الرياضيات المالية: التعريف ، المادة ، الرياضيات الاقتصادية ، المشاكل

في مادة الرياضيات المالية ، يُعرف أيضًا باسم التمويل الكمي وهو مجال من الرياضيات التطبيقية ، والذي يتعامل مع النمذجة الرياضية للأسواق المالية.

من وجهة نظر عملية ، تتركز الرياضيات المالية في مجال الحسابات المالية أو المعروف أيضًا باسم الهندسة المالية.

ومع ذلك ، يمكن قول الشيء نفسه ، تتركز الهندسة المالية في التطبيقات ، بينما في الرياضيات المالية تتركز في النماذج والمشتريات.

في مادة الرياضيات المالية التي سنناقشها هي الفائدة الفردية ، الفائدة المركبة ، الإيجار ، الأقساط السنوية ، الأقساط ، تطبيق المعاشات على السندات ، والاستهلاك. لمزيد من المعلومات ، راجع المناقشة الكاملة للرياضيات المالية أدناه.

زهرة واحدة

إذا كان من المعروف أن الفائدة هي سعر فائدة واحد ، فعند حساب رأس المال النهائي يمكننا حسابها باستخدام الصيغة على النحو التالي:

M = Mo (1 + n.i)

معلومة:

• م = رأس المال النهائي
• Mo = هو رأس المال الأولي
• n = طول (وقت) الاقتراض
• أنا = هي النسبة المئوية لسعر الفائدة (فائدة واحدة)

كمثال:

احسب المبلغ النهائي لرأس المال وقدره 10000000 روبية - والذي سيتم إقراضه لمدة 3 سنوات بمعدل فائدة واحد بنسبة 1٪ على أساس ربع سنوي.

إجابه:

لأنه سيتم منح الفائدة المذكورة أعلاه على أساس ربع سنوي بعد ذلك ؛
ن = 3 سنوات / 3 أشهر
= 3.12/ 3
= 36/3
= 12

وبالتالي ، سيكون هناك 12 دفعة فائدة لمدة 3 سنوات.

لذا فإن مبلغ رأس المال النهائي هو:
M = Mo (1 + n.i)
= 10.000.000 (1+ 12. 1%)
= 10.000.000 + 10.000.000 (12%)
= 10.000.000 + 1.200.000
= 11.200.000

وبالتالي ، فإن مبلغ رأس المال النهائي بعد 3 سنوات هو Rp.11.200.000 ، -

• يتم احتساب الفائدة الفردية واستخدامها في نظام القروض ورأس المال

الفائدة هي خدمة للقرض.

معدل الفائدة = الفائدة / (القرض الأصلي) × 100٪

كمثال:

يريد جيلانج اقتراض أموال من التعاونية بمبلغ 1.000.000.00 روبية. بعد شهر واحد ، يجب على جيلانج إعادة رأس المال بالإضافة إلى الفائدة بمبلغ 1.020.000.00 روبية.

ثم حدد مقدار الفائدة وأسعار الفائدة!

إجابه:

الزهور = 1020،000.00 روبية - 1،000،000.00 روبية إندونيسية = 20000.00 روبية
معدل الفائدة = 20،000.00 / 1،000،000.00 × 100٪ = 2٪

الفائدة الفردية هي الفائدة المكتسبة في نهاية فترة زمنية معينة والتي لن تؤثر على مبلغ رأس المال المقترض.

يتم دائمًا احتساب حساب الفائدة في كل فترة بناءً على مقدار رأس المال الثابت.

صيغة الفائدة التي تُستخدم غالبًا هي:

B = i x t x M

معلومة:

• ب = الفائدة
• i = معدل الفائدة لكل فترة
• ر = هو عدد الفترات
• م = رأس المال

كمثال:

يتم بعد ذلك تحميل رأس مال قدره 1،000،000.00 روبية إندونيسية بمعدل فائدة واحد قدره 2٪ شهريًا. ثم احسب مقدار الفائدة بعد فترة 5 شهور؟

إجابه:

M = 1،000،000.00 روبية إندونيسية
أنا = 2٪ / شهر
ر = 5 أشهر

معدل الفائدة = 2٪ x 5 x Rp.1،000،000.00 = 100،000.00 روبية إندونيسية

وبالتالي ، فإن مقدار الفائدة لمدة 5 أشهر هو 100،000.00 روبية إندونيسية.

