شريحة من دائرتين: المادة ، التطبيقات اليومية ، المشاكل ، المناقشة
يعد تقاطع دائرتين أحد المواد في رياضيات التخصص التي ستتم دراستها عادةً في مستوى الصف الحادي عشر.
كما أن لتقاطع هاتين الدائرتين اسم آخر ، ألا وهو تقاطع دائرتين. لأن الدائرة نفسها لها نفس معنى الدائرة.
مزيد من المعلومات حول تقاطع دائرتين ، ألق نظرة فاحصة على التعليقات أدناه.
جدول المحتويات
تطبيق خصائص تقاطع دائرتين
قبل أن نتعلم المزيد عن تقاطع دائرتين / دائرتين ، هيا نتذكر بعض الأشياء أدناه.
تعريف الدائرة ، الدائرة هي مجموعة من النقاط التي لها نفس المسافة من نقطة معينة.
موقف الدائرة
إذا كانت M1M2 هي المسافة بين مركزي الدائرتين و r1 و r2 هما نصف قطر الدائرتين ، إذن:
يتم استدعاء دائرتين تتقاطعإذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة هي
M1M2
يتم استدعاء الدائرتين اتصال خارجي إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة هي M1M2 = r1 + r2.
يتم استدعاء دائرتين تتقاطع فيإذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة هي M1M2 = | r1 - r2 |.
يتم استدعاء دائرتين لا تلمس بعضها البعض إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة هي M1M2> r1 + r2.
يتم استدعاء دائرتين
لا تتقاطع فيإذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة صفرًا (M1M2 = 0 -> M1 = M2) و r2> r1.لكن تحتاج الى ان تعرف أيضًا ، يمكن القول إن دائرتين مماس داخلي إذا كانت إحدى الدوائر موجودة داخل الأخرى ، M1 M2 و r2> r1.
طول خط الظل المشترك في هو طول القطعة المستقيمة المكونة من نقاط الظل للدائرة إلى الظل المشترك الداخلي.
"مربع طول المماس المشترك للدائرة يساوي مربع المسافة بين مركزي الدائرتين مطروحًا منه مربع مجموع أطوال نصف القطر."
طول الظل المشترك الخارجي لدائرتين لهما نصف قطر r1 و r2 مع r1> r2 ، وكذلك المسافة بين مركزي الدائرتين د هذا هو:
"مربع طول الظل المشترك الخارجي للدائرتين يساوي مربع المسافة بين مركزي الدائرتين مطروحًا منه مربع الفرق في نصف القطر."
طول الظل المشترك لدائرتين لهما نصف قطر r1 و r2 ، والمسافة بين مركزي الدائرتين د هذا هو:
شريحة من دائرتين
إذا كانت M1M2 هي المسافة بين مركزي الدائرة و r1 و r2 هما نصف قطر الدائرتين ، إذن:
1. تتقاطع
يقال إن دائرتين تتقاطعان إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة تساوي M1M2
2. على اتصال
يُقال إن دائرتين مماس لبعضهما البعض خارجيًا إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة تساويًا M1M2 = r1 + r2.
يقال إن دائرتين مماس لبعضهما البعض إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة هي M1M2 = | r1 - r2 |.
3. لا للمس
يقال إن دائرتين ليسا مماسًا خارجيًا لبعضهما البعض إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة M1M2> r1 + r2.
يقال إن دائرتين مماس داخلي إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة تساوي صفر (M1M2 = 0 -> M1 = M2) و r2> r1.
لكن تحتاج الى ان تعرف أيضًا ، يمكن القول إن دائرتين مماس داخلي إذا كانت إحدى الدوائر موجودة داخل الأخرى ، M1 M2 و r2> r1.
طول الخط المماس للرسامين في هو طول القطعة المستقيمة التي تشكلها نقاط التماس الدائرية إلى ظل الراسمة الداخلي.
