الخطوط والزوايا: مواد الفصل 7 والمشكلات والمناقشة

الخطوط والزوايا هي إحدى المواد في الرياضيات التي سنتعلمها في الصف السابع من المدرسة الإعدادية. حسنًا ، هذه المرة سنتعلم أشياء مختلفة تتعلق بالخطوط والزوايا.

بدءاً من العلاقة بين سطرين ، أنواع الزوايا ، خصائص الزوايا ، وكذلك الوحدات المستخدمة للزوايا.

اقرأ المزيد بعناية المراجعات التالية.

خط

الخط عبارة عن ترتيب من النقاط (يمكن أن يكون لانهائيًا) بجوار بعضها البعض ومحاطة بالطول في اتجاهين (يمين / يسار ، أعلى / أسفل).

موقف سطرين

خط مواز

خطان متوازيان أي إذا كان الخط في مستوى ولن يلتقي أو يتقاطع أبدًا إذا امتد الخط إلى ما لا نهاية.

رمز الخطوط المتوازية هو (//)

يقال إن الخطين متوازيين إذا كان الخطان في نفس المستوى أو لن تتقاطع امتداداتهما أبدًا.

أما بالنسبة لبعض خصائص الخطوط المتوازية ومنها:

• اجتياز نقطة خارج الخط ، يمكن أن يتم عمل خط واحد آخر موازٍ للخط.
• إذا كان هناك خط يتقاطع مع أحد الخطين المتوازيين ، فسيتقاطع الخط مع الخط الثاني.
• إذا كان أحد المستقيمين موازيًا لخط آخر ، فسيكون الخطان أيضًا موازيين لبعضهما البعض

خطوط متقاطعة

سيطلق على الخطين تقاطع إذا كان للخطين نقطة تقاطع أو يطلق عليهما عادة نقطة مشتركة.

تداخل الخط

يقال إن خطين يتطابقان إذا كانت لهما نقطتا تقاطع على الأقل.

على سبيل المثال: عقرب الساعات عندما يظهر الساعة 12. ثم سيتزامن عقربا الساعة مع بعضهما البعض.

خطوط العبور

يمكن القول إن خطين يتقاطعان إذا كان الخطان غير متوازيين ولا يقعان في نفس المستوى.

لفهم المواضع المختلفة للخطوط أعلاه ، انظر إلى الصورة أدناه:

ركن

الزاوية هي شيء يتكون من التقاء شعاعين أو خطين مستقيمين.

هذه الزاوية هي مساحة شكلها شعاع يدور عند قاعدة الشعاع. يتم الإشارة إلى الزوايا باستخدام الرمز "∠".

تعريف الزاوية

في الرياضيات ، يمكن تعريف الزاوية على أنها منطقة تتكون من وجود شعاعين تكون نقطتي البداية متحالفة أو متزامنة.

ركن في الهندسة ، هو مقياس لدوران مقطع خطي من نقطة انطلاق إلى أخرى.

بالإضافة إلى ذلك ، في شكل ثنائي الأبعاد عادي ، يمكن أيضًا تعريف الزاوية على أنها المسافة بين مقطعين خط مستقيم متقاطعين. -sc: ويكيبيديا

أجزاء بزاوية

تتكون الزوايا من ثلاثة أجزاء مهمة ، وهي:

زاوية الساق

إنه خط الأشعة الذي يتكون من الزاوية.

ركن بوينت

هي نقطة البداية أو نقطة التقاطع حيث يتطابق خط الأشعة.

منطقة الزاوية

المساحة أو الفراغ بين الزاويتين.

لمزيد من التفاصيل انظر الصورة التالية:

أنواع الزوايا

للتعبير عن مقدار زاوية ، نستخدم الدرجات (°) ، والدقائق (') ، وكذلك الثواني (") ، حيث:

موقف سطرين

فيما يلي مواقف الخطين ، من بين أمور أخرى:

• يقال إن خطين أو أكثر متوازيين إذا كانا يقعان في نفس المستوى ولن يلتقي أبدًا أو يتقاطع إذا امتد الخط إلى ما لا نهاية محدود.
• يقال إن خطين يتقاطعان إذا كانا يقعان في نفس المستوى ولديهما نقطة تقاطع واحدة.
• يقال إن سطرين يتطابقان مع بعضهما البعض إذا كان الخط في خط مستقيم ، بحيث يكون هناك خط مستقيم واحد فقط مرئي.
• يقال إن خطين يتقاطعان إذا لم يكنا في نفس المستوى ولن يتقاطعان إذا تم تمديدهما.