مجمع الزهور

في الرياضيات المالية ، عند تحديد رأس المال النهائي إذا كانت الفائدة عبارة عن فائدة مركبة ، يمكننا استخدام طريقتين أو طريقتين ، بما في ذلك:

إذا كان سعر n مستديرًا

إذا كان سعر n دائريًا ، فإن الصيغة المستخدمة في إيجاد رأس المال النهائي هي:

M = Mo (1 + i) 2

معلومة:

• م = رأس المال النهائي
• Mo = رأس المال الأولي
• n = طول (وقت) الاقتراض
• i = النسبة المئوية لمعدل الفائدة (الفائدة المركبة)

كمثال:

احسب المبلغ النهائي لرأس المال البالغ 10000000 روبية - والذي تم إقراضه لمدة عامين بمعدل فائدة مركب قدره 2٪ سنويًا.

إجابه:

M = Mo (1 + i) 2
م = 10،000،000 (1 + 12٪) 2
= 10.000.000 + (1 + 0,02)2
= 10.000.000 + 1.404.000
= 11.404.000,-

لذلك ، من المعروف أنه بعد فترة سنتين سيكون رأس المال النهائي 11404000 روبية.

• يتم احتساب الفائدة المركبة واستخدامها في نظام القروض ورأس المال

انظر بعناية إلى الرسوم التوضيحية أدناه:

إذا احتفظ أحدهم بالمال في أحد البنوك ، فعندئذٍ في نهاية كل فترة ، لا يتم أخذ الفائدة المكتسبة.

ثم ستصبح الفائدة مع رأس المال رأس مال جديد سيهتم به في الفترة المقبلة.

ستكون الفائدة المكتسبة أكبر من الفائدة في الفترة السابقة.

الصيغ التي تُستخدم غالبًا في تحديد الفائدة المركبة في أنظمة القروض ورأس المال هي:

M_n = M 〖(1 + i)〗 ^ n

معلومة:

• Mn = رأس المال في الفترة التاسعة (رأس المال النهائي)
• م = رأس المال الأولي
• أنا = هو سعر الفائدة
• ن = هي الفترة

كمثال:

رأس مال قدره 5.000.000.00 روبية سيتم تحصيلها بفائدة مركبة بنسبة 10٪ / سنويًا. احسب رأس المال النهائي والفائدة المكتسبة بعد فترة 6 سنوات؟

إجابه:

معروف:

• م = 5.000.000.000.00 روبية
• أنا = 10٪ / سنة = 0.1 / سنة
• ن = 6 سنوات

لهذا السبب؛

M_6 = 5.000.000 روبية ، 00 (1 + 0.1) ^ 6
= 5.000.000.000 روبية هندية (1،1) ^ 6
= 5.000.000 روبية ، 00 × 1.771561
= 8.857.805.00 روبية هندية

الفائدة = 8،857،805.00 روبية إندونيسية - 5،000،000 روبية إندونيسية = 3،857،805.00 روبية إندونيسية

لذلك فإن رأس المال النهائي هو 8،857،805.00 روبية وستحصل على فائدة 3،857،805.00 روبية.

أو يمكن أيضًا العثور على الفائدة المركبة باستخدام الصيغة:

Mn = M (1 + ب)^ن
ب = ي_م/ م

معلومة:

• Mn = هي القيمة النهائية
• م = هي القيمة الأساسية الأولية
• n = هو عدد فترات حساب الفائدة
• ب = معدل الفائدة لكل فترة حساب فائدة
• م = هو تكرار حساب الفائدة
• ي_م = هو معدل الفائدة الاسمي مع الفترة
  * حساب م مرات في السنة

تأجير

حل مشاكل الإيجار في التمويل

1. يتم احتساب القيمة النهائية للإيجار حسب النوع

الإيجار عبارة عن سلسلة من رأس المال أو الأقساط التي سيتم دفعها أو استلامها في فترة زمنية محددة محددة.