"مربع طول خط المماس للدائرة يساوي مربع المسافة بين مركزي الدائرتين مطروحًا منه مربع مجموع أطوال نصف القطر."
طول خط المماس للمخطط الخارجي لدائرتين لهما نصف قطر r1 و r2 مع r1> r2 ، وكذلك المسافة بين مراكز الدائرتين d هي:
"مربع طول قطعة الخط المماس للدائرتين يساوي مربع المسافة بين مركزي الدائرتين مطروحًا منه مربع الفرق في نصف القطر."
طول مماس قطعة الأرض في دائرتين لهما نصف قطر r1 و r2 ، وكذلك المسافة بين مركزي الدائرتين d هي:
لتسهيل فهم الوصف أعلاه ، ضع في اعتبارك بعض أمثلة الأسئلة بالإضافة إلى المناقشة أدناه:
مثال على المشاكل.
المشكلة 1.
عجلتا دراجتان المسافة بينهما 78 سم. يبلغ نصف قطر العجلة الأولى 50 سم ، بينما يبلغ قطر العجلة الثانية 20 سم.
في كلتا العجلتين مع سلاسل. احسب طول السلسلة غير المتصلة بالعجلة!
إجابه:
المشكلة أعلاه هي تطبيق مفهوم الظل المشترك الخارجي على دائرتين.
وبذلك يكون طول السلسلة غير المتصلة بعجلة الدراجة 8 سم.
السؤال 2.
يوجد 8 أنابيب مرتبة كما هو موضح في الصورة أدناه. ثم يتم ربط الأنبوب بحبل.
إذا كان نصف قطر الأنبوب 14 سم ، فاحسب طول أقصر سلسلة تستخدم لربط الأنابيب!
إجابه:
معروف:
- المسافة بين مركزي الدائرتين = قطر الدائرة = 28 سم
- مجموع أطوال الأوتار في زوايا الاسطوانة = محيط الدائرة = د = 88 سم
وبالتالي ، فإن أقصر حبل يستخدم لربط الأنبوب هو:
(8 × 28 سم) + 88 سم = 312 سم
مشكلة 3.
هناك دائرتان على مستوى لهما نفس نقطة المركز. نصف قطر الدائرة الكبيرة أربعة أضعاف نصف قطر الدائرة الأصغر.
إذا كانت المساحة بين الدائرتين 8 وحدات من المساحة ، فأوجد مساحة الدائرة الصغيرة!
إجابه:
على سبيل المثال ، نصف قطر الدائرة الكبيرة = R ونصف قطر الدائرة الصغيرة = r ، ثم نحصل على:
R = 4 ص
لذلك:
المساحة = كبيرة - صغيرة
8 = ص2 - ص2
8 = (4 / ص - ص2
8 = 16πr2 - ص2
8 = 15πr2
ص2 = 8/15
صغير = 8/15
إذن ، مساحة الدائرة الصغيرة تساوي 8/15 وحدة مساحة.
المشكلة 4.
يقوم باك جيلانج ببناء إطار عربة مثل ذلك الموجود في الصورة أدناه.
على جانب واحد من العربة يوجد لوح شبه منحرف يربط بين عجلتي العربة.
إذا كان نصف قطر العجلة الكبيرة r1 = 13 سم، نصف قطر العجلة الصغيرة r2 = 6 سم، المسافة من النقطة المركزية للعجلة L1 والعجلة L2 هي M1M2 = 25 سم. ثم احسب مساحة اللوحة التي تربط العجلتين!
إجابه:
الخطوة الأولى هي حساب طول خط الظل المشترك الخارجي PQ. بطريقة:
منطقة شبه المنحرف PM1M2Q هي كما يلي:
المساحة = عدد الأضلاع المتوازية x الارتفاع / 2
المساحة = (13 + 6) × 24/2
المساحة = 19 × 24/2
المساحة = 228 سم2
إذن ، مساحة اللوح التي تربط العجلتين هي 228 سم2
تطبيق مفاهيم IDL في مشاكل الحياة اليومية
ساعات الحائط وإطارات السيارات والعملات المعدنية هي بعض الأمثلة على الأشياء التي لها شكل قاعدة دائري.
