نظرية الاحتمالية: مادة ، عينة مشاكل ، مناقشة

نظرية الاحتمال أو الاحتمال أو المعروفة أيضًا باسم الاحتمال هي طريقة للتعبير عن المعرفة أو الاعتقاد إذا حدث حدث ما أو حدث بالفعل.

تمت صياغة مفهوم الاحتمال في الرياضيات بشكل أكثر صرامة في الرياضيات.

وقد تم استخدامه على نطاق واسع ليس فقط في الرياضيات أو الإحصاء ، ولكن أيضًا في المالية والعلوم والفلسفة. لمزيد من المعلومات حول نظرية الاحتمالات ، راجع المناقشة التالية.

جدول المحتويات

نظرية الفرصة

فرصة هي قيمة بين 0 و 1 تصف احتمالية وقوع حدث.

  • التجربة هي ملاحظة لبعض النشاط أو القياس.
  • النتيجة هي نتيجة معينة للتجربة.
  • الحدث عبارة عن مجموعة من نتيجة أو أكثر من نتائج التجربة.

يقال أن بعض الأحداث مستقلة إذا كان وقوع حدث واحد لن يؤثر على وقوع حدث آخر.

ولمناقشة المزيد حول نظرية الاحتمالات ، سنقدم بعض الأشياء المتعلقة بنظرية الاحتمالات.

من بين هؤلاء: حدث مركب ،الضرب وقواعد العوامل ، التقليب, التوليفات وذات الحدين لنيوتن ، عينة تجربة الفضاء واحتمال وقوع حدث، إلى جانب فرصةحدث مركب.

instagram viewer

اقرأ هذه المقالة حتى تنتهي.

الأحداث المركبة في نظرية الاحتمالات الرياضية

لفهم نظرية الاحتمالات ، سنقدم توضيحًا لتسهيل عملية فهمك. هذا رسم توضيحي.

إذا طلبت منك والدتك وضع الكرات الملونة التي لديك في صندوق الألعاب.

لكن فجأة ، أختك الصغيرة طلبت الكرة. بشكل عشوائي ، سوف تستعيد الكرة ، أليس كذلك ؟.

نحن سوفما هو احتمال رسم الكرتين الزرقاء والحمراء؟ رفاق? يمكننا الإجابة على هذه الأحداث من خلال دراسة مادة الأحداث المركبة في نظرية الاحتمال الرياضي.

تحقق من كيفية اكتشاف الفرص أدناه!

الحدث المركب هو إذا كان هناك حدث أو تجربة تتم أكثر من مرة لإنتاج حدث جديد ، حيث يسمى الحدث الجديد حدثًا مركبًا.

هناك العديد من الأحداث التي يقال إنها أحداث مركبة ، بما في ذلك:

1. تواجدان عشوائيان

في حدثين تعسفيين A و B في مساحة العينة S ، سيتم تطبيق الصيغة:

ل (أ ب) = ف (أ) + ف (ب) - ف (أ ب)

مثل:

من المعروف أنه من بين 45 طالبًا في الفصل ، هناك 28 طالبًا يحبون مادة الرياضيات ، و 22 طالبًا يحبون موضوع اللغة الإنجليزية ، والطلاب العشرة الباقون مثل كليهما.

إذا تم اختيار الطالب بشكل عشوائي ، فحدد احتمال أن يكون الطالب المختار طالبًا يحب الرياضيات أو اللغة الإنجليزية!

نظرية الاحتمالات pdf

معروف:

  • ن (S) = 45
  • مثل الرياضيات ، ن (م) = 28
  • يحب اللغة الإنجليزية ن (ب) = 22
  • مثل كليهما ، n (M B) = 10

إجابه:

  • ن (S) = 45
  • مثل الرياضيات ، ن (م) = 28
  • يحب اللغة الإنجليزية ن (ب) = 22
  • مثل كليهما ، n (M B) = 10

الفرص التي سيتم تحديدها ممن يحبون الرياضيات أو اللغة الإنجليزية هي:

الفوسفور (م ب) = الفوسفور (م) + الفوسفور (ب) - الفوسفور (م ب)

= 28/45 + 22/45 – 10/45
= 40/ 45
= 8/ 9

2. تكملة لحدث

صيغة إيجاد تكملة الحدث هي:

ص (أج) = 1 - ف (أ)

نظرية الاحتمال الرياضي

كمثال:

يتم طي النرد مرة واحدة ، ثم أوجد احتمال الحصول على أكثر من نرد.