أ. القيمة النهائية لإيجار ما قبل نوميراندو

Na = (M (1 + i) ((1 + i)〗 ^ t-1)) / i

معلومة:

• Na = القيمة النهائية
• م = رأس المال
• أنا = معدل الفائدة (٪)
• ر = فترة

كمثال:

في بداية كل عام ، تودع جيلانج 1،000،000.00 روبية في بنك BC. إذا أعطى البنك فائدة بنسبة 6٪ في السنة ، فاحسب أموال جيلانج بعد الادخار لمدة 20 عامًا؟

إجابه:

معروف:

• M = 1،000،000.00 روبية إندونيسية
• أنا = 6٪ / سنة = 0.06 / سنة
• ر = 20 سنة

حل:

Na = (M (1 + i) ((1 + i)〗 ^ t-1)) / i
= (1.000.000,00(1+0,06)((〖1+0,06)〗^20-1))/0,06
= (1.000.000,00+60.000,00)(〖1,06〗^20-1)/0,06
= (1.060.000,00 (3,2071-1))/0,06
= (1.060.000,00 (2,2071))/0,06
= 2339563,6005/0,06
=38.992.726,6757

لذلك ، نعلم أن مدخرات نيسا بعد فترة 20 عامًا هي مدخرات روبية 389927266757.

ب. القيمة النهائية لـ Rente Post Numerando

Na = (M 〖((1 + i)〗 ^ t-1)) / i

معلومة:

• Na = هي القيمة النهائية
• م = رأس المال
• أنا = هو معدل الفائدة (٪)
• ر = هي الفترة

كمثال:

في نهاية كل عام ، يحتفظ Setiawan بأمواله في بنك Mandiri بمبلغ يصل إلى 800000.00 روبية على مدى 25 سنة.

إذا كان البنك يعطي فائدة 5٪ في السنة ، فاحسب وديعة Setiawan!

إجابه:

معروف:

• م = 800000.00 روبية
• أنا = 5٪ / سنة = 0.05 / سنة
• ر = 25 سنة

Na = (M 〖((1 + i)〗 ^ t-1)) / i
= (800.000,00 ((1+0,05)^25-1))/0,05
= (800.000,00 (〖1,05〗^25-1))/0,05
= (800.000,00 (3,3863-1))/0,05
= (800.000,00 (2,3863))/0,05
= 1.909.083,9527/0,05
=38.181.679,0543

لذلك ، يمكننا أن نعرف أن مدخرات Setiawan بعد 25 عامًا هي روبية 381،679،05.

2. يتم احتساب القيمة النقدية للإيجار حسب النوع

أ. القيمة النقدية للإيجار قبل الرقم

Nt = (M (1 + i) (1- (1 + i)〗 ^ (- t))) / i

معلومة:

• Nt = القيمة النقدية
• م = رأس المال
• أنا = معدل الفائدة (٪)
• ر = فترة

كمثال:

سيحصل زيدان على منحة دراسية في بداية كل شهر من PT UNILEVER بمبلغ 250،000.00 روبية إندونيسية على مدى 3 سنوات.

إذا كانت المنحة ستقدم في نفس الوقت في بداية الشهر الأول وتحمل فائدة 2٪ / شهر ، فاحسب إجمالي مبلغ المنحة الذي سيحصل عليه زيدان!