في الفصل السابق ، درست جيدًا أيضًا القسم المخروطي الذي يتكون من منحنيات قطع مكافئ ، وأشكال بيضاوية ، وقطوع زائدة.
ومع ذلك ، في أشكالها الخاصة المختلفة ، سنحصل أيضًا على دائرة في القسم المخروطي.
في المقطع المخروطي ، تتشكل دائرة لأنها في المستوى تقطع جميع أجزاء إحدى البطانيات المخروطية وتكون متعامدة مع المحور المخروطي.
دعونا نتذكر معنى الدائرة. كما هو موضح أعلاه ، فإن الدائرة هي مجموعة من النقاط التي تكون على مسافة متساوية من نقطة معينة.
ليس هذا فقط ، بالطبع لقد درست أيضًا موضوع موقف دائرتين. لتحديث ذاكرتك حول هذا الموضوع ، هيا انظر مراجعة المواد أدناه.
1. موقف دائرتين
على سبيل المثال ، M1M2 هي المسافة بين مركزي الدائرتين و r1 و r2 هما نصف قطر الدائرتين ، ثم:
يقال إن دائرتين تتقاطعان إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة تساويM1M2
يُقال إن دائرتين مماس لبعضهما البعض خارجيًا إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة تساويًا M1M2 = r1 + r2.
يقال إن دائرتين مماس لبعضهما البعض إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة تساوي M1M2 = | r1 - r2 |.
يُقال إن دائرتين مماس لبعضهما البعض خارجيًا إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة تساويًا M1M2> r1 + r2.
يقال إن دائرتين مماس داخلي إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة تساوي صفر (M1M2 = 0 -> M1 = M2) و r2> r1.
لكن تحتاج الى ان تعرف أيضًا ، يمكن القول إن دائرتين مماس داخلي إذا كانت إحدى الدوائر موجودة داخل الأخرى ، M1 M2 و r2> r1.
طول الظل المشترك الخارجي لدائرتين لهما نصف قطر r1 و r2 مع r1> r2 ، وكذلك المسافة بين مركزي الدائرتين d هي:
طول مماس قطعة الأرض في دائرتين لهما نصف قطر r1 و r2 ، وكذلك المسافة بين مركزي الدائرتين d هي:
الزمالة الداخلية
عينة من الأسئلة والمناقشة
لتسهيل فهمك ، سنقدم هنا بعض الأمثلة على الأسئلة بالإضافة إلى مناقشتها لكم جميعًا.
المشكلة 1.
بالنظر إلى معادلة الدائرة أدناه:
- L1: س2 + ص2 + 8 س + 6 ص - 56 = 0
- L2: x2 + ص2 - 8 س - 6 ص - 24 = 0
أظهر ما إذا كانت الدائرتان تتقاطعان!
إجابه:
شرط تقاطع دائرتين هو إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرة أقل من مجموع نصف قطر الدائرة.