العلاقة بين الزوايا

زاوية مربعة

إذا كانت هناك زاويتان تتطابقان وتشكلان زاوية قائمة ، فستكون إحدى الزاويتين زاوية مكملة للزوايا الأخرى بحيث تسمى الزاويتان بالزوايا التكميلية (تكملة).

هذه صورة للزاوية الزاوية:

مجموع زاويتين متكاملتين هو 90 درجة. إحدى الزوايا هي تكملة الزاوية الأخرى.

زاوية قائمة

إذا كانت هناك زاويتان تتطابقان مع بعضهما البعض وتشكلان زاوية مستقيمة ، فإن إحدى الزوايا ستكون زاوية مكملة للزاوية الأخرى. لذلك يمكن استدعاء الزاويتين كزاويتين مكملتين.

هذه صورة للزوايا المستقيمة:

مجموع زاويتين متكاملتين هو 180 درجة. إحدى الزوايا هي تكملة الزاوية الأخرى.

العلاقة بين الزوايا عندما يكون خطان متوازيان

قطع بخط آخر

الق نظرة فاحصة على الصورة أدناه:

الزاوية المعاكسة (نفس الحجم)

إنها زاوية لها نفس الموضع ونفس المقدار. في الصورة أعلاه ، الزوايا المعاكسة هي:

أ = هـ
ب = واو
ج = ز
د = ح

الزوايا الداخلية المعاكسة (نفس القياس)

هي زاوية في الداخل وموضعها مقابل بعضهما البعض. في الصورة أعلاه ، الزوايا الداخلية المقابلة هي:

ج = ه
د = ف

مقابل الزوايا الخارجية (نفس الحجم)

هي زاوية تقع في الخارج وقابلة لبعضها البعض ، على سبيل المثال:

أ = ز
ب = ح

الزوايا المعاكسة والعكسية

• إذا تم قطع خطين متوازيين بواسطة خط آخر ، يتم تكوين أربعة أزواج من الزوايا المتقابلة والتي تكون متساوية في الحجم.
• إذا تم قطع خطين بخط آخر ، فإن أبعاد الزوايا الخارجية المتقابلة المتكونة هي نفسها.
• إذا تم قطع خطين متوازيين بخط آخر ، فإن الزوايا الداخلية المتقابلة المتكونة تكون بنفس الحجم.
• إذا تم قطع خطين متوازيين بخط آخر ، فسيكون مجموع الزوايا الداخلية 180 درجة.

الزاوية الداخلية

إنها زاوية تقع في الداخل وموضعها في نفس الجانب. عند جمع الزوايا الموجودة على نفس الجانب معًا ، ستشكل زاوية مقدارها 180 درجة. كمثال:

D + E = 180 درجة
C + F = 180 درجة

الزاوية الخارجية من جانب واحد

هي زاوية تقع في الخارج وموضعها في نفس الجانب. عند جمع الزوايا الموجودة على نفس الجانب معًا ، ستشكل زاوية مقدارها 180 درجة. كمثال:

B + G = 180 درجة
أ + ح = 180 درجة

الزوايا المعاكسة (نفس الحجم)

هي زاوية مواضعها متقابلة ، في الصورة أعلاه ، الزوايا المعاكسة هي:

أ = ج
ب = د
ه = ز
F = H.

يحدث زوج من الزوايا المتقابلة عندما يتقاطع خطان بحيث يكون اثنان تسمى الزوايا المقابلة لنقطة التقاطع بالزوايا المتقابلة.
زاويتان متقابلتان متساويتان.

وحدة الزاوية

بالدرجات ، تمثل القيمة 1 درجة زاوية يتم تدويرها بمقدار 1/360 من الدوران. مما يعني 1 درجة = 1/360 ثورة.

لتحديد زاوية أصغر من الدرجات (°) ، يمكننا استخدام رمزي الدقيقة (") والثانية (").

انتبه جيدًا لعلاقة الدرجات والدقائق والثواني أدناه:

1 درجة (1 درجة) = 60 دقيقة (60 درجة)

دقيقة واحدة (1 ′) = 1/60 درجة

دقيقة واحدة (1 ′) = 60 ثانية (60 بوصة)

1 درجة (1 درجة) = 3600 ثانية (3600 بوصة)

1 ثانية (1 بوصة) = 1/3600 درجة

قياس الزاوية بالتقدير الدائري

1 ° = p / 180 راديان

أو

1 راديان = 180 درجة / ع

إذا كانت القيمة ص = 3.14159 وبالتالي:

1 ° = p / 180 راديان = 3.14159/180 = 0.017453

أو

1 راديان = 180 درجة / ع = 180 درجة / 314159 = 57.296 درجة

عينة من الأسئلة والمناقشة

فيما يلي بعض الأسئلة المتعلقة بالخطوط والزوايا ومنها:

المشكلة 1.

