متباينة خطية متغيرة واحدة

متباينة خطية متغيرة واحدة- متباينة خطية متغيرة واحدة هي جملة مفتوحة تحتوي على متغير واحد فقط ولها درجة واحدة وتحتوي على علاقة ( > أو < ).

على سبيل المثال ، انظر إلى بعض الجمل مثل تلك الموجودة أدناه:

1. X> 9
2. 3x - 3 <8
3. 3 ب > ب + 6
4. 5 ن - 3 < 3n + 2

تستخدم بعض الجمل المفتوحة أعلاه واصلات مثل ، > أو <. مما يدل على أن الجملة عبارة عن عدم مساواة.

كل من هذه المتباينات لها متغير واحد فقط ، وهو x و a و n. هذه المتباينة تسمى متباينة ذات متغير واحد. المتغير (المتغير) من المتباينة أعلاه إلى قوة واحد أو يشار إليه أيضًا بالدرجة الأولى يسمى متباينة خطية.

متباينة خطية متغيرة واحدة هي جملة مفتوحة تحتوي على متغير واحد فقط ودرجة واحدة وهناك علاقة ( ، أو £).

يمكن التعبير عن الشكل العام لـ PtLSV في متغير على النحو التالي:

الفأس + ب <0 ، الفأس + ب> 0 ، أو الفأس + ب > 0 ، أو الفأس + ب < 0 ، مع أ < 0 و a و b أرقام حقيقية.

فيما يلي بعض الأمثلة على PtLSV باستخدام المتغير x ، بما في ذلك:

1. 3x - 2 <0
2. 3x - 2 <0
3. 5x - 1> 8
4. 3x + 1 > 2x - 4
5. 10 < 2 (× + 1)

خصائص متباينة خطية متغيرة

على غرار ذلك في معادلة خطية ذات متغير واحد ، يمكن إيجاد حل لمتباينة خطية ذات متغير واحد باستخدام طريقة الاستبدال.

ومع ذلك ، يمكنك أيضًا القيام بذلك عن طريق طرح أو جمع أو ضرب أو قسمة كلا طرفي المتباينة على نفس العدد.

عدم المساواة في الرياضيات عبارة عن جملة أو بيان رياضي يُظهر مقارنة بين أحجام كائنين أو أكثر.

كما في A

المتباينة A

1. أ + ج
2. أ - ج
3. A x C 0 لجميع x
4. A x C> B x C ، إذا كانت C <0 لجميع x
5. A / C 0 لجميع x
6. A / C> B / C ، إذا كانت C <0 لجميع x

تحتاج إلى ملاحظة أن بعض الخصائص المذكورة أعلاه تنطبق أيضًا على الرمز ">" أو "<”.

أمثلة على أسئلة PtLSV وكيفية حلها

سنقدم أدناه مثالاً على مشكلة وكذلك كيفية حلها وأيضًا الإجابة على مشكلة متباينة خطية ذات متغير واحد. ها هي المراجعة الكاملة.

1. جمع وطرح متغير واحد للمتباينة الخطية (PtLSV)

يرجى ملاحظة عدم المساواة أدناه:

x + 3 <8 ، حيث x متغير من عدد صحيح.

ل:

س = 1 ، لذا 1 + 3 <8 ، صحيحة
س = 2 ، لذا 2 + 3 <8 ، صحيحة
س = 3 ، لذا 3 + 3 <8 ، صحيحة
x = 4 ، لذا 4 + 3 <8 ، خطأ

التعويض بـ x عن 1،2 ، و 3 بحيث تكون المتباينة x + 3 <8 صحيحة يسمى حل المتباينة.

2. ضرب أو قسمة متغير واحد من عدم المساواة الخطية (PtLSV)

ألق نظرة على التفاوتات أدناه:

بالنسبة لأعداد x الطبيعية الأصغر من 10 ، يكون الحل هو x = 7 أو x = 8 أو x = 9

بناءً على الوصف أعلاه ، يمكننا أن نستنتج ما يلي:

 "تظل كل متباينة متكافئة ، مع عدم تغيير علامة عدم المساواة ، على الرغم من ضرب كلا الطرفين بنفس الرقم الموجب"

مثال على المشاكل:

الآن ضع في اعتبارك عدم المساواة التالية:

أ. –x> - 5 ، حيث x عدد طبيعي أصغر من 8. البديل عن x الذي يرضي هو x = 1 أو x = 2 أو x = 3 أو x = 4.

هناك طريقة أخرى لحل مشكلة عدم المساواة أعلاه وهي ضرب كلا الطرفين في نفس العدد السالب.

* –x> –5

–1 (–x)> - 1 (–5) ، (يتم ضرب كلا الجانبين في -1 وتبقى علامة عدم المساواة)

x> 5

الحل هو x = 6 أو x = 7.