كمثال:
M1M2 هي المسافة بين مركزي الدائرتين حيث يمثل r1 و r2 نصف قطر الدائرتين ، لذلك M1M2 L1: س2 + ص2 + 8 س + 6 ص - 56 = 0 لها مركز M1 (-1/2 أ ، -1/2 ب) = (-1/2 (8) ، -1/2 (6)) = (-4 ، -3) و ؛ L2: x2 + ص2 - 8 س - 6 ص - 24 = 0 لها مركز M2 (-1/2 أ ، -1/2 ب) = (-1/2 (-8) ، -1/2 (-6)) = (4،3) و ؛ M1M2 هي المسافة من (-4، -3) إلى (4،3). بما أن r1 + r2 = 9 + 7 = 16 وأيضًا M1M2 = 10 ، فإن M1M2 وهكذا ، يظهر تقاطع الدائرتين. السؤال 2. تعرف على معادلة الدائرة إثبات أن الدوائر ماسة من الخارج! إجابه: الشرط الخاص بدائرتين ليكونا مماسًا خارجيًا هو M1M2 = r1 + r2. L1: x2 + ص2 + 6 س - 4 ص - 23 = 0 لها مركز M1 (-1/2 أ ، -1/2 ب) = (-1/2 (6) ، -1/2 (-4)) = (-3 ، 2) وكذلك ؛ L2: x2 + ص2 - 12 س + 20 ص + 55 = 0 لها مركز M2 (-1/2 أ ، -1/2 ب) = (-1/2 (-12) ، -1/2 (20)) = (6 ، -10) و ؛ M1M2 هي المسافة من (-3 ، 2) إلى (6 ، -10). وبالتالي: لأن r1 + r2 = 6 + 9 = 15 = M1M2 ثم ثبت أن الدائرتين ظاهرتان بالخارج. مشكلة 3. تعرف على معادلة الدائرة اثبت ان الدائرتين لا تتقاطعان! إجابه: L1: x2 + ص2 + 6 س - 4 ص - 23 = 0 لها مركز M1 (-1/2 أ ، -1/2 ب) = (-1/2 (20) ، -1/2 (-12)) = (-10 ، 6) و ؛ L2: x2 + ص2 - 4x - 2y - 11 = 0 لها مركز M2 (-1/2 أ ، -1/2 ب) = (-1/2 (-4) ، -1/2 (-2)) = (2،1) و ؛ هناك نوعان من الدوائر تسمى غير المتقاطعة ، وهما: الآن ، سنثبت النقطة المركزية للدائرتين لتوضيح أن الدائرتين لا تتقاطعان في الخارج ولا تتقاطعان. مركز الدائرة الأولى على الدائرة الثانية. مركز الاستبدال (-10.6) في الدائرة L2: x2 + ص2 - 4x - 2y - 11 = 0 شرط أن تكون النقطة داخل الدائرة هو K <0. لأن ك = (-10) 2 + 62-4 (-10) - 2 (6) - 11 = 100 + 36 + 40-12-11 = 153> 0 وهكذا ، يقع مركز الدائرة الأولى خارج الدائرة الثانية. يقع مركز الدائرة الثانية على الدائرة الأولى. مركز التعويض (2،1) على الدائرة L1: x2 + y2 + 20x - 12y + 72 = 0 شرط النقطة التي تقع داخل الدائرة هو K <0. لأن، ك = 22 + 12 + 20 (2) - 12 (1) + 72 = 4 + 1 + 40-12 + 72 = 103> 0 وهكذا ، يقع مركز الدائرة الأولى خارج الدائرة الأولى. حتى، يمكننا أن نستنتج أن الدائرتين لن تتقاطعان في الداخل ، ثم سنثبت أيضًا أن الدائرتين لا تتقاطعان في الخارج. شروط عدم تقاطع دائرتين هي: M1M2> r1 + r2 M1M2 هي المسافة من (-10،6) إلى (2،1). لأن، M1M2 = 13 لذلك ، M1M2> r1 + r2 وهكذا ثبت أن الدائرتين لا تتقاطعان ظاهريًا. المشكلة 4. من المعروف أن نصف قطر الدائرة L1 يساوي r1 = 13 سم ونصف قطر L2 يساوي r2 = 6 سم. إذا كانت المسافة بين مركزي الدائرتين M1M2 = 25 سم. ثم احسب طول الظل المشترك الخارجي للدائرتين! إجابه: معروف: طلبت: حل: حتى، طول الظل المشترك الخارجي للدائرتين هو 24 سم. هذه مراجعة موجزة بخصوص شريحة دائرتين يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.
r1 + r2 = 8 + 4 = 12
