عدم المساواة الخطية لمتغيرين
اثنان من المتباينات الخطية المتغيرة (SPLDV) - هي جملة رياضية مفتوحة تحتوي على متغيرين.
مع كل متغير بدرجة واحد ومرتبط بعلامة عدم المساواة. تشمل علامات عدم المساواة المشار إليها هنا:> ،
إذن ، يمكننا كتابة صيغة المتباينة الخطية على النحو التالي:
- الفأس + ب> ج
- الفأس + بواسطة
- الفأس + ج
- الفأس + ج
فيما يلي مثال على جملة رياضية:
2x + 3y> 6
4x - ص <9
تستخدم بعض الجمل المفتوحة أعلاه واصلات مثل ، > أو <. مما يدل على أن الجملة عبارة عن عدم مساواة.
جدول المحتويات
اثنان من المتباينات الخطية المتغيرة (SPLDV)
على عكس الحالة مع حل معادلة خطية ذات متغيرين في شكل مجموعة من أزواج النقاط.
أو إذا رسمنا الرسم البياني فسيكون خطًا مستقيمًا.
يكون حل المتباينة الخطية لمتغيرين في صورة منطقة الحل.
من الناحية العملية ، يمكن أن يكون حل المتباينات الخطية في شكل منطقة مظللة أو العكس بالعكس ، تكون منطقة حل المتباينة الخطية لمتغيرين في شكل منطقة نظيفة.
لتحديد مساحة الحل ، يمكننا القيام بالخطوات على النحو التالي:
- قم بتغيير علامة عدم المساواة في المتباينة إلى علامة مساوية (=) ، حتى نحصل على معادلة خطية من متغيرين
- رسم الرسم البياني أو خط المعادلة الخطية للمتغيرين في وقت سابق.
يمكننا القيام بذلك عن طريق تحديد نقطة تقاطع المحور x والمحور y في المعادلة.
أو يمكنك استخدام أي نقطتين يتخطاهما الخط. الخط سوف يشطر الطائرة الديكارتية - قم بإجراء اختبار نقطة لا يقطعه خط (عوض بقيمتي x و y للنقطة في المتباينة). إذا كان ينتج بيانًا صحيحًا ، فهذا يعني أن المنطقة هي الحل.
ومع ذلك ، إذا كان ينتج بيانًا خاطئًا ، فإن الجزء الآخر هو الحل.
لمزيد من التفاصيل ، انظر الاستعراضات التالية.
نظامان متغيران لعدم المساواة الخطية
المتباينة الخطية هي عدم مساواة يكون فيها المتغير المستقل خطيًا (أس واحد). بالطبع ، ما زلت تتذكر بعض الجمل الرياضية أدناه.
- 2 × 4 ؛ متباينة خطية متغيرة واحدة
- 3 س + ص <0 ؛ عدم المساواة الخطية لمتغيرين
- س - 2 ص 3 ؛ عدم المساواة الخطية لمتغيرين
- س + ص - 2 ز> 0 ؛ ثلاثة متغيرات خطية متباينة
وهذه المرة ، سنناقش المتباينات الخطية ذات المتغيرين.
يُطلق على اتحاد اثنين أو أكثر من المتباينات الخطية لمتغيرين نظام متباينات خطية ذات متغيرين.
فيما يلي مثال على نظام متغيرين من المتباينات الخطية:
3x + 8y 24،
س + ص 4 ،
× 0 ،
ص 0.
1. منطقة تسوية عدم المساواة الخطية 2 عامل
حل المتباينة الخطية لمتغيرين هو زوج مرتب (x ، y) يمكنه تحقيق المتباينة الخطية.
يمكن تمثيل مجموعة هذه الحلول بمنطقة مظللة على المستوى الديكارتي (المستوى XOY).
لفهم مساحة مجموعة حل المتباينات الخطية لمتغيرين بشكل أفضل. هنا سوف نعطي مثال:
مثال:
أوجد مجموعة حلول المتباينات الخطية التالية:
أ. 2 س + 3 ص 12 ج. 4 × - 3 سنوات <12
ب. 2x - 5 سنوات> 20 ثانية. 5x + 3y 15
إجابه:
أ. الخطوة الأولى هي رسم خط 2x + 3y = 12 عن طريق توصيل نقطة تقاطع الخط مع المحور X والمحور Y.
نقطة تقاطع الخط مع المحور X لها معنى y = 0 ، ونحصل على x = 6 (النقطة (6.0)).
النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور Y تعني x = 0 ، نحصل على y = 4 (النقطة (0،4)).
سيقسم الخط 2x + 3y = 12 المستوى الديكارتي إلى قسمين.