إجابه:

يتم دحرجة قالب مرة واحدة ، لذا فإن n (S) = 6

إذا كان A = {النرد أكبر من 2}

لذلك ، أج = {النرد أقل من أو يساوي 2} = {1 ، 2} ، ن (أج) = 2

ص (أج) = ن (أج) / ن (S) = 2/6 = 1/3

إذن ، P (A) = 1 - P (Aج)
= 1 – 1/3
= 2/ 3

لذا ، فإن احتمال الحصول على أكثر من 2 نرد هو 2/3.

3. حدثان مستقلان

صيغة تحديد حدثين متنافيين هي:

ص (أ  ب) = ف (أ) + ف (ب)

نظرية الاحتمال الإحصائي

مثال:

عند رمي نرد من 6 أوجه ، ما هو احتمال الحصول على نرد 1 أو 3؟

إجابه:

أ = {1} ، ب = {3}

ن (أ) = 1 ، ن (ب) = 1

احتمال الحصول على 1 أو 3 نرد هو:

ل (أ ب) = ف (أ) + ف (ب)
الفوسفور (أ ب) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

4. حدثان مستقلان

يقال إن الحدثين A و B مستقلان إذا لم يؤثر الحدث A على الحدث B ولم يؤثر الحدث B على الحدث A. تمت صياغته:

الفوسفور (أ ب) = ف (أ) س ف (ب)

مثال:

إذا كان احتمال قدرة جيلانج على حل مشكلة هو 0.4 وكان احتمال أن يتمكن بوترا من حل المشكلة نفسها هو 0.3 ، فإن احتمال أن يتمكن كلاهما من حل المشكلة هو ...

إجابه:

الفوسفور (أ) = 0.4

الفوسفور (ب) = 0.3

احتمال أن يتمكن جيلانج وبوترا من حل المشكلة هو:

P (A B) = P (A) X P (B) = 0.4 × 0.3 = 0.12

5. حدثان شرطيان

إذا لم يكن الحدثان A و B منفصلين ، فإن الحدث B يتأثر بالحدث A أو الحدث B مع الشرط A ، فيمكننا صياغته على النحو التالي:

الفوسفور (B | A) = P (A B) / P (A) أو P (A B) = P (A) x P (B | A)

كمثال:

يتم رمي النرد مرة واحدة. أوجد احتمال الحصول على عدد فردي من النرد بشرط أن يكون عدد النرد الأولي أولًا.

إجابه:

معروف؛

S = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} ، ن (س) = 6
أ = حدوث عدد أولي
أ = {2 ، 3 ، 5} ، ن (أ) = 3

P (A) = n (A) / n (S) = 3/6 = 1/2

ب = حدوث عدد فردي من النرد

ب = {1، 3، 5}

P (A) = n (A) / n (S) = 3/6 = 1/2

احتمال الحصول على عدد فردي من النرد بشرط أن يكون حدوث النرد الأولي أولاً هو:

P (B | A) = P (A B) / P (A) = 1/4 / 1/2 = 1/2

بعد أن درست كل احتمالات الأحداث المركبة ، يمكننا أن نستنتج ما يلي:

صيغة التكرار المركب

لا. أنواع التكرار المركب معادلة
1 تواجدان عشوائيان ل (أ ب) = ف (أ) + ف (ب) - ف (أ ب)
2 تكملة لحدث ص (أج) = 1 - ف (أ)
3 حدثان مستقلان ل (أ ب) = ف (أ) + ف (ب)
4 حدثان مستقلان الفوسفور (أ ب) = ف (أ) س ف (ب)
5 حدثان شرطيان الفوسفور (B | A) = P (A B) / P (A) أو P (A B) = P (A) x P (B | A)

استمرارًا لنظرية الاحتمال ، سنشرح أدناه الضرب وقواعد العوامل ، التقليب, التوليفات وذات الحدين لنيوتن ، عينة تجربة الفضاء واحتمال وقوع حدث، و فرصةحدث مركب. انظر بعناية ، نعم.