* –x> –5

–1 (–x) إلى

س <5

الحل هو x = 1 أو x = 2 أو x = 3 أو x = 4.

بناءً على هذا الحل ، يتبين أن المتباينات التي لها نفس الحل هي:

–x> –5 و –1 (–x)

لذلك ، –x> –5 <=> –1 (–x)

ب. –4x <–8 ، حيث x هو عدد طبيعي أقل من 4. البديل المناسب لـ x هو x = 2 أو x = 3. إذن ، الحل هو x = 2 أو x = 3.

بناءً على الشرح أعلاه ، يمكننا أن نستنتج ما يلي:

"متباينة عندما يتم ضرب كلا الطرفين بنفس الرقم السالب ثم تتغير علامة المتباينة"

مثال:

3. عن القصة 

السؤال رقم 1.

مجموع عددين لا يزيد عن 120. إذا كان الرقم الثاني أكبر بمقدار 10 من الرقم الأول ، فحدد القيمة الحدية للرقم الأول.

إجابه:

من المشكلة أعلاه ، يمكننا أن نرى أن هناك كميتين غير معروفين. هذا هو الرقم الأول وكذلك الرقم الثاني.

بعد ذلك سنجعل هاتين الكميتين كمتغير.

كمثال:

نسمي الرقم الأول x ، بينما 

نسمي الرقم الثاني y.

من هذه المشكلة ، نعلم أيضًا أن الرقم الثاني هو "10 أكثر من الرقم الأول" ، لذلك ستنطبق العلاقة التالية:

ص = س + 10

ومن المعروف أيضًا في المشكلة أن مجموع العددين "لا يزيد" عن 120.

الجملة "لا أكثر" هي إشارة إلى أن عدم المساواة أقل من المساواة (≤). إذن ، شكل عدم المساواة الذي يناسب المشكلة هو أن عدم المساواة أقل من يساوي.

ثم نبني المتباينات مثل:

⇒ س + ص ≤ 120

لأن y = x + 10 ، فإن المتباينة تصبح:

⇒ س + س + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 ≤ 120

⇒ 2x + 10 – 10 ≤ 120 – 10

⇒ 2x ≤ 110

⇒ x ≤ 55

لهذا السبب، لا تزيد قيمة الحد للرقم الأول عن 55.

سؤال القصة 2.

نموذج لإطار شعاع مصنوع من سلك بطول (x + 5) سم وعرض (x – 2) سم ، وارتفاع × سم.

• حدد النموذج الرياضي لمعادلة طول السلك المطلوبة في x.
• إذا كان طول السلك المستخدم لا يزيد عن 132 سم ، فحدد حجم الحد الأقصى لقيمة الحزمة.

إجابه:

حتى يسهل علينا فهم المشكلة أعلاه ، ضع في اعتبارك الشكل التوضيحي للكتلة أدناه:

• حدد النموذج الرياضي للمشكلة أعلاه.

على سبيل المثال ، يمثل K الطول الإجمالي للسلك اللازم لإنشاء إطار الحزمة ، ثم الطول الإجمالي للسلك المطلوب هو مجموع كل الحواف.

إذن ، طول K هو كما يلي.

K = 4p (الطول) + 4l (العرض) + 4t (الارتفاع)

ك = 4 (س + 5) + 4 (س – 2) + 4x

ك = 4x + 20 + 4x – 8 + 4x

ك = 12 س + 12

إذن ، نحصل على النموذج الرياضي لمسألة القصة الثانية لإجمالي طول السلك ، وهو K = 12x + 12.

• تحديد الحجم الأقصى للكتلة من المشكلة أعلاه.

يجب ألا يتجاوز طول السلك طوله 132 سم ، لذلك يمكننا كتابة نموذج عدم المساواة على النحو التالي:

ك ≤ 132

12x + 12 ≤ 132

ثم نحل المتباينة الخطية لمتغير واحد باستخدام حل مثل ما يلي:

12x + 12 ≤ 132

⇒ 12 ضعفًا ≤ 132 – 12

⇒ 12 ضعفًا ≤ 120

⇒ x ≤ 10

من الحل x ≤ 10 ، فإن أقصى قيمة لـ x هي 10. وعليه يكون حجم الشعاع بالنسبة للطول والعرض والارتفاع كما يلي:

الطول = x + 5 ⇔ 10 + 5 = 15 سم

العرض = x – 2 ⇔ 10 – 2 = 8 سم

الارتفاع = x ⇔ 10 سم

إذن نحصل على الحد الأقصى للكتلة (15 × 8 × 10) سم.

أسئلة القصة 3.

مجموع عددين أقل من 80. الرقم الثاني هو ثلاثة أضعاف الرقم الأول.

حدد حدود العددين.

