المادة الخطية: الصيغ ، الدوال الخطية ، المعادلات التربيعية ، الأمثلة

الوظيفة الخطية هي دالة يكون فيها المتغير إلى أس واحد أو دالة يكون رسمها البياني خطًا مستقيمًا. لذلك ، غالبًا ما يشار إلى الوظائف الخطية باسم معادلات الخط المستقيم (pgl).

دالة خطية

فهم الوظيفة نفسها هو علاقة رياضية بين متغير ومتغيرات أخرى. تتضمن بعض العناصر التي تتكون منها الوظيفة ما يلي: المتغيرات والمعاملات والثوابت.

عامل هو عنصر تختلف طبيعته من حالة إلى أخرى.

يمكن تقسيم المتغيرات إلى قسمين ، وهما المتغيرات المستقلة والمتغيرات التابعة.

متغير مستقل هو متغير يشرح المتغيرات الأخرى. في حين المتغير التابع هو المتغير الذي يفسره المتغير المستقل.

معامل في الرياضيات او درجة هو رقم أو أرقام مباشرة أمام متغير ، مرتبطة بالمتغير المعني.

ثابت ثابت ولا علاقة له بأي متغير.

دالة خطية نفسها لديها الشكل العام التالي:

f: x → mx + c أو

f (x) = mx + c أو

ص = م س + ج

م هو الانحدار أو المنحدر أو الميل و ج ثابت

الدالة الخطية هي دالة y = F(x) مع F(س) = الفأس + ب (أ ، ب ∈ R و a ≠ 0) لكل x في المنطقة الأصلية.

تُعرف الوظيفة الخطية أيضًا باسم دالة كثيرة الحدود من الدرجة الأولى في المتغير x.

رسم الرسوم البيانية الدالة الخطية

فيما يلي بعض الخطوات لرسم رسم بياني لوظيفة خطية ، بما في ذلك:

• حدد نقطة التقاطع مع المحور x ، y = 0 للحصول على الإحداثيات A (x1، 0)
• حدد نقطة التقاطع مع المحور ص ، س = 0 للحصول على الإحداثيات ب (0 ، ص 1)
• ربط النقطتين A و B بحيث يتم تكوين خط مستقيم ، كما يمكن كتابة المعادلة الخطية باستخدام الرمز y = ax + b. (هذا لتسهيل فهم الصورة). إذا كانت قيمة b موجبة ، فسيتم رسم الدالة الخطية من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين
• إذا كانت قيمة b سالبة ، فسيتم رسم الدالة الخطية كخط من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين.
• إذا كانت b تساوي صفرًا ، فسيتم رسم الدالة الخطية كخط موازٍ لمحور المستوى x.

إذا كانت b سالبة ، نقدم هنا مثالاً مع Y = 10 - 2X ثم سينتقل المنحنى من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين ، وهذه هي الصورة:

إذا كانت b موجبة: Y = 2 + 2X ثم سينتقل المنحنى من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين ، ها هي الصورة:

التدرجات ومعادلات الخط المستقيم الدوال الخطية

أ. الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A (x1، y1) و B (x2، y2) ميله m:

م = y1-y2 أو m = y2-y1

x1-x2 x2-x1

ب. معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A (x1، y1) و B (x2، y2) هي:

y-y1 = x-x1

y2-y1 x2-x1

ج. معادلة الخط المستقيم (pgl) بميله m ويمر بالنقطة A (x1، y1) هي:

ص = م (س - س 1) + ص 1

تحديد ميل معادلة الخط المستقيم (م)

إليك كيفية العثور على التدرج اللوني من معادلة خط مستقيم (PGL)

• معادلة الخط المستقيم: ax + by = c ، وبالتالي فإن التدرج اللوني هو m = - a / b
• معادلة الخط المستقيم: ص = الفأس + ب ، لذا م = أ
• الخط الموازي للمحور x له المعادلة y = c وكذلك m = 0
• الخط الموازي للمحور y له المعادلة x = c وليس له انحدار

نقطة تقاطع سطرين

إيجاد نقطة تقاطع خطين مستقيمين متماثلين عن طريق حل مشكلة نظام المعادلات الخطي المتغيرين سواء كان ذلك باستخدام طريقة الحذف أو طريقة الاستبدال أو طريقة الرسم البياني.

