الجبر: العناصر ، عمليات العد ، كسور الأشكال السحرية

الجبر هو شكل من أشكال الرياضيات حيث يشتمل العرض التقديمي على أحرف مختلفة تمثل أرقامًا غير معروفة.

عادة ما تستخدم الصيغة الجبرية لحل مشكلة في الحياة اليومية.

يستخدم استخدام الجبر على نطاق واسع للعديد من الأشياء غير المعروفة مثل كمية زيت الوقود اللازمة حافلة في الأسبوع ، المسافة المقطوعة في وقت معين ، أو كمية العلف المطلوبة في 3 يوم. يمكننا إيجاد النتائج باستخدام الجبر.

عناصر الجبر

1. المتغيرات والثوابت والعوامل

ألق نظرة على الشكل الجبري أدناه:

5 س + 3 ص + 8 ​​س - 6 ص + 9.

في الشكل الجبري أعلاه ، يشار إلى الحرفين x و y أيضًا عامل.

عامل هو رمز أو رمز بديل لرقم غير معروف قيمته بوضوح.

المتغيرات لها أسماء أخرى ، وهي عامل. يُشار إلى المتغيرات عمومًا باستخدام الأحرف الصغيرة a ، b ، c ،... ، z.

الرقم 9 في الصورة الجبرية أعلاه يسمى ثابت.

ثابت هو مصطلح في شكل جبري في شكل أرقام ولا يحتوي على متغيرات.

إذا كان من الممكن تغيير رقم a إلى a = p X q حيث a و p و q أعداد صحيحة ، فإن p و q تسمى عوامل a.

في الصورة الجبرية أعلاه ، يمكننا تحليل 5x إلى 5x = 5 X x أو 5x = 1 X 5x.

إذن ، عوامل 5x هي 1 و 5 و x و 5x. أما ما هو المقصود معامل في الرياضيات او درجة وهي العامل الثابت للمصطلح في الشكل الجبري.

ضع في اعتبارك معاملات كل حد في الصورة الجبرية التالية: 5x + 3y + 8x - 6y + 9.

المعامل على الحد 5x هو الرقم 5 ، والحد 3y هو الرقم 3 ، والحد 8x هو الرقم 8 ، والحد 6y هو الرقم -6.

2. القبائل المتشابهة وغير المتشابهة

قبيلة

المصطلح هو متغير وكذلك معامله أو ثابت في شكل جبري مفصولة بعملية الجمع أو الفرق.

قبائل مماثلة هو مصطلح له نفس المتغير وقوة كل متغير.

كمثال:

5x و –2x ، 3a2 و a2 ، y و 4y ، ...

قبيلة غير متشابهة هو مصطلح له متغير وقوة كل متغير ليست هي نفسها.

كمثال:

2x و –3 × 2 ، –y و –x3 ، 5x و –2y ، ...

ب) القبيلة الأولى

المصطلح الأول هو شكل جبري لا يرتبط بعملية المجموع أو الفرق.

كمثال:

3x ، 2a2 ، –4xy ، ...

ج) القبيلة الثانية

المصطلح الثاني هو شكل جبري مرتبط بعملية مجموع أو فرق.

كمثال:

2x + 3 ، a2 - 4 ، 3 × 2 - 4x ، ...

د) قبيلة الثلاثة

المصطلح الثالث هو شكل جبري مرتبط بعمليتي جمع أو فرق.

كمثال:

2 × 2 - س + 1 ، 3 س + ص - س ص ، ...

يُطلق على الصورة الجبرية التي تحتوي على أكثر من حدين اسم كثير الحدود.

عمليات حساب الصيغ الجبرية

يمكن أن تتخذ العمليات الحسابية الجبرية شكل ضرب حد واحد بفصلين ، وضرب حدين بفصلين اثنين ، وقسمة الصيغ الجبرية ، وأسس للصيغ الجبرية.