ثلاثة خطوط كل k و l و m بالترتيب كما هو موضح أدناه.

الخط k موازي للخط l والخط m يتقاطع مع الخط k و l.

لذلك ، حدد:

أ) زوايا متقابلة
ب) زوايا متقابلة
ج) الزوايا المتقابلة في
د) زوايا متقابلة خارجيًا
ه) الزوايا الداخلية على نفس الجانب
و) الزوايا الخارجية أحادية الجانب
ز) الزوايا المستقيمة

إجابه:

أ) الزوايا المعاكسة هي:

A1 مع B1
A4 مع B4
A2 مع B2
B3 مع B3

ب) الزوايا المعاكسة هي:

A1 مع A3
A2 بحجم A4
B1 مع B3
B2 مع B4

ج) الزوايا الداخلية المقابلة (الداخل المقابل) وهي:

A3 مع B1
A4 مع B2

د) الزوايا الخارجية المقابلة هي:

A2 مع B4
A1 مع B3

ه) الزوايا الداخلية هي:

A3 مع B2
A4 مع B1

و) الزوايا الخارجية أحادية الجانب وهي:

A2 مع B3
A1 مع B4

ز) الزوايا المستقيمة هي:

A1 مع A2
A1 مع A4
A2 مع A3
A3 بحجم A4
B1 مع B2
B1 مع B4
B2 مع B3
B3 مع B4

السؤال 2.

معطى ثلاثة أسطر وهي k و l و m وكذلك الزوايا الموجودة في البيئة. k و l متوازيان بينما يتقاطع الخط m مع الخط k و l.

إذا كانت P = 125 ° ، فأوجد الزوايا السبع الأخرى حولها!

إجابه:

R = P = 125 ° (لأن R عكس P)
T = P = 125 ° (لأن T تقابل P)
V = R = 125 ° (لأن V عكس R) ∠Q = 180 ° P = 180 ° - 125 ° = 55 ° (لأن Q هو P مستقيم)
S = Q = 55 ° (لأن S عكس Q)
U = Q = 55 ° (لأن U بالنسبة إلى Q)
W = U = 55 ° (لأن W عكس U)

مشكلة 3.

انظر إلى الصورة أدناه ، إذا كانت EF موازية لـ DG والمثلث ABC هو مثلث متساوي الساقين بقياس الزاوية C يساوي 40 °.

ثم حدد:

أ) حجم الزاوية DBE
ب) قياس الزاوية BEF
ج) زاوية CAG

إجابه:

أ) حجم الزاوية DBE

الخطوة الأولى هي إيجاد قياس الزاوية ABC أولاً. ABC هو مثلث متساوي الساقين بحيث يكون حجم ABC = BAC. ثلاث زوايا في a المثلث إذا جمعنا هو 180 درجة ، لذلك ، ABC = (180 40): 2 = 70 درجة ، لذا فإن BAC هو أيضًا 70 درجة ∠DBE = ABC = 70 درجة لأنهما متعاكسان عودة.

ب) قياس الزاوية BEF

BEF = ABC = 70 ° لأنهما متقابلان أو BEF = DBE = 70 ° لأنهما متعاكسان.

ج) زاوية CAG

CAG = 180 BAC = 180 70 = 110 ° ، لأن CAG و BAC خطوط مستقيمة.

المشكلة 4. (الأمم المتحدة 2012/2013 الحزمة 54)

ننظر إلى الصورة أدناه!

حجم زاوية مستقيم SQR هو ...

1. 101°
2. 100°
3. 95°
4. 92°

إجابه:

انتباه ** هذا السؤال من الأسئلة الخادعة ، يعتقد الكثيرون إذا طرح السؤال SQR على الرغم من أن المطلوب هو PQS.

للإجابة على هذا السؤال ، فإن أول شيء عليك البحث عنه هو قيمة x.

في هذه الحالة ∠PQS و ∠SQR هي زاوية مكملة لذلك:

∠PQS + ∠SQR = 180 درجة(5x) ° + (4x + 9) ° = 180 درجة9x ° + 9 = 180 درجة9x ° = 171 درجةس ° = 19 درجة

مستقيم ∠SQR = PQSمستقيم ∠SQR = (5x) °مستقيم ∠SQR = (5.19)°مستقيم ∠SQR = 95° (الجواب ج)

السؤال 5. (الحزمة 10 للأمم المتحدة 2009/2010)

انظر إلى الصورة التالية:

قياس الزاوية رقم 1 هو 95 درجة ، وقياس الزاوية رقم 2 هو 110 درجة. قياس الزاوية رقم 3 هو ...