إجابه:

لنفترض أننا نطلق على الرقم الأول x ، ثم الرقم الثاني يساوي 3x.

مجموع هذين العددين أقل من 80. لذلك فإن النموذج الرياضي يكون كالتالي:

x + 3x <80 ⇔ 4x <80

حل هذا النموذج الرياضي هو 4x <80 ⇔ س <20.

لذلك ، لا يزيد حد الرقم الأول عن 20 ، بينما لا يزيد الرقم الثاني عن 60.

أسئلة القصة 4.

يبلغ طول سطح الطاولة المستطيلة 16 × سم وعرضها 10 × سم.

إذا كانت المساحة لا تقل عن 40 دسم2، ثم حدد الحد الأدنى لحجم سطح الطاولة.

إجابه:

طول سطح الطاولة:

• (ع) = 16x
• العرض (لتر) = 10 س
• المنطقة = L.

النموذج الرياضي لمساحة المستطيل كالتالي:

L = p × l

L = 16x × 10x

L = 160x2

من المشكلة يذكر أن المساحة لا تقل عن 40 دسم2 = 4000 سم2 لذلك يمكننا كتابة المتباينة على النحو التالي:

L = 160x2≥ 4.000

160 ضعفًا2≥ 4.000

ثم نحل المتباينة بالحل التالي:

160 ضعفًا2≥ 4.000

⇒ x2≥ 25

⇒ x ≥ ±5

لأن لا يمكن أن يكون الحجم سالبًا، ثم الحد الأدنى لقيمة x = 5 سم ، لذلك نحصل على:

ع = 16x سم = 16 (5) سم = 80 سم

ل = 10x سم = 10 (5) سم = 50 سم

وبذلك يكون الحد الأدنى لحجم سطح الطاولة (80 × 50) سم.

أسئلة القصة 5.

تسير دراجة على طريق بالمعادلة s (t) = t2– 10 طن + 39.

إذا كانت x بالأمتار و t بالثواني ، حدد الفترة الزمنية التي قطعتها الدراجة مسافة 15 مترًا على الأقل.

إجابه:

يمكن أن تغطي الدراجة مسافة لا تقل عن 15 مترًا ، مما يعني s (t) ≥ 15.

إذن ، النموذج الرياضي هو t2– 10 طن + 39 ≥ 15. يمكننا حل هذا النموذج بالطريقة التالية:

ر2– 10 طن + 39 ≥ 15

⇒ ر2– 10 طن + 39 – 15 ≥ 0

⇒ ر2– 10 طن + 24 ≥ 0

⇒ (ر – 6) (ر – 4) ≥ 0

⇒ ر ≤ 4 أو ر ≥ 6

وهكذا ، فإن الفاصل الزمني للدراجة لقطع مسافة لا تقل عن 15 مترًا هو t ≤ 4 ثوان أو ر ≥ 6 ثوان.

أسئلة القصة 6.

يمتلك السيد إيرفان صندوق سيارة تحمل بضائع لا تزيد حمولتها عن 500 كجم.

يبلغ وزن باك ايرفان 60 كيلوجراماً وسيحمل صناديق بضائع تزن كل علبة 20 كيلوجراماً. ثم:

• تحديد الحد الأقصى لعدد الصناديق التي يمكن أن ينقلها السيد إيرفان في وسيلة نقل واحدة!
• إذا كان السيد إيرفان سينقل 115 مدينة ، فكم مرة على الأقل ستكون الصناديق قادرة على نقلها كلها؟

إجابه:

من المشكلة نحصل على عدة نماذج رياضية كالتالي

1. على سبيل المثال ، يمثل x عدد المدن التي يمكن لسيارة نقلها في اتجاه واحد.
2. يزن كل صندوق 20 كجم ، لذا تزن الصناديق 20x كجم.
3. الوزن الإجمالي في اتجاه واحد هو وزن الصندوق زائد وزن السيد ايرفان وهو 20x + 60.
4. لا تتعدى قدرة السيارة الاستيعابية ، ثم نستخدم اللافتة "≤”.
5. لا تزيد القدرة الاستيعابية عن 500 كجم لذا من المخصص (3) نحصل على نموذج عدم المساواة التالي =
   20 × + 60 ≤ 500

• يحدد الحد الأقصى لعدد الصناديق التي يمكن نقلها دفعة واحدة.

تحديد عدد المربعات هو نفسه تحديد قيمة x ، أي عن طريق حل المتباينات أدناه:

20 × + 60 ≤ 500

⇒ 20 ضعفًا ≤ 500 – 60

⇒ 20 ضعفًا ≤ 440

⇒ x ≤ 22

من هذا الحل ، نحصل على أقصى قيمة لـ x ، وهي 22. وبالتالي ، في كل مرة يمكن أن تحمل السيارة الصندوقية 22 صندوقًا كحد أقصى.