ومع ذلك ، قبل أن تتعلم المزيد عن العمليات الحسابية في الأشكال الجبرية ، عليك أن تعرف الخصائص الجبرية الثلاثة التالية:

1. الخصائص التبادلية
   أ + ب = ب + أ ، مع أ وب R (رقم حقيقي)
2. الخصائص النقابية
   (أ + ب) + ج = أ + (ب + ج) حيث أ ، ب ، ج  R (رقم حقيقي)
3. خصائص التوزيع
   أ (ب + ج) = أب + ج ، حيث أ ، ب ، ج  R (رقم حقيقي)

الخصائص الثلاثة المذكورة أعلاه لها أدوارها المهمة في فهم مفهوم تحليل الأشكال الجبرية إلى عوامل.

وقبل أن تتعلم كيفية تحليل الصيغ الجبرية إلى عوامل ، تحتاج إلى فهم العمليات الحسابية للصيغة الجبرية أيضًا. يتكون الجبار من الجمع والطرح والضرب والقسمة وأيضًا القوة والتي سيتم مناقشتها أدناه هذا.

اقرأ المراجعة التالية بعناية حتى تنتهي.

1. الجمع والطرح للصيغ الجبرية

في الشكل الجبري ، لا يمكن إجراء عمليات الجمع والطرح إلا بشروط مماثلة.

الحيلة ببساطة هي إضافة أو طرح المعاملات بشروط متشابهة.

كمثال:

مجموع 3 بطيخ مع نتيجتين ليس خمس بطيخ وليس 5 مانجو.

ستكون النتيجة 3 بطيخات واثنين من المانجو.

إذن ، ما علاقة هذا بالجمع والطرح الجبريين؟

هذا مجرد مثال ، على سبيل المثال ، يمثل البطيخ المتغير x ويمثل الأناناس المتغير y. مجموع 2x و 3y ليس 5x أو 5y. ستظل النتيجة 2x و 3y.

انظر المزيد من التفسيرات فيما يتعلق بجمع وطرح العمليات الجبرية أدناه. سنقدم أمثلة على الأخطاء التي تحدث غالبًا بالإضافة إلى أمثلة صحيحة لعمليات الجمع والطرح في الأشكال الجبرية

مثال خاطئ (غالبًا ما يرتكب أخطاء):

8 س - 5 ص = 3 س

8 ص - 5 ص + 3 س = 6 ص

8 س - 5 س + 3 ص = 6 س

مثال صحيح (نتيجة صحيحة):

8 س - 5 ص = 8 س - 5 ص

8 ص - 5 ص + 3 س = 3 ص + 3 س

8 س - 5 س + 3 ص = 3 س + 3 ص

انتبه جيدًا للمتغيرات ، ولا تنطبق عمليات الجمع والطرح إلا على نفس المتغير.

2. عمليه الضرب

عليك أن تتذكر أنه في عملية ضرب الأعداد الصحيحة ، تنطبق خاصية التوزيع الخاصة بالضرب على الجمع ، أي أ × (ب + ج) = (أ × ب) + (أ × ج).

وكذلك خاصية التوزيع للضرب في الطرح ، وهي أ × (ب - ج) = (أ × ب) - (أ × ج) للأعداد الصحيحة أ وب وج على التوالي. تنطبق هذه الخاصية أيضًا على ضرب الأشكال الجبرية.

هنا سنوضح لك كيفية ضرب عمليات الأشكال الجبرية.

اضرب حدًا واحدًا في حدين

شاهد كيف تضرب مصطلحًا واحدًا في اثنين في الصورة أدناه!

أمثلة على الأخطاء الشائعة:

2 (س - ص) = 2 س ص

3 س (2 س - ص) = 6 س - 3 ص

مثال صحيح (نتيجة صحيحة):

2 (س - ص) = 2 س - 2 ص

3 س (2 س - ص) = 6 س² - 3xy

ضرب حدين في حدين

ألق نظرة على كيفية ضرب حدين في الصورة أدناه!