اقرأ أيضا: لوغاريتم

الضرب وقواعد العوامل في نظرية الاحتمالات

هل سبق لك أن أردت الذهاب إلى مكان ما ، ولكن اتضح أن السماء كانت غائمة ، وبدت مظلمة ، لذا كانت الرياح تهب بقوة أكبر من المعتاد؟

بعد ذلك ، تعتقد أنه من المحتمل أن تمطر قريبًا.

نحن سوف، دون أن تدرك ذلك ، لقد طبقت بالفعل نظرية الاحتمال في الحياة اليومية أنت تعرف.

نحن سوف، حتى نفهم المزيد عن نظرية الاحتمالات هذه هيا نتعلم قواعد الضرب والعامل في نظرية الاحتمالات.

في دراستنا لنظرية الاحتمالات ، يجب أن تعرف أيضًا قواعد العد.

مما يعني أ العلم الذي يتعامل مع تحديد أو إيجاد عدد الطرق التي يمكن أن تحدث بها التجربة.

الأشياء الأساسية التي يجب أن تفهمها في تعلم قواعد العد تشمل قواعد الضرب والمضروب والتباديل.

أ. قاعدة الضرب

إذا كان من الممكن أن يقع حدث ما بطرق m ويمكن أن يحدث حدث ثانٍ بطرق n ، فيمكن أن يحدث زوج من الأحداث:

صيغة قاعدة الضرب

طرق م × ن

معلومة:

م: هو الحدث الأول.
n: هو التكرار الثاني.

يمكن تعميم هذا المبدأ ليشمل عدد الأحداث التي يمكن أن تحدث في n1،ن2،ن3،…نك طريق.

عدد أحداث k التي يمكن أن تحدث أو تحدث في n123.…نك طريق.

كمثال:

يمتلك جيلانج 3 بنطلونات باللون الأسود والأزرق والأحمر ولديه 4 قمصان باللون الأزرق والأحمر والأصفر والوردي. كم عدد أزواج طرق جيلانج لاختيار السراويل والقمصان؟

إجابه:

ن1 = تكوين 1 (بنطلون) = 3

ن2 = تكوين 2 (قميص) = 4

العديد من أزواج طرق Gilang لاختيار السراويل والقمصان هي:

ن1 × ن2 = 3 × 4 = 12 طريقة.

ب. عاملي 

في الرياضيات ، مضروب العدد الطبيعي n هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة التي تقل عن n أو تساويها.

يُشار إلى العوامل المصنّعة أيضًا بشكل شائع باستخدام الأحرف: ن! وقراءة n عاملي.

شكل العامل ، وهي:

صيغة عاملية

ن! = ن. (ن -1). (ن - 2). ….. (ن - ن + 1)

التي ، مقابل 0! = 1! = 1 ، لذلك سيكون:

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

وما إلى ذلك وهلم جرا.

كمثال:

تحديد عاملي قيمة:

1. 10!.3!/ 81.4! =

2. 6! + 4!/ 5! – 7!/ 5! =

إجابه:

مناقشة عاملية 

نوع التقليب 

بعد أن نتعلم عنه قاعدة الضرب للمصل العامل في نظرية الاحتمالات ، سنناقش التباديل بعد ذلك.

التباديل ترتيب العناصر المختلفة المكونة من عناصر n ، مأخوذة من عناصر n أو بعض العناصر.

يمكن تجميع التبديلات في عدة أنواع.

وفي هذا الوقت سنتعرف على أنواع التباديل في نظرية الاحتمالات. ما هي أنواع التباديل؟ اقرأ المزيد بعناية المراجعة أدناه.

