدد المصفوفة المثلثية العلوية أو السفلية هي نتاج العناصر القطرية المختلفة فقط.

مصفوفة معكوسة

تحتوي المصفوفة A على معكوس إذا كانت هناك مصفوفة B يمكنها تشكيل المعادلة AB = BA = I ، حيث أنا مصفوفة الوحدة.

مقلوب مصفوفة من الرتبة (2 × 2) يشبه يمكن صياغتها على النحو التالي:

تحتوي المصفوفة العكسية على الخصائص التالية:

• أ^-1 = أ^-1أ = أنا
• (أ^-1)^-1 = أ
• (AB)^-1 = ب^-1أ^-1
• إذا كان AX = B ، فإن X = A^-1ب
• إذا كانت XA = B ، فإن X = BA^-1

مثال على أسئلة المصفوفة والمناقشة

المشكلة 1.

ضرب المصفوفة ينتج مصفوفة صفرية. أوجد قيمة x التي تحقق المعادلة!

إجابه:

إذن ، قيمة x التي تحقق هي x₁ = 2 و x₂ = 3.

السؤال 2.

إذا كان هناك مصفوفة  معكوسًا للطرفين ، أوجد قيمة x!

إجابه:

من المعروف أن المصفوفتين معكوسة بشكل متبادل ، ثم سيتم تطبيق الشرط AA syarat^-1 = أ^-1أ = أنا.

لذلك:

بحيث يحتوي عنصر الصف الأول العمود الأول على المعادلة التالية:

9 (س - 1) - 7 س = 1

9x - 9 - 7x = 1

2 س = 10

س = 5

مشكلة 3.

إذا كان هناك مصفوفة ثم بحيث أ = ب^تي ما هي قيمة ج؟

إجابه:

من المعروف أن أ = ب^تي

حتى نحصل على 4 معادلات جديدة من عناصر المصفوفة ومنها:

• 1/2 أ = 2 ج = 3 ب (المعادلة الأولى)
• 2 = أ (المعادلة الثانية)
• ب = 2 أ + 1 (المعادلة الثالثة)
• (المعادلة الرابعة)

من المعادلة أعلاه ، يمكننا استبدال المعادلة للحصول على قيمة c ، وهي:

أ = 2 ، ثم:

ب = 2 أ + 1 = 2 (2) + 1 = 5

و

وبالتالي مراجعة موجزة هذه المرة يمكننا أن ننقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.