علاقة سطرين

يقال إن خطين متدرجين م 1 و م 2 متوازيان إذا كان م 1 = م 2 وعمودي إذا م 1 س م 2 = -1.

تجمهر

يتطابق خطان مستقيمان إذا كانت معادلة أحدهما مضاعفًا للخط الآخر. وهكذا ، فإن الخط سيتزامن مع الخط ، إذا

موازي

سيكون خطان مستقيمان متوازيين إذا كان ميل أو انحدار خط واحد هو نفسه ميل أو انحدار الخط الآخر.

وهكذا ، فإن الخط سيكون موازيا للخط ، إذا .

تتقاطع

سيتقاطع خطان مستقيمان إذا كان ميل أو انحدار خط واحد مختلفًا عن ميل أو انحدار الخط الآخر. وهكذا ، فإن الخط سوف يتقاطع مع الخط ، إذا .

عمودي

سيكون خطان مستقيمان متعامدين مع بعضهما البعض إذا كان ميل أو انحدار أحدهما معاكسًا لميل أو انحدار الخط الآخر بعلامات معاكسة. وهكذا ، فإن الخط سيكون عموديًا على الخط ، أنا ل .

دالة خطية من الدرجة الثانية

المعادلة التربيعية هي شكل من أشكال المعادلة التي تكون فيها أكبر قوة للمتغير هي 2.

الشكل العام للمعادلة التربيعية هو كما يلي: y = ax² + bx + c = 0 حيث تكون a 0 و a و b و c معاملات. و x هو المتغير.

على سبيل المثال: x² + 5 س + 6 ، 2 س² - 3x + 4 وهكذا.

إيجاد جذور معادلة من الدرجة الثانية

تعني جذور المعادلة التربيعية في هذه الحالة قيمة x التي تجعل ax² + bx + c ستكون النتيجة 0.

على سبيل المثال ، إذا كانت x = k تشكل ak² + bk + c = 0 ، ثم k سوف تسمى جذور المعادلة التربيعية ax² + ب س + ج = 0.

لتحديد الجذور ، هناك ثلاث طرق يمكنك استخدامها.

من بين أمور أخرى: طريقة العوملة ، استكمال المربعات الكاملة ، و طريقة صيغة abc.

لكن طريقة إكمال مربع كامل نادرًا أو صعبة بما يكفي لاستخدامها في تحديد الجذور ، لذلك لن نغطيها في هذه المقالة.

طريقة العوملة

محور المعادلة التربيعية² + bx + c = 0 يتم تحويلها إلى a (x - x₁₎ (س - س₂ ) = 0 ، إذن الجذور هي x₁ و x₂ .

على سبيل المثال ، إذا أردنا تحليل الفأس² + bx + c = 0 ، الخطوة الأولى هي إيجاد رقمين. في هذه الحالة سنأخذ p و q.

لذا إذا جمعنا سنحصل على النتيجة ب. وفي الوقت نفسه ، إذا ضربناها فسوف ينتج عن ذلك تيار متردد.

بمعنى آخر ، p + q = b و p. ف = أ

إذا كانت a = 1 ، فإن صيغة التحليل هي (x + p) (x + q) = 0 ، لذا فإن الجذور هي x + p = 0 x = -p أو x + q = 0 x = -q

إذا كان 1 ، فإن شكل التحليل هو بحيث تكون الجذور أو

كمثال:

أوجد جذور المعادلة التربيعية (أ) س² - 5 س + 6 = 0 و (ب) 6 س² - س - 15 = 0

إجابه:

(أ)

أ = 1 ، ب = -5 ، ج = 6. أوجد رقمين ، p و q ، بحيث يكون p + q = -5 و p.q = 6.