صيغة التقليب

لا. نوع التقليب معادلة
1 تقليب العناصر n ، كل تبديل يتكون من عناصر n ص(ن ، ن) = ن! أو نصن = ن!
2 تقليب عناصر n ، يتكون كل تبديل من عناصر r لعناصر r ص(ن ص) = نصص = صنص = ن! / (ن - ص)!
3 تبديل n من العناصر التي تحتوي على p.q و r نفس العناصر. ص(ن ، ك 1 ، ك 2 ، كيلو طن) = ن! / ك12! … كر!
4 التباديل الدوري. نصدورية = (ن - 1)!
5 التقليب المتكرر لعناصر n ، يتكون نوع التقليب من عناصر k. صن = نك

1. تقليب العناصر n ، كل تبديل يتكون من عناصر n

إذا كانت هناك عناصر مختلفة مأخوذة n من العناصر ، فإن عدد الترتيبات المختلفة (التباديل) للعناصر n هو

ص(ن ، ن) = ن! أو نصن = ن!

كمثال:

عند الترحيب باجتماع مندوبي الدول الذي حضرته خمس دول ، ستعرض اللجنة بعد ذلك أعلام الدول الخمس التي ستحضر لاحقًا.

في عدد الطرق التي يمكن للجنة أن ترتب بها الأعلام الخمسة ، ما هو عدد الطرق الموجودة؟

إجابه:

من بين الأعلام الخمسة المتاحة ، هذا يعني أن n = 5 ، فإن العديد من المصفوفات الممكنة من الأعلام هي:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 طريقة.

2. التقليب لعناصر n ، يتكون كل تبديل من عناصر r لعناصر n مع r n

بالنسبة لجميع الأعداد الموجبة n و r ، حيث r n ، فإن عدد التباديل للكائنات n المأخوذة بواسطة r الكائنات في وقت واحد هو:

ص(ن ص) = نصص = صنص = ن! / (ن - ص)!
* يجب مراعاة متطلبات الطلب

مثال:

هناك طرق عديدة لاختيار رئيس وسكرتير وأمين صندوق من بين الطلاب الثمانية المتاحين ، وهي ...

إجابه:

معروف:

  • عدد الطلاب ن = 8
  • الرئيس والسكرتير وأمين الصندوق (العديد من الخيارات للأشياء) ، r = 3

وبالتالي:

نظرية الاحتمالات

3. تباديل عناصر n التي تحتوي على p.q و r نفس العناصر

الصيغة المستخدمة هي:

ص(ن ، ك 1 ، ك 2 ، كيلو طن) = ن! / ك12! … كر!

معلومة:

ن = هو العدد الإجمالي للعناصر
ك1 = هو عدد عناصر نفس المجموعة 1
ك2 = هو عدد عناصر نفس المجموعة 2

كر = هو عدد عناصر نفس مجموعة kt
ر = 1،2،3 ،... إلخ.

كمثال:

عدد طرق ترتيب كلمة "بصباسي" هو ...

إجابه:

من كلمة "BASSABASSI" ، عدد الأحرف (n) = 10

معروف:

ك= الحرف B = 2
ك2 = الحرف أ = 3
ك3 = الحرف S = 4
ك4 = الحرف الأول = 1

حل:

ص(10,2,3,4,2) = 10!/ 2!.3!.4!.2! = 10.9.8.7.6.5.4! / 2.1.3.2.1.4! .2.1 = 1260 طريقة.

4.التقليب الدوري

التباديل الدوري هو تباديل دائري (أو للتتابعات الدائرية).

الصيغة المستخدمة في التباديل الدوري هي:

نصدورية = (ن - 1)!

كمثال:

من بين أفراد الأسرة الخمسة الذين سيجلسون قريبًا حول طاولة مستديرة ، فإن عدد طرق الترتيب التي يمكن أن تتكون من 5 أشخاص هو ...

إجابه:

عدد الأشخاص (ن) = 5 ، لذلك:

5صدورية = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 طريقة.

5. التباديل المتكرر لعناصر n ، يتكون نوع التقليب من عناصر k

الصيغة المستخدمة هي:

 صن = نك

مثال:

عدد التوليفات المكونة من 3 أرقام من الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 هو ...

