الشرائح المخروطية: الدائرة ، القطع المكافئ ، القطع الناقص ، القطع الزائد ، أمثلة على المشاكل

المخروط في الرياضيات هو موضع جميع النقاط التي تشكل منحنى ثنائي الأبعاد. أي منحنى يتكون من تقاطع مخروط مع مستوى.

هناك 4 أنواع أو أنواع من المقاطع المخروطية ، بما في ذلك: الدائرة ، القطع المكافئ ، القطع الناقص والقطع الزائد.

أنواع الشرائح المخروطية

دائرة

الدائرة هي مكان أو موضع نقاط له نفس المسافة عند نقطة معينة.

• يشار إلى هذه النقطة بالذات المركز دائرة
• يشار إلى نفس المسافة باسم نصف القطر أو نصف القطر (ص)

مساحة الدائرة = .r² (ص = نصف القطر)

عينة من الصورة:

الدائرة أدناه مركزها (0 ، 0) ونصف قطرها 2 ، ضع في اعتبارك الصورة أدناه:

القطع المكافئ

القطع المكافئ هو موضع نقاط متساوية البعد من نقطة وخط معين.

• هذه النقطة تسمى التركيز أو نقطة الاتصال (F)
• يشار إلى هذا الخط المعين باسم دليل أو خط اتجاهي
• يسمى الخط الذي يمر عبر F ويكون عموديًا على خط الاتجاه محاور التماثل القطع المكافئ
• تسمى نقطة تقاطع القطع المكافئ مع محور التناظر قمة القطع المكافئ
• يسمى أقصر وتر يمر عبر F لاتوس المستقيم → أين عمودي على محور التناظر.

عينة من الصورة:

القطع المكافئ الأفقي التالي برأس (0،0) ، التركيز (1 ، 0) ، والاتجاه x = –1 ، ضع في اعتبارك الصورة أدناه:

يوجد أدناه قطع مكافئ رأسي برأس (0،0) وتركيز (0، 1) واتجاه y = –1 ، ضع في اعتبارك الصورة أدناه:

الشكل البيضاوي

1. القطع الناقص هو مكان أو موضع نقاط حيث يتم إصلاح مجموع المسافات من نقطتين معينتين.

• مجموع المسافات = 2 أ (للقطع الناقص الأفقي) أو 2 ب (للقطع الناقص العمودي).
• يتم استدعاء النقطتين الثابتتين التركيز (F) → المسافة بين F₁ و F₂ هو 2 ج.

2. القطع الناقص هو موضع جميع النقاط حيث تكون نسبة المسافة بين نقطة وخط ثابت = e (شذوذ) ، حيث 0

• هذه النقطة تسمى التركيز (F)، والخط هو خط الاتجاه.
• يسمى الجزء الخطي الذي يمر عبر كل من البؤر ويتقاطع مع القطع الناقص المحور الرئيسي.
• مركز القطع الناقص هو نقطة المنتصف F.₁ وكذلك F₂
• يسمى الجزء المستقيم الذي يمر عبر المركز ، ويكون عموديًا على المحور الرئيسي ويتقاطع مع القطع الناقص محور صغير.

مساحة القطع الناقص = .a.b (أ = الطول الأفقي ؛ ب = الطول الرأسي)

عينة من الصورة:

القطع الناقص الأفقي بالأسفل مع المركز (0 ، 0) ، القمم (5 ، 0) ، (–5 ، 0) ، (0 ، 4) ، (0 ، –4) ، التركيز (3 ، 0) ، (- 3 ، 0 ) واتجاه x = ± 25/3 ، ضع في اعتبارك الصورة أدناه:

القطع الناقص الرأسي أدناه مع المراكز (0 ، 0) ، الرؤوس (√2 ، 0) ، (–2 ، 0) ، (0 ، 2) ، (0 ، –2) ، التركيز (0.√2) ، ( 0 ، –2) ، واتجاه y = ± 2√2 / 3 ، انظر إلى الصورة أدناه:

مقارنة مبالغ فيها

1. القطع الزائد هو مكان أو موضع نقاط له فرق ثابت في المسافة من نقطتين محددتين.