لتحديد المنطقة التي تمثل مجموعة حلول ، يتم ذلك عن طريق أخذ إحدى نقاط الاختبار من جانب واحد من المنطقة.
على سبيل المثال ، هنا نأخذ النقطة (0،0). ثم استبدلها في عدم المساواة حتى نحصل على:
2 × 0 + 3 × 0 <12
0 < 12
إذن ، 0 12 خطأ ، مما يعني أنه لم يتم تحقيقه كمنطقة حل.
إذن ، منطقة الحل هي المنطقة التي لا تقع في النقطة (0،0). وهي المنطقة المظللة في الصورة أدناه:
ب. تتمثل الخطوة الأولى في رسم خط 2x - 5y = 20 عن طريق توصيل نقطة تقاطع الخط على المحور X والمحور Y.
- النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور X ، y = 0 ، تحصل على x = 10 (النقطة (10،0))
- نقطة تقاطع الخط مع المحور Y ، x = 0 ، نحصل على y = –4 (النقطة (0 ، –4))
سيقسم الخط 2x - 5y = 20 المستوى الديكارتي إلى قسمين.
لتحديد المنطقة التي هي مجموعة الحلول. لذلك سنفعل ذلك بأخذ نقطة اختبار على جانب واحد من المنطقة.
كمثال نأخذ النقطة (0،0). ثم نعوض في عدم المساواة حتى نحصل على:
2 × 0 - 5 × 0> 20
0> 20 (خطأ) ، فهذا يعني عدم الوفاء.
إذن ، منطقة الحل هي المنطقة التي لا تقع في النقطة (0،0). وهي المنطقة المظللة في الصورة أدناه:
ج. تتمثل الخطوة الأولى في رسم خط 4x - 3y = 12 عن طريق توصيل نقطة تقاطع الخط على المحور X والمحور Y.
- النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور X ثم y = 0 تحصل على x = 3 (النقطة (3،0))
- النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور Y ثم x = 0 تحصل على y = –4 (النقطة (0 ، –4))
الخط 4x - 3y = 12 يقسم الطائرة الديكارتية إلى قسمين.
لتحديد المنطقة التي هي مجموعة الحلول. لذلك سنفعل ذلك بأخذ إحدى نقاط الاختبار من جانب واحد من المنطقة.
كمثال نأخذ النقطة (0،0). ثم نعوض في عدم المساواة حتى نحصل على:
4 × 0 - 3 × 0 <12
0 <12 (صحيح) ، مما يعني أنها مستوفاة كمنطقة مستوطنة.
إذن ، منطقة الحل هي المنطقة التي تحتوي على أو تحتوي على نقاط (0،0). وهي المنطقة المظللة في الصورة أدناه:
د. تتمثل الخطوة الأولى في رسم خط 5x + 3y = 15 عن طريق توصيل نقطة تقاطع الخط على المحور X والمحور Y.
- نقطة تقاطع الخط مع المحور X ثم y = 0 ، نحصل على x = 3 (النقطة (3،0))
- النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور Y هي x = 0 ، نحصل على y = 5 (النقطة (0،5))
يقسم الخط 5x + 3y = 15 الطائرة الديكارتية إلى قسمين.
لتحديد المنطقة التي هي مجموعة الحلول. لذلك سنفعل ذلك بأخذ إحدى نقاط الاختبار من جانب واحد من المنطقة.
كمثال نأخذ النقطة (0،0). ثم نعوض في عدم المساواة حتى نحصل على:
5 × 0 + 3 × 0 15
0 15 (صواب) ، أي تم الوفاء به.
إذن ، منطقة الحل هي المنطقة التي تحتوي على أو تحتوي على نقاط (0،0). وهي المنطقة المظللة في الصورة أدناه:
استنادًا إلى المثال أعلاه ، يمكن تحديد مجموعة الحلول للمتباينات الخطية بمتغيرين في عدة خطوات على النحو التالي:
1. ارسم خطًا فأسًا + ب = ج في المستوى الديكارتي عن طريق توصيل نقطة تقاطع الخط على المحور X عند النقطة (ج / أ 0،0) وعلى المحور ص عند النقطة (0 ، ج / ب ).
2. نجد نقطة اختبار خارج الخط بتعويضها في المتباينة.
إذا كان من الممكن تحقيق المتباينة (صواب) ، فإن المنطقة التي تحتوي على النقطة هي منطقة مجموعة الحلول.
إذا لم يتم استيفاء عدم المساواة (خطأ) ، فإن المنطقة غير الموجودة عند نقطة الاختبار هي منطقة مجموعة الحلول.