1. 5°
2. 15°
3. 25°
4. 35°

إجابه:

∠1 = ∠5 = 95 درجة (زوايا داخلية متقابلة)2 + 6 = 180 درجة (محاذاة لبعضها البعض)110° + ∠6 = 180°∠6 = 70°∠5 + ∠6 + ∠3 = 180°95° + 70° + ∠3 = 180°165° + ∠3 = 180°∠3 = 15° (الجواب ب)

السؤال 6. (الحزمة رقم 15 للأمم المتحدة 2010/2011)

انظروا إلى الصورة أدناه:

كبير ∠BCA هو….

1. 70°
2. 100°
3. 110°
4. 154°

إجابه:

ABC + CBD = 180 درجة (مباشر)ABC + 112 درجة = 180 درجةABC = 68 درجةBCA + ABC + BAC = 180 درجةBCA + 68 درجة + 42 درجة = 180 درجةBCA + 110 = 180 درجةBCA = 70 درجة (الجواب أ)

السؤال 7. (الحزمة رقم 15 للأمم المتحدة 2010/2011)

انظروا إلى الصورة أدناه:

كبير ∠P3 هو….

1. 37°
2. 74°
3. 106°
4. 148°

إجابه:

P2 = 74° (زوايا خارجية متقابلة)P2 + P3 = 180 درجة (مباشر)74 درجة + P3 = 180 درجةP3 = 106 درجة (الجواب ج)

السؤال 8. (الأمم المتحدة 2012/2013 الحزمة 1)

انظروا إلى الصورة أدناه:

قياس زاوية مستقيم KLN هو ...

1. 31°
2. 72°
3. 85°
4. 155°

إجابه:

للإجابة على هذا السؤال ، فإن الخطوة الأولى التي يجب عليك إيجادها هي قيمة x.

في هذه المسألة ∠KLN و ∠MLN هي زاوية مكملة ، لذلك:

∠KLN + ∠MLN = 180 درجة(3x + 15) ° + (2x + 10) ° = 180 درجة5x ° + 25 ° = 180 درجة5x ° = 155 درجةس ° = 31 درجة

مستقيم ∠KLN = MLNمستقيم ∠KLN = (2x + 10) درجةمستقيم ∠KLN = (2.31 + 10)°مستقيم ∠KLN = 72° (الجواب ب)

المشكلة 9. (حزمة 2 في الأمم المتحدة 2012/2013)

انظروا إلى الصورة أدناه:

صياد كبير ∠SQR هو….

1. 9°
2. 32°
3. 48°
4. 58°

إجابه:

انتباه ** هذا السؤال هو أيضًا مسألة فخ ، لذلك يعتقد الكثير من الناس أن هذا السؤال يطرح نفسه SQR على الرغم من أن المطلوب هو PQS.

للإجابة على هذا السؤال ، فإن الخطوة الأولى التي يجب عليك إيجادها هي قيمة x.

في هذه المسألة ∠SQR و ∠PQS هي زاوية قائمة ، لذلك:

∠SQR + ∠PQS = 90 درجة(3x + 5) ° + (6x + 4) ° = 90 درجة9x ° + 9 ° = 90 درجة9x ° = 81 درجةس ° = 9 درجة

زاوية ∠SQR = PQSزاوية ∠SQR = (6x + 4) درجةزاوية ∠SQR = (6.9 + 4)°زاوية ∠SQR = 58° (الجواب د)

السؤال 10. (الأمم المتحدة 2012/2013 الحزمة 5)

انظروا إلى الصورة أدناه:

جهاز فرد الشعر الرائع ∠AOC هي….

1. 32°
2. 72°
3. 96°
4. 108°

إجابه:

للإجابة على السؤال رقم 10 ، الخطوة الأولى التي عليك إيجادها هي قيمة x.

في هذه المسألة ∠AOC و ∠BOC هي زاوية مكملة لذلك:

∠AOC + ∠BOC = 180 درجة(8x - 20) ° + (4x + 8) ° = 180 درجة12x ° - 12 ° = 180 درجة12x ° = 192 درجةس ° = 16 درجة

مستقيم ∠AOC = BOCمستقيم ∠AOC = (4x + 8) درجةمستقيم ∠AOC = (4.16 + 8)°مستقيم ∠AOC = 72° (الجواب ب)

هذه هي المراجعة الموجزة هذه المرة حول الخطوط والزوايا التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه للخطوط والزوايا كمواد دراسية.