• الفرق في المسافة = 2 أ (للقطوع الناقصة الأفقية) أو 2 ب (للقطوع الناقصة العمودية).
• يتم استدعاء النقطتين الثابتتين التركيز (F) → المسافة بين F₁ و F₂ هو 2 ج.

2. القطع الزائد هو موضع جميع النقاط حيث تكون نسبة المسافة بين نقطة وخط ثابت = e ، حيث e> 1.

• يشار إلى هذه النقاط الخاصة باسم التركيز (F.₁ و F₂)
• الخط الذي يمر عبر النقاط F₁ وكذلك F₂ يشار إليه باسم المحور العرضي (المحور الرئيسي) / المحور الحقيقي
• نقطة المنتصف F₁ و F₂ يشار إليه باسم مركز القطع الزائد (P)
• يسمى الخط الذي يمر عبر P ويكون عموديًا على المحور العرضي disebut المحور المترافق (المحور المركب) / المحور التخيلي
• تسمى نقاط تقاطع القطع الزائد وكذلك محور العرض ذروة المبالغة
• الخط الذي يمر عبر التركيز ويكون عموديًا على المحور الحقيقي ويتقاطع أيضًا مع القطع الزائد عند نقطتين ← الجزء الخطي الذي يربط النقطتين هو = لاتوس المستقيم

عينة من الصورة:

القطع الزائد الأفقي أدناه يحتوي على المركز (0 ، 0) ، الرأس (2 ، 0) ، (–2 ، 0) ، البؤرة (√6 ، 0) ، (–6 ، 0) ، والخط المقارب y = ± 2 x ، انتبه للصورة أدناه:

القطع الزائد الرأسي أدناه يحتوي على المركز (0 ، 0) ، الرأس (√2 ، 0) ، (–2 ، 0) ، التركيز (0 ، 6) ، (0 ، - ، 6) ، والخط المقارب y = ± 2 x ، انتبه للصورة أدناه:

معادلة

ها هي المعادلات الموجودة في الشريحة المخروطية ، انظر بعناية ، نعم ..

ضع في اعتبارك النصائح التالية لتسهيل فهم المعادلة أعلاه.

طريقة التمييز بين معادلات المقطع المخروطي أعلاه هي:

• في المعادلة دائرة: المعامل x² وكذلك ذ² نفس
• في المعادلة القطع المكافئ: واحد فقط من المربعات (x² فقط أو ص² فقط)
• في المعادلة الشكل البيضاوي: المعامل x² وكذلك ص² نفس العلامة (إيجابية وكلاهما سلبي)
• في المعادلة مقارنة مبالغ فيها: المعامل x² وكذلك ذ² علامات مختلفة (واحدة إيجابية والأخرى سلبية).

كمثال:

• 3x²+ 3ذ² + 6 س + ص = 5 ← معادلة الدائرة
• 3x² + 3ذ + 6x = 5 → معادلة القطع المكافئ
• 3x²+ ذ² + 6 س + ص = 5 ← معادلة بيضاوية
• 3x²– 3ذ² + 6 س + ص = 5 ← معادلة القطع الزائد

موقف النقطة بالنسبة للشريحة المخروطية

في تحديد أو إيجاد موضع نقطة على مقطع مخروطي ، يمكننا استخدام عدة طرق مثل ما يلي:

1. قم بعمل أو تغيير الجانب الأيمن من معادلة المقطع المخروطي = 0 =
2. أدخل إحداثيات النقطة في المعادلة أدناه:
   • إذا كانت نتيجة الجانب الأيسر <0 → فإن النقطة تقع داخل المقطع المخروطي.
   • إذا كانت نتيجة الجانب الأيسر = 0 → فإن النقطة تقع بالضبط على تقاطع المخروط.
   • إذا كانت نتيجة الجانب الأيمن> 0 → فإن النقطة تقع خارج القسم المخروطي.

كمثال:

أوجد موضع النقطة (5 ، –1) على القطع الناقص بالمعادلة التالية: 3x² + ص² + 6 س + ص = 5؟

إجابه:

3x² + ص² + 6 س + ص - 5 = 0

الجهه اليسرى:
3.5² + (–1)² + 6.5 + (–1) – 5 = 75 + 1 + 30 – 1 – 5 =100

→ 100> 0 ، لذا فإن النقطة (5 ، –1) تقع خارج القطع الناقص.