الرقمان هما p = -3 و q = -2 ، لأن -3 + (-2) = -5 و -3. -2 = 6

ثم العوملة هي (x + (-3)) (x + (-2)) = 0 أو (x - 3) (x - 2) = 0 ، لذا فإن الجذور هي:

س - 3 = 0 س₁ = 3 أو س - 2 = 0 س₂ = 2

(ب)

على غرار ما في (أ) ، أوجد p و q ، بحيث يكون p + q = -1 و p.q = a.c = -90

ثم نحصل على p = -10 و q = 9

ثم العوملة ، بحيث تكون الجذور أو

إذن ، جذور المعادلة التربيعية هي أو

طريقة صيغة ABC

لا يمكن تحليل جميع أشكال المعادلات التربيعية إلى عوامل. على سبيل المثال ، لا يمكننا تحليل الصيغة x² - 3x + 1 = 0 حيث لا توجد أعداد صحيحة p وأيضًا q يمكن أن تحقق p + q = -3 و p.q = 1.

هذا لأن جذور المعادلة ليست أعدادًا صحيحة أو أعدادًا منطقية. لكن العدد غير منطقي.

ل لتحديد الجذور ، يمكننا استخدام صيغة abc التالية:

وهكذا ، فإن الجذور أو .

ب² - يشار إلى 4ac أعلاه بالمميز (D).

كمثال:

أوجد جذور x² - 3 س + 1 = 0

إجابه:

أ = 1 ، ب = -3 و ج = 1 ، لذلك من خلال تطبيقه على صيغة abc أعلاه ، سنحصل على

هذا يعني أن الجذور و .

أنواع جذور المعادلات التربيعية

في بعض الأمثلة أعلاه ، سنرى ذلك جذران. وكلا الجذور هي أعداد حقيقية.

ولكن هناك أوقات تكون فيها المعادلة التربيعية فقط جذر حقيقي واحد (جذور مزدوجة) ، أو حتى ليس له جذور حقيقية.

نحن سوف، لمعرفة ما إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذران حقيقيان ، أو جذر حقيقي واحد (توائم) ، أو لا جذور حقيقية ، يمكننا أن ننظر إلى تمييزها (D) ، وهي:

د = ب² - 4ac إذا كانت D> 0 ، فإن الجذرين حقيقيين ومختلفين إذا كانت D = 0 ، فإن الجذور هما توأمان (جذر حقيقي واحد).

إذا كانت D <0 ، فإن الجذور ليست حقيقية (خيالية).

كمثال:

إذا كان معروفًا أن 4x² - 20x + p = 0 له جذر حقيقي واحد ، أوجد قيمة p.

إجابه:

نظرًا لأنه يحتوي على جذر حقيقي واحد فقط ، فهذا يعني أن D = 0.

إذن D = (-20)² – 4 .4. ص = 0400 - 16p = 0.

16 ع = 400 ص = 25

لذا ، فإن قيمة الذي يحقق هذا هو p = 25

مجموع ومنتج الجذور

عندما x₂ و x₂ هي جذور الفأس المعادلة التربيعية² - bx + c = 0 ، ثم تنطبق العلاقة:

x₂ + س₂ = -ب / أ

x_{2 .} x₂ = ج / أ.

كمثال:

عندما x₂ و x₂ هي جذور 3x² - 15x + 10 = 0 أوجد قيمة x²₁ و x²_{2 .}

إجابه:

لا يمكن تحليل المعادلة التربيعية أعلاه إلى عوامل ، لذا فإن الجذور في شكل أعداد غير منطقية ، مما يجعل من الصعب علينا حساب قيمة x²₁ + س²_{2 .}

ومع ذلك ، لا نحتاج إلى حساب قيمة x بشكل فردي²₁ و x²_2, لكن يمكننا حساب قيمة x مباشرة²₁ + س²_{2 .}

باستخدام صيغة مجموع الجذور وحاصل ضربها.

لاحظ أن x²₁ + س²₂ = (س₁ + س₂)² – 2_x1x2

من الصيغة أعلاه نحصل على: و

لذلك،

بناء معادلة تربيعية جديدة

يمكننا بناء معادلة تربيعية جديدة من المعلومات الموجودة على الجذور. إذا كانت الجذور p و q ، فإن المعادلة التربيعية الجديدة هي:

x² - (p + q) x + pq = 0

كمثال:

معادلة تربيعية جذورها 3 و 5 هي x² - (3 + 5) س + 3.5 = 0 س² - 8 س + 5 = 0

وظيفة من الدرجة الثانية

الدالة التربيعية هي الدالة التي تكون أكبر قوة للمتغير فيها هي 2.

