قواعد العد: المادة ، التباديل ، التوليفات ، الاحتمالية ، المشاكل

يشار إلى قاعدة التعداد أو باللغة الإنجليزية باسم (قواعد العد) هي طريقة أو قاعدة لحساب جميع الاحتمالات التي يمكن أن تحدث في تجربة معينة.

قواعد العد

قاعدة العد هي قاعدة ترقيم لمعرفة عدد الأحداث أو بعض العناصر التي تظهر. يطلق عليه العد لأن النتيجة هي عدد صحيح.

هناك عدة طرق على قواعد العد ومنها: طريقة ملء قواعد المكان (فتحات التعبئة) وطريقة التقليب وطريقة الجمع. هنا شرح إضافي.

قواعد ملء المكان

على سبيل المثال ، هناك حالة أدناه:

لدى جيلانج 3 قمصان باللون الأبيض والأحمر والأزرق ولديها أيضًا بنطلونان أسود وبني.

تحديد إمكانية ارتداء جيلانج لقميص وبنطلون!

حل:

هناك 3 طرق لتحديد الاحتمالات المختلفة لجيلانج باستخدام التي شيرت والسراويل.

ج. ترتيب زوج مجموعة pasangan

{(أبيض ، أسود) ، (أبيض ، بني) ، (أحمر ، أسود) ، (أحمر ، بني) ، (أزرق ، أسود) ، (أزرق ، بني)}

من الطرق أو الطرق الثلاثة المذكورة أعلاه ، يمكننا أن نستنتج أن هناك العديد من الطرق التي يرتدي بها جيلانج القمصان والقمصان يوجد أيضًا 6 طرق للسراويل = 3 × 2 = طرق عديدة لاستخدام التيشيرت × طرق عديدة للاستخدام بنطال

طويل.

قاعدة الضرب

إذا كان من الممكن حدوث حدث في مراحل متتالية حيث يمكن أن تحدث المرحلة 1 في q₁ الطريق ، يمكن أن تحدث المرحلة 2 في q₂ الطريق ، يمكن أن تحدث المرحلة 3 في q₃ بهذه الطريقة وما إلى ذلك حتى يمكن أن تحدث المرحلة التاسعة في q_نبطريقة ثم يمكن أن تحدث هذه الأحداث بالتتابع في q₁ × ف₂ × ف₃ ×… × q_ن بطريقة أخرى.

كمثال:

كم عدد الطرق أو الأساليب المتاحة لاختيار 3 ضباط من مجلس الطلاب يتألفون من رئيس وسكرتير وأمين صندوق من إجمالي 8 طلاب؟

حل:

على سبيل المثال ، هناك 3 أماكن لشغل مناصب رئيس مجلس الإدارة والسكرتير وأمين الصندوق والتي نتخيلها على النحو التالي:

أمين الخزانة

من بين الطلاب الثمانية ، يحق لجميع الطلاب أن يتم انتخابهم كرئيس ، لذلك هناك 8 طرق لشغل منصب الرئيس.

نظرًا لأن شخصًا واحدًا أصبح رئيسًا ، يحق لـ 7 أشخاص فقط انتخابهم كسكرتير ، لذلك هناك 7 طرق لشغل منصب السكرتارية.

نظرًا لانتخاب شخص واحد كرئيس وشخص واحد أصبح سكرتيرًا ، يحق لـ 6 أشخاص فقط انتخابهم أمينًا للصندوق ، لذلك هناك 6 طرق لشغل منصب أمين الصندوق.

رسم توضيحي مثل الجدول أدناه:

أمين الخزانة

هناك العديد من الطرق لاختيار مسؤولي مجلس الطلاب الثلاثة ، وهي 8 × 7 × 6 = 336

حكم المجموع

على سبيل المثال ، هناك حدث يمكن أن يحدث بطرق مختلفة (أجنبية متبادلة) حيث يوجد في الطريقة الأولى p₁ مختلف النتائج الممكنة.

في الطريقة الثانية هناك p₂ مختلف النتائج الممكنة. في الطريقة الثالثة هناك p₃مختلف النتائج الممكنة.

وهكذا حتى الطريق رقم n هناك p_ن مختلف النتائج الممكنة. إذن ، العدد الإجمالي للأحداث المحتملة في الحدث هو p₁ + ص₂ + ص₃ +… + ص_ن بطريقة أخرى.

كمثال:

نجل طالب في مدرسة ثانوية مهنية خاصة في بوروكيرتو. لدى بوترا ثلاثة أنواع من وسائل النقل يقودها من المنزل إلى المدرسة. وتشمل هذه: الدراجات (الدراجات الصغيرة والدراجات الجبلية) والدراجات النارية (ياماها وهوندا وسوزوكي) والسيارات (سيارات السيدان والغزلان والشاحنات الصغيرة).

السؤال هو ، كم عدد الطرق التي تنتقل بها بوترا من المنزل إلى المدرسة؟

حل:

وسيلة النقل الوحيدة التي يستخدمها بوترا من المنزل إلى المدرسة هي الدراجة أو الدراجة النارية أو السيارة.

يستحيل على بوترا قيادة أكثر من مركبة في نفس الوقت. عدد الطرق التي ينتقل بها ابنه من المنزل إلى المدرسة هو عدد طرق ركوب الدراجة + طرق عديدة لركوب الدراجة النارية + العديد من الطرق لقيادة السيارة = 2 + 3 + 3 = 8 طرق.

عاملي تدوين

على سبيل المثال ، n مجموعة الأعداد الطبيعية. تدوين n! (اقرأ: مضروب n) يُعرَّف بأنه حاصل ضرب الأعداد الطبيعية بالتتابع من n إلى 1.

لذلك نكتب:

ن! = n × (n - 1) × (n - 2) ×… × 3 × 2 × 1.

تم تعريفه على أنه 1! = 1 و 0! = 1.

كمثال:

1. حدد قيمة 5 !.

إجابه:

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

2. حدد قيمة 2! + 3!.

إجابه:

2! + 3! = (2 × 1) + (3 × 2 × 1) = 2 × 6 = 12

التقليب

المادة الأولى التي سنناقشها في هذه المقالة هي التباديل. تتعلم التباديل حول ترتيب كائنات k من كائنات n من خلال الانتباه إلى الترتيب.

هناك ثلاثة أمثلة على