موضع الخط إلى شريحة المخروط

في إيجاد أو تحديد موضع الخط على المقطع المخروطي ، يمكننا استخدام عدة طرق مثل تلك أدناه:

1. نجعل معادلة الخط المعادلة س =... أو ص = ...
2. باستبدال معادلة الخط في معادلة المقطع المخروطي ، سينتج معادلة من الدرجة الثانية.
3. إيجاد قيمة التمييز (د) للمعادلة التربيعية (تذكر! د = ب² - 4.a.c)
   • إذا كانت D <0 → يقع الخط خارج القسم المخروطي.
   • إذا كانت D = 0 → الخط يكون مماسًا للقسم المخروطي عند نقطة واحدة.
   • إذا كانت D> 0 → يتقاطع الخط مع المقطع المخروطي عند نقطتين.

كمثال:

أوجد موضع الخط المستقيم x + 2y = 4 على القطع المكافئ بالمعادلة التالية: 3x² + 3 ص + 6 س = 5.

إجابه:

الخط: س = 4 - 2 ص

3 (4 - 2 سنة)² + 3y + 6 (4 - 2y) - 5 = 0
3 (16-16 سنة + 4 سنوات²) + 3y + 24-12y - 5 = 0
48 - 48 سنة + 12 سنة² + 3y + 24-12y - 5 = 0
12 ص² - 57 ص + 67 = 0

د = ب² - 4.a.c = (–57)² – 4.12.67 = 33

لأن D> 0 لذا فإن الخط x + 2y = 4 سوف يتقاطع مع القطع المكافئ.

معادلة خط الظل

في هذه الحالة م مقرها باسم الانحدار.

معادلة المماس عند النقطة (x₁، ذ₁)

في حل أو إيجاد معادلة هذا الظل ، استخدم دائمًا نظام توزيع عادل ، وهو ؛

(…)² يصبح (...). (...)

(...) تصبح (...) + (...)

في إحدى نقاط (...) لمعادلة حاصل القسمة العادلة ، سيتم إدخال إحداثيات النقاط المعروفة ، وفيما يلي شرح:

1. إذا كانت النقطة على تقاطع المخروط ، فستنتج معادلة خط الظل.
2. إذا كانت النقطة خارج المقطع المخروطي ، فستنتج معادلة للخط القطبي.

بعد ذلك ، قم بقطع الخط القطبي بإسفين مخروطي للحصول على نقطتي تقاطع.

عندها فقط أدخل نقطتي التقاطع في معادلة حاصل القسمة العادلة للحصول على معادلتين لخط الظل.

لتبسيط الوصف أعلاه ، ضع في اعتبارك أمثلة الأسئلة التالية:

مثال على المشاكل:

المشكلة 1.

أوجد معادلة مماس الدائرة x² + ص² + 4x = 13 عند النقطة (2 ، 1)!

إجابه:

(2 ، 1) على الدائرة (2² + 1² + 4.2 = 13)

المساواة من أجل العدالة:

x₁.x + y₁.y + 2.x₁ + 2.x = 9

أدخل (2 ، 1) كـ x₁ و ذ₁:

2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 9

4x + y - 5 = 0 → هي معادلة خط المماس.

السؤال 5.

القطع المكافئ له رأس (0 ، 0) وإحداثيات بؤرية (0.2). معادلة القطع المكافئ هي ...

إجابه:

نظرًا لأن إحداثيات البؤرة أعلى الرأس ، فإن القطع المكافئ يفتح لأعلى ، وبالتالي فإن الشكل العام هو x² = 4py.

إحداثيات التركيز (0 ، ع) مع ص = 2 ، لذلك ستكون المعادلة:

x² = 8 ص

السؤال 6.

القطع المكافئ له معادلة الدليل x = 7 وله رأس (0 ، 0). معادلة القطع المكافئ هي ...

إجابه:

نظرًا لأن الدليل يقع على يمين الرأس ، فإن القطع المكافئ يفتح جهة اليسار ، وبالتالي فإن الصيغة العامة للمعادلة هي y² = -4 بكسل.

معادلة الدليل x = p مع p = 7 بحيث تصبح معادلة القطع المكافئ:

ذ² = -28x

وبالتالي مراجعة موجزة لشرائح المخروط التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.