إجابه:

العديد من الترتيبات المكونة من 3 أرقام ، أي العدد بالمئات ، k = 3
عدد الأعداد المراد ترتيبها هو n = 6
عدد التركيبات المكونة من 3 أرقام من الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6:

ص6 = 63 = 216 صفيفًا.

معادلات نيوتن ذات الحدين والتوليفات 

بعد ذلك سوف نركز على المناقشة معادلات نيوتن ذات الحدين والتركيبات. وسنناقش واحدًا تلو الآخر نعم. اقرأ بعناية الاستعراضات أدناه.

أ.مزيج

الجمع هو اختيار الأشياء بغض النظر عن ترتيبها.

يُشار إلى المجموعات عمومًا على النحو التالي:

جنص = نجص

بالنسبة لجميع الأعداد الموجبة n و r ، حيث r n r n ، فإن عدد مجموعات كائنات r المأخوذة من n كائنات في نفس الوقت هو:

صيغة أو صيغة مركبة

نجص = n! / (n-r)! r!

كمثال:

المشكلة 1.

هناك طرق عديدة لاختيار اللاعبين الأساسيين لفريق كرة السلة من 9 أشخاص ، وهي ...

إجابه:

معروف:

يتكون فريق كرة السلة من 5 أشخاص ، r = 5
عدد الأشخاص للاختيار من بينهم هو n = 9

الطرق العديدة لاختيار اللاعبين الأساسيين من فريق كرة السلة هي:

نجص= 9!/ (9-5)!5! = 9.8.7.6.5!/ 4!.5! = 9.8.7.6/4.3.2.1 = 126 طريقة

السؤال 2.

من إجمالي 4 مغنيات سوبرانو و 5 مطربين آلتو ، سيتم اختيار أربعة مديرين للجوقة.

كم عدد الخيارات المختلفة التي ستحصل عليها إذا تم اختيار مغنيتين سوبرانو ومغني ألتو؟

إجابه:

هناك طرق عديدة لاختيار مدير الكورال:

مزيج

ب. معادلات نيوتن ذات الحدين

ذات الحدين لنيوتن هو نظرية وهو ما يشرح عن التنمية الأس لمجموع متغيرين (ذي الحدين).

في نيوتن ذات الحدين باستخدام المعاملات (أ + ب)ن.

على سبيل المثال ، يتم الحصول على n = 2 من: (a + b)2 = (1) أ+ 2ab + (1) ب2

المعاملات المترجمة (أ + ب)2 هي 1 ، 2 ، 1 والتي تساوي ج(2,0) وكذلك ج(2,2) يمكننا كتابتها على النحو التالي:

(أ + ب)2 = ج(2,0) أ2 + ج(2,1) + أب + ج(2,2) ب2

صيغة أو صيغة ذات الحدين لنيوتن

بشكل عام سيتم تطبيقه:

(أ + ب)2 = ج(ن ، 0) أ2 + ج(ن ، 1) أن -1 + ج(ن ، 2) أن -2 + …. + ج(ن ، ص)أن ص بص+ ج(ن ، ن) بن

عند كتابته في تدوين سيجما ، سيحصل على:

سيجما

كمثال:

الفصل السابع من (2x + y)15 هذا هو…

إجابه:

معروف:

ن = 15
ص = 7-1 = 6

وبالتالي:

معادلات نيوتن ذات الحدين

معرفة التجارب ونماذج المساحات وحساب احتمالية الأحداث

وأخيرًا في نظرية الاحتمالات ، سوف ندرس عنها التجربة وعينة الفضاء واحتمال حساب حدث. هيا، نناقش واحدًا تلو الآخر ، استمع جيدًا ، نعم.

أ. محاكمة

الخصائص الأساسية للتجربة هي:

  1. في كل نوع من التجارب هناك نتائج أو أحداث أو أحداث محتملة ستحدث.
  2. سيكون من الصعب تحديد النتائج الدقيقة لكل من هذه التجارب.