إجابه:

معروف:

• م = 250،000.00 روبية إندونيسية
• أنا = 2٪ / شهر = 0.02 / شهر
• ر = 3 سنوات = 36 شهرًا

Nt = (M (1 + i) (1- (1 + i)〗 ^ (- t))) / i
= (250.000,00 (1+0,02)(1-(1+0,02)^(-36) ))/0,02
= 250.000,00(1,02)(1-(1,02)^(-36) )/0,02
= 250.000,00(1,02)(1-0,49022315)/0,02
= 255.000,00(0,50977685)/0,02
= 6.499.654,83

لذلك ، يمكننا أن نعرف أن مبلغ المنحة التي حصل عليها زيدان هو روبية. 6،499،654.83.

ب. القيمة النقدية بعد الإيجار في Numerando

Nt = (M 〖(1- (1 + i)〗 ^ (- t))) / i

معلومة:

• Nt = القيمة النقدية
• م = رأس المال
• أنا = هو معدل الفائدة (٪)
• ر = هي الفترة

كمثال:

في نهاية كل شهر ، يتلقى Yayasan Terkasih تبرعات من وكالة السلام العالمية بمبلغ 5.000.000.00 روبية لمدة 3 سنوات متتالية.

إذا كان التبرع سيتم تقديمه مرة واحدة ويخضع لفائدة 2 ٪ / شهر ، فاحسب المساهمة الإجمالية التي ستتلقاها مؤسسة الحبيب؟

إجابه:

• م = 5.000.000.000.00 روبية
• أنا = 2٪ / شهر = 0.02 / شهر
• ر = 3 سنوات = 36 شهرًا

Nt = (M 〖(1- (1 + i)〗 ^ (- t))) / i
= (5.000.000,00 (1-(1+0,02)^(-36) ))/0,02
= (5.000.000,00 (1-(1,02)^(-36) ))/0,02
= (5.000.000,00 (1-0,49022315))/0,02
= (5.000.000,00 (0,50977685))/0,02
=127.444.212,5

لذلك يمكننا أن نعرف أن حجم التبرعات التي ستتلقاها مؤسسة الحبيب هو 127.444.212.50 روبية.

دخل سنوي

صيغة لإيجاد قيمة المعاش

في العثور على قيمة الأقساط السنوية ، يمكننا استخدام الصيغة أدناه:

AN = M.i / 1- (1 + i)^-ن

معلومة:

• م = رأس المال
• أنا = سعر الفائدة

أو يمكننا أيضًا استخدام قائمة جدول الأقساط.

AN = M x قائمة أبوتي للصف التاسع والعمود i٪

معادلة علاقة القسط السنوي بالدفعة الأولى وهي:

AN = A1 x (1 + i)^ن

معلومة:

• AN = معاش
• A1 = القسط الأول
• أنا = سعر الفائدة
• ن = الفترة الزمنية

كمثال:

تخطط لاراس وزوجها للعودة إلى المنزل في منطقة فيلا إنداه بسعر 250.000.000.00 روبية إندونيسية.

ومع ذلك ، فإن Laras لديها دفعة أولى فقط بقيمة 100،000،000.00 روبية. سيتم دفع الباقي على أقساط باستخدام نظام الأقساط السنوية لمدة 10 سنوات بمعدل فائدة 18٪ / سنة. لذا ، احسب قيمة الأقساط!

إجابه:

م = 250.000.000 - 100.000.000 = 150.000.000
ن = 10 سنوات
أنا = 18٪ / سنة = 0.18 / سنة
AN = M.i / 1- (1 + i)^-ن
AN = 150.000.000 × 0.18 / 1- (1 + 0.18)^-10
AN = 27.000.000 / 1 - 1.18 ^-10
AN = 27.000.000 / 0.808935533
AN = 33.377.196,20

معادلة القرض المتبقي

هناك 4 طرق للعثور على قروض الأقساط السنوية المتبقية ، بما في ذلك:

طريقة 1.

يمكن للطريقة أو الطريقة الأولى استخدام الصيغة أدناه:

Sm = B إلى ^{(م + 1)}/_أنا

معلومة:

• Sm = هي الفائدة المتبقية لـ m
• أنا = هو سعر الفائدة

الطريقة الثانية.