أمثلة على الأخطاء الشائعة:

مثال صحيح (نتيجة صحيحة):

3. رتبة

حاول أن تتذكر عملية الأس على الأعداد الصحيحة.

تُعرَّف عملية الأس بأنها الضرب المتكرر لنفس الرقم.

هذا ينطبق أيضًا على قوة الصورة الجبرية.

بناءً على قوة الصورة الجبرية من حدين ، يتم تحديد المعامل في كل حد وفقًا لمثلث باسكال.

على سبيل المثال ، سنحدد نمط المعاملات في ترجمة الصيغة الجبرية ذات المصطلحين (a + b) n ، مع n من الأعداد الطبيعية.

انظروا إلى الصورة أدناه:

في مثلث باسكال أعلاه ، يتم الحصول على الرقم الذي يقع تحته عن طريق جمع الأرقام المجاورة الموجودة فوقه.

أمثلة على الأخطاء الشائعة:

(س + ص)² = س² + ص²

(س - ص)² = س² - ذ²

(2x)⁵ = 2x⁵

مثال صحيح (نتيجة صحيحة):

(س + ص)² = س² + 2xy + y²

(س - ص)² = س² - ذ²

(2x)⁵ = 2x⁵

4. يشارك

يمكنك الحصول على حاصل قسمة اثنين في الصورة الجبرية للأرقام عن طريق تحديد العامل المشترك أولاً في كل من الأشكال الجبرية.

بعد ذلك ، اقسم البسط والمقام.

أمثلة على الأخطاء الشائعة:

مثال صحيح (نتيجة صحيحة):

لا تتجاهل المتغيرات. كن حذرًا مع الأقسام وكذلك القواسم أو المحددات الكمية التي تحتوي على إضافات مثل ما يلي:

5. الاستبدال على الصيغ الجبرية

يمكننا تحديد قيمة الرقم في الصورة الجبرية عن طريق استبدال أي رقم في متغيرات الصورة الجبرية.

6. تحديد KPK و FPB في الصيغ الجبرية

حاول أن تتذكر مرة أخرى كيفية تحديد المضاعف المشترك الأصغر و العامل المشترك الأكبر من عددين صحيحين أو أكثر.

هذا ينطبق أيضا في شكل جبري. لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM) والصيغة الجبرية (GCF) من الصيغ الجبرية ، يمكننا فعل ذلك من خلال إعلان أن الصيغ الجبرية هي حاصل ضرب عواملها الأولية.

الكسور الجبرية

1. تبسيط كسور الصيغ الجبرية

يُقال أن الكسر الجبري هو الأبسط إذا لم يكن للبسط والمقام عوامل مشتركة باستثناء 1.

والمقام لا يساوي صفرًا.

لتبسيط الكسور في الصورة الجبرية ، يمكننا فعل ذلك بقسمة بسط الكسر ومقامه على العامل المشترك الأكبر لكليهما.

2. عمليات حساب الكسور الجبرية ذات المقامات المفردة

• جمع وطرح

رأينا في الفصل السابق أن نتائج عمليتي الجمع والطرح على الكسور يتم الحصول عليها من خلال معادلة المقامات.

ثم اجمع أو اطرح البسط بعد ذلك.

يجب أن تتذكر أيضًا أنه للمساواة بين مقامات الكسرين ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامرين.

بنفس الطريقة ، فإنه ينطبق أيضًا على عمليات الجمع والطرح للكسور الجبرية.

ضع في اعتبارك الأسئلة النموذجية التالية:

• الضرب والقسمة

لا يختلف ضرب الكسور الجبرية كثيرًا عن ضرب الكسور.

ضع في اعتبارك الأسئلة النموذجية التالية:

• القوى الجبرية للكسور

عملية الأس هي الضرب المتكرر لنفس الرقم. ينطبق هذا أيضًا على قوة الكسور في الصورة الجبرية.

ضع في اعتبارك الأسئلة النموذجية التالية:

وبالتالي مراجعة موجزة هذه المرة يمكننا أن ننقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.