2. منطقة حل نظام عدم المساواة الخطية
مجموعة الحلول لنظام من المتباينات الخطية ذات متغيرين هي مجموعة من النقاط (أزواج من (x، y)) في مستوى ديكارتي يمكن أن يرضي جميع التفاوتات الخطية في النظام الذي - التي.
إذن مساحة مجموعة الحلول هي تقاطع عدة مجموعات حلول للمتباينات في نظام المتباينات الخطية للمتغيرين.
لتسهيل فهم منطقة الحل لنظام من المتباينات الخطية لمتغيرين ، ضع في اعتبارك بعض الأمثلة التي سنقدمها أدناه.
مثال:
أوجد مساحة مجموعة الحلول لنظام المتباينات أدناه:
أ. 3x + 5y 15 ب. س + ص 6
× 0 2 س + 3 ص 12
ص 0 × 1
ص 2
إجابه:
أ. الخطوة الأولى هي رسم الخط 3 س + 5 ص = 15 ، س = 0 ، ص = 0
لـ 3x + 5y 15
ثم حدد النقطة (0،0) ، ثم نعوضها في المتباينة حتى نحصل على:
3 س 0 + 5 س 0 15
0 15 (صواب) ، مما يعني استيفاء
إذن ، منطقة الحل هي المنطقة التي تحتوي على النقطة (0،0)
بالنسبة إلى x 0 ، نختار النقطة (1،1) ونعوضها في المتباينة حتى نحصل على:
1 0 (صواب) ، مما يعني الوفاء.
إذن ، منطقة الحل هي المنطقة التي تحتوي على النقطة (1،1)
بالنسبة إلى y 0 ، نختار النقطة (1،1) ونعوضها في المتباينة حتى نحصل على:
1 0 (صواب) ، مما يعني الوفاء.
إذن ، مجموعة حل المشكلة هي المنطقة التي تحتوي على النقطة (1،1).
مساحة مجموعة الحلول لنظام المتباينات هي تقاطع المناطق الثلاث لمجموعة حل المتباينات أعلاه.
وهي كما هو موضح في الصورة التالية (المنطقة المظللة).
ب. الخطوة الأولى هي رسم الخطوط س + ص = 6 ، 2 س + 3 ص = 12 ، س = 1 ، ص = 2.
بالنسبة إلى x + y 6 ، نختار النقطة (0،0) ، ثم نعوض بها في المتباينة حتى نحصل على:
1 × 0 + 1 × 0 6
0 6 (صواب) ، مما يعني استيفاء.
إذن ، منطقة الحل هي المنطقة التي تحتوي على النقطة (0،0).
بالنسبة إلى 2x + 3y 12 ، اختر النقطة (0،0) ، ثم نعوضها في المتباينة حتى نحصل على:
2 × 0 + 3 × 0 12
0 12 (صواب) ، مما يعني الوفاء.
إذن يمكننا معرفة أن منطقة الحل هي المنطقة التي تحتوي على النقطة (0،0).
بالنسبة إلى x 1 ، اختر النقطة (2،1) ثم نعوضها في المتباينة حتى نحصل على 2 1 (صحيح) مما يعني أنها قد تحققت.
إذن ، منطقة الحل هي المنطقة التي تحتوي على النقطة (2،1).
بالنسبة لـ y 2 ، نختار النقطة (1،3) ثم نعوضها في المتباينة حتى نحصل على 3 2 (صحيح) مما يعني أنه قد تم الوفاء بها.
وبالتالي ، فإن مجموعة الحلول تقع في المنطقة التي تحتوي على النقطة (1،3).
مساحة مجموعة حلول نظام المتباينات هي تقاطع المجالات الثلاثة لمجموعة حل المتباينات أعلاه.
كما يظهر في الصورة على الجانب (المنطقة المظللة).
ب. حدد نظام المتباينات إذا كانت مساحة مجموعة الحلول لنظام من المتباينات الخطية ذات متغيرين معروفة
كيفية تحديد مساحة مجموعة الحلول لنظام من المتباينات الخطية لمتغيرين تعلمناهما في الفصل السابق.
الآن كيف نحدد نظام المتباينات إذا كانت مساحة مجموعة الحلول معروفة؟
تحقق من الشرح التالي.
مثال:
المنطقة المظللة أدناه هي مساحة مجموعة حلول نظام من المتباينات الخطية لمتغيرين.
لذلك ، حدد نظام عدم المساواة.