الطريقة أو الطريقة الثانية يمكن أن تستخدم الصيغة أدناه:

Sm = M - (A1 + A1 x قائمة القيمة النهائية لعمود الإيجار i٪ الصف (m-1))

معلومة:

• Sm = هي الفائدة المتبقية لـ m
• م = رأس المال
• A1 = القسط الأول

الطريقة الثالثة.

الطريقة أو الطريقة الثالثة يمكن أن تستخدم الصيغة أدناه:

Sm = A1 x [قائمة القيمة النهائية لعمود الإيجار i٪ row (n-1) - قائمة القيمة النهائية للإيجار للعمود i٪ row (m-1)]

معلومة:

• Sm = هي الفائدة المتبقية لـ m
• A1 = هو الأول

الطريقة الرابعة.

يمكن للطريقة أو الطريقة الرابعة استخدام الصيغة أدناه:

Sm = A x [قائمة عمود القيمة النقدية للإيجار i٪ row (n-m)]

معلومة:

• Sm = الاهتمام المتبقي بـ
• AN = معاش

مثال على المشاكل:

سوف نأخذ مثالا بطريقة واحدة فقط. وهي الطريقة الأولى:

القرض البالغ 10،000،000.00 روبية مع دفع سنوي 510،192.59 روبية ، سيتم سداده باستخدام نظام الأقساط الشهرية التي لها معدل فائدة 3٪ / شهر لمدة 2.5 سنة.

ثم احسب مبلغ القرض المتبقي إلى 10 أشهر!

إجابه:

B1 = M x i
= 10000000 × 0.03
= 300.000

A1 = AN-B1
= 510.192,59 – 300.000
= 210.192,59

A11 = A1 (1 + i)^11-1
= 210.192,59 ( 1+0,03)¹⁰
= 210192.59 × 1.343916379
= 282.481,26

B11 = AN - A11
= 510.192,59 – 282.481,26
= 227.711,33

S10 = ^{ب 11}/_أنا
= ^227.711,33/_0,03
= 7.590.377,67

حل مشاكل الأقساط في نظام القروض

1. تستخدم المعاشات في نظام القروض

المعاش هو عدد من المدفوعات بنفس المبلغ الذي يتم دفعه كل فترة زمنية معينة ، والتي تتكون من جزء فائدة وجزء قسط.

فيما يلي صيغة شائعة الاستخدام:

أ = (م. ط) / ((〖1- (1 + i)〗 ^ (- ر)))
أ = أ_1 س (1 + أنا)〗 ^ ر
a_n = a_1 (1 + i)〗 ^ (t-1)

معلومة:

• أ = هو راتب سنوي
• م = رأس المال / القرض
• أنا = هو سعر الفائدة
• ر = هي الفترة
• a1 = هو الدفعة الأولى

كمثال:

سيتم سداد قرض بقيمة 10،000،000 روبية إندونيسية على 3 أقساط بسعر فائدة 12٪ سنويًا.

احسب حجم الأقساط!

إجابه:

معروف:

• م = 10000000 روبية إندونيسية ، -
• أنا = 12٪ = 0.12
• ر = 3

حل:

أ = (م. ط) / ((〖1- (1 + i)〗 ^ (- ر)))
= (10.000.000 (0,12))/((1-(1+0,12)^(-3) ) )
= 1.200.000/((1-(1,12)^(-3) ) )
= 1.200.000/((1-0,711780))
= 1.200.000/0,28822
= 4.163.483,22

لذلك ، يمكننا معرفة أن مبلغ الأقساط التي يجب دفعها شهريًا هو Rp.4163.483

2. يتم احتساب المعاشات في نظام القروض

قم بتجميع جدول خطة التقسيط

ضع في اعتبارك المشكلات الموضحة أدناه:

قرض بقيمة 15.000.000.00 روبية يتم سدادها خلال 11 شهرًا بفائدة قرض تبلغ 2٪ شهريًا.

احسب حجم القسط السنوي وقم بعمل جدول لخطة التقسيط!