توضيح:

لا. محاكمة النتائج المحتملة
1 القذف عملة تظهر صورة (G) أو رقم (A)
2 رمى نرد واحد العيون 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6.

ب. غرفة بسيطة

مساحة العينة (S) هي مجموعة النتائج المحتملة للتجربة. نقطة عينة هم أعضاء في مساحة العينة ، بينما تسمى مجموعة من عدة نقاط عينة حدثًا.

الكثير من مساحة العينة يرمز لها ن (س).

كمثال:

يتم رمي عملة معدنية 3 مرات ، وبالتالي فإن مساحة العينة وعدد العينات من تجربة رمي العملة ...

إجابه:

إمكانية:

  • العملة الأولى: A A G A G G G
  • العملة الثانية: A G A G A G G
  • العملة الثالثة: A G A A G G A G

ثم؛

S = {(AAA) ، (AAG) ، (AGA) ، (GAA) ، (AGG) ، (GAG) ، (GGA) ، (GGG)}

ن (S) = 8

ج. حدوث المناسبة

على سبيل المثال ، S هي مساحة العينة لتجربة يكون فيها كل عضو من S. احتمال الحدوث هو نفسه و K هو حدث مع K withS ، وبالتالي فإن احتمال K هو:

صيغة الحدوث أو الصيغة

P (K) = n (K) / n (S)

مع 0 P (K) 1 ،

وصف:

n (K): هو عدد العناصر في الحدث K.
n (S): هو عدد الأعضاء في مجموعة فضاء العينة.

كمثال:

يتم رمي نرد مرة واحدة ، واحتمال الحصول على رقم أولي هو ...

إجابه:

معروف:

  • مساحة عينة النرد هي (S) = {1، 2، 3، 4، 5، 6} لذا n (S) = 6
  • العدد الأولي الذي يظهر هو (K) = {2، 3، 5} ثم n (K) = 3

لذا فإن احتمال الحصول على عدد أولي هو:

P (K) = n (K) / n (S) = 3/6 = 1/2

د. احتمال تكملة الحدث

P (K) هو احتمال حدث لـ K وأيضًا P (Kc) = P (K ') هو احتمال لحدث ليس K ، ثم سيتم تطبيقه:

صيغة أو صيغة لاحتمالية تكملة حدث

ف (ك) + ف (كج) = 1
ف (كج) = 1 - ف (ك)

كمثال:

احتمال أن يجتاز جيلانج اختبار الرياضيات هو 0.89 ، لذا فإن احتمال ألا يجتاز جيلانج اختبار الرياضيات هو ...

إجابه:

معروف:

  • K = حدث اجتازت Rina اختبار الرياضيات = 0.89
  • Kc = حدث لا تنجح Rina في اجتياز اختبار الرياضيات

احتمالية عدم نجاح رينا في اختبار الرياضيات هي:

الفوسفور (Kc) = 1 - الفوسفور (K) = 1 - 0.89 = 0.11

E. تردد التوقع

التردد المتوقع هو عدد الأحداث المتوقع حدوثها أو حدوثها في التجربة.

إذا تم إجراء تجربة n مرة وكانت قيمة احتمال حدوث K في كل تجربة هي P (K) ، فإن التكرار المتوقع لأحداث K هو:

صيغة أو صيغة التردد المتوقعة

Fh (K) = n x P (K)

كمثال:

يتم رمي نرد واحد 120 مرة ، فإن التكرار المتوقع لظهور النرد هو عامل 6.

إجابه:

معروف:

  • S = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6} ن (س) = 6
  • ك: عامل العدد 6 = {1 ، 2 ، 3 ، 6} ن (أ) = 4
  • ن = عدد الرميات = 120

لهذا السبب؛

P (K) = n (K) / n (S) = 4/6 = 2/3

لذا فإن تكرار التوقعات يظهر بمعامل 6 ، وهو:

Fh (K) = n x P (K) = 120 x 2/3 = 80 مرة.

اقرأ أيضا: لا يتجزأ إلى أجل غير مسمى

وبالتالي مراجعة موجزة لنظرية الاحتمالية التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه لنظرية الفرصة كمواد دراسية.