إجابه:
أ. يمر الخط l1 بالنقطتين (2.0) و (0.2) ، معادلة الخط l1 هي:
x / 2 + y / 2 = 1 تصبح x + y = 2
يمر الخط l2 بالنقطتين (1.0) و (0.2) ، معادلة الخط l2 هي:
x / 1 + y / 2 = 1 تصبح 2x + y = 2
من الشكل أعلاه ، من المعروف أن منطقة مجموعة الحلول (المظللة) تقع أسفل الخط l1 ، فوق الخط l2 ، على يمين المحور Y ، وفوق المحور X. نظام عدم المساواة هو:
x + y 2 و 2x + y 2 و x 0 و y 0
ب. يمر الخط l1 بالنقطتين (4،0) و (0،4) ، معادلة الخط l1 هي:
x / 4 + y / 4 = 1 يصبح x + y = 4
يمر الخط l2 بالنقطتين (2،0) و (0، –1) ، معادلة الخط l2 هي:
x / 2 + y / -1 = 1 يصبح -x + 2y = -2
س 2 ص = 2
من الشكل أعلاه ، من المعروف أن منطقة مجموعة الحلول (المظللة) تقع أسفل الخط l1 ، فوق الخط l2 ، على يمين المحور Y ، وأيضًا فوق المحور X. نظام عدم المساواة هو:
س + ص 4 ، س - 2 ص 2 ، س 0 ، ص 0
عينة الأسئلة
في ما يلي ، سنقدم أمثلة لأسئلة القصة حول نظام المعادلة الخطية المتغيرة (SPLDV) في الحياة اليومية ، المأخوذة من أسئلة الامتحان الوطني.
سؤال 1 (الأمم المتحدة 2016)
يحصل عامل المواقف على 17000.00 روبية إندونيسية من 3 سيارات و 5 دراجات نارية ، بينما يحصل من 4 سيارات ودراجتين ناريتين على 18000 روبية إندونيسية. إذا كان هناك 20 سيارة و 30 دراجة نارية ، فإن مبلغ المال المكتسب لوقوف السيارات هو….
أ. 135.000.00 روبية إندونيسية
ب. 115000.00 روبية إندونيسية
ج. 110،000.00 روبية إندونيسية
د. 100،000.00 روبية إندونيسية
إجابه:
على سبيل المثال:
السيارة = س ودراجة نارية = ص
سئل: 20x + 30y = ...؟
النماذج الرياضية:
3x + 5y = 17000 …… (1)
4x + 2y = 18000 …… (2)
سيحصل حذف المعادلتين (1) و (2) على:
3 س + 5 ص = 17000 | س 4 | 12 س + 20 ص = 68.000
4 س + 2 ص = 18000 | x3 | 12x + 6y = 54000 -
14 ص = 14000
ص = 14000/14
ص = 1000
عوّض بقيمة y = 1000 في إحدى المعادلات:
3 س + 5 ص = 17000
3 س + 5 (1،000) = 17000
3 س + 5000 = 17000
3 س = 17000 - 5000
3 س = 12000
س = 12000/3
س = 4000
لذا ، فإن رسوم وقوف السيارة الواحدة هي 4000.00 روبية ودراجة نارية واحدة هي 1.000.00 روبية
20 × + 30 ص = 20 (4000) + 30 (1000)
= 80.000 + 30.000
= 110.000
لذا ، فإن الكثير من أموال وقوف السيارات التي تحصل عليها هي 110.000.00 روبية
(الجواب: ج)
سؤال 2 (الأمم المتحدة 2015)
يوجد في القفص 13 ماعز ودجاجة. إذا كان عدد أرجل الحيوان 32 2 كر ، يكون عدد الماعز والدجاج….
أ. 3 و 10
ب. 4 و 9
ج. 5 و 8
د. 10 و 3
إجابه:
على سبيل المثال:
الماعز = س والدجاج = ص
عدد أرجل الماعز = 4 وأرجل الدجاج = 2
سئل: عدد الماعز والدجاج =…؟
النماذج الرياضية:
س + ص = 13... (1)
4x + 2y = 32 …… (2)
بحذف المعادلتين (1) و (2) سنحصل على:
س + ص = 13 | x4 | 4 س + 4 ص = 52
4 س + 2 ص = 32 | x1 | 4 س + 2 ص = 32 -
2 ص = 20
ص = 20/2
ص = 10
عوّض بقيمة y = 10 في إحدى المعادلات:
س + ص = 13
س + 10 = 13
س = 13-10
س = 3
إذن ، عدد الماعز = 3 والدجاج = 10.
(الجواب:)
هذه مراجعة موجزة فيما يتعلق بعدم المساواة الخطية لمتغيرين (SPLDV) يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.