إجابه:

• م = 15.000.000 روبية
• أنا = 2٪ / شهر = 0.02 / شهر
• ر = 11 شهرًا

باستخدام صيغة الأقساط كما في المثال السابق ، سنحصل على مبلغ سنوي قدره 1.532669 روبية.

بعد ذلك ، سنحدد سعر الفائدة في الشهر الأول ، أي بضرب سعر الفائدة في مبلغ القرض في الشهر الأول. هذا = 2٪ x 15،000،000 روبية = 300،000 روبية.

الشيء نفسه ينطبق على أسعار الفائدة للشهر الثاني ، الشهر الثالث…. إلخ.

في قسط الشهر الأول ، سيتم الحصول عليه عن طريق طرح مبلغ الأقساط السنوية مع الفائدة في الشهر الأول. وهي = 1،532،669 روبية - 300000 روبية إندونيسية = 1232.669 روبية.

وبالمثل بالنسبة لأقساط الشهر التالي.

يتم الحصول على قرض الشهر الأول المتبقي عن طريق طرح حجم قرض الشهر الأول من أقساط الشهر الأول. وهي = 15.000.000 روبية - 1.232.669 = 13،767.331 روبية.

وبالمثل بالنسبة للقرض المتبقي للفترة التالية.

يتم الحصول على مبلغ القرض في الشهر الثاني من المبلغ المتبقي لقرض الشهر الأول.

وبالمثل بالنسبة لحجم القرض التالي ، سيتم الحصول عليه من مبلغ القرض المتبقي في الشهر السابق.

انتبه إلى جدول خطة التقسيط.

قرض المعاش الشهري Rp 1،532،669 القرض المتبقي
الفائدة = 0.02 القسط

الإجمالي IDR 1،859،361 IDR 15،000،000

عينة من الأسئلة والمناقشة

أبحث عن مجمع الزهور

المشكلة 1.

تحديد فائدة قدرها 1،000،000 روبية إندونيسية على مدى سنتين بمعدل فائدة 10٪ سنوياً إذا تم احتساب الفائدة بشكل نصف سنوي!

إجابه:

معروف:

Mn = M (1 + ب)^ن

ب = ي_م/ م

م = 1000000
أنا = 10٪: 2 (فصل دراسي) = 0.05
ن = 1 دورة

مليون = 1،000،000 (1 + 0.05) ¹

وبالتالي ، فإن إجمالي الفائدة المركبة لمدة سنتين والتي يتم احتسابها نصف سنويًا هو Rp.215،506.25، -.

السؤال 2.

يريد السيد جيلانج إيداع أمواله البالغة 5،000،000 روبية إندونيسية في بنك يدفع فائدة بنسبة 18٪ سنويًا ، حيث يتم احتساب الفائدة شهريًا. ما مقدار الفائدة التي حصلت عليها خلال السنة الأولى؟

إجابه:

معروف:

م = 5.000.000 روبية
ب = 18٪ / 12 = 1.5٪ = 0.015
ن = 12 فترة

Mn = M (1 + ب)^ن
مليون = 5.000.000 روبية إندونيسية (1 + 0.015)¹²
مينيسوتا = 5978.090857

ب = S - P.
ب = 5،978،090،857 - 5،000،000 روبية إندونيسية
ب = 978،090،857 روبية إندونيسية

مشكلة 3.

ما قيمة S لـ P = 1،000،000 روبية إندونيسية باستخدام معدل الفائدة المحسوب نصف سنوي أو j₂ = 18٪ سنوياً على مدى 5 سنوات؟

إجابه:

معروف :

M = 1،000،000 روبية إندونيسية
ب = 18٪ / 2 = 9٪ = 0.09
ن = 5 × 2 = 10 فترات

Mn = M (1 + ب)^ن

M = 1،000،000 روبية إندونيسية (1 + 0.09)¹⁰
M = 1،000،000 روبية إندونيسية (2367363675)
م = 2،367،363،675 روبية هندية

وبالتالي مراجعة موجزة للرياضيات المالية التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه للرياضيات المالية كمواد دراسية.