مثل المعادلة التربيعية ، ولكن في شكل دالة.

الشكل العام هو: f (x) = ax² - bx + c ، حيث a ، b ، c أرقام حقيقية و 0.

كمثال: و (س) = 3 س² - 5x + 7

وبالتالي ، f (0) = 3. 0² + 5. 0 + 7 = 7 ، و (0) = 3. 4² + 5. 4 + 7 = 75 وكل شيء آخر.

الرسوم البيانية أو المنحنيات للدوال التربيعية

عندما يتم وصفها في الإحداثيات الديكارتية ، فإن الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ.

يفتح القطع المكافئ إذا كان a> 0 ويفتح عندما <0.

فيما يلي خطوات وصف الرسم البياني أو المنحنى:

الخطوة الأولى حدد نقطة تقاطع y = f (x) = ax² - bx + c حول المحور السيني. هذه هي قيمة x عندما تكون y = 0.

وبالتالي ، فإن قيمة نقطة التقاطع هذه هي جذور محور المعادلة التربيعية² + ب س + ج = 0

بعد ذلك ، حدد نقطة الانقطاع حول المحور y ، قيمة y عندما x = 0.

بعد ذلك ، حدد محاور التماثل له. محور التناظر هو الخط الذي يقسم القطع المكافئ. يمكن حساب نقطة تقاطع محور التناظر مع المحور x باستخدام الصيغة أو

أخيرًا ، حدد نقطة عالية (الحد الأقصى أو الحد الأدنى لنقطة التحول) الرسم البياني. الرأس هو النقطة التي تصل فيها قيمة y = f (x) إلى أقصى أو أدنى قيمة لها ، بحيث ينعكس القطع المكافئ في الاتجاه.

إحداثيات الرأس القطع المكافئ هي:

حيث D هو المميز ، أي D = ب² - 4 أ.

بعد الحصول على النقاط أعلاه ، يمكننا على الفور رسم رسم بياني للوظيفة التربيعية عن طريق ربط النقاط أعلاه بخط على شكل قطع مكافئ.

لجعل القطع المكافئ يبدو أكثر سلاسة ، يمكننا حساب أو تحديد النقاط الأخرى التي يمر بها المنحنى أو الدالة y = f (x).

فيما يلي مثال على رسم بياني للدالة التربيعية y = f (x) = x² - 5x + 4.

مثال على المشاكل:

إذا كانت y = f (x) = 2x² - 11x + p لها قيمة دنيا هي -1/8 ، لذلك حدد قيمة p.

إجابه:

القيمة الصغرى هي رأس y = f (x)

بهذه الطريقة ، باستخدام صيغة الرأس ، يمكننا الحصول على:

نقطة عالية =

لذلك،

رسم بياني للعلاقات التمييزية للوظائف التربيعية

إذا كان في المعادلة التربيعية يمكننا استخدام القيمة التمييزية لمعرفة ما إذا كانت الجذور حقيقية أم مزدوجة أم ليس لها جذور حقيقية.

إذن في الدالة التربيعية ، يمكننا استخدام القيمة المميزة لمعرفة ما إذا كان التمثيل البياني يتقاطع المحور السيني عند نقطتين مختلفتين ، مماس للمحور السيني ، أو لا يلمس أو يتقاطع مع المحور x.

فيما يلي خصائصه:

إذا كان D هو مميز دالة تربيعية f (x) = ax² - bx + c ، إذن

إذا كانت D> 0 ، فإن الرسم البياني لـ y = f (x) سيتقاطع مع المحور x عند نقطتين مختلفتين.

إذا كانت D = o ، فإن الرسم البياني لـ y = f (x) سوف يلمس المحور x عند نقطة واحدة.

إذا كانت D <0 ، فلن يتقاطع الرسم البياني لـ y = f (x) مع المحور .

وبالتالي مراجعة موجزة للوظائف الخطية التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه للوظائف الخطية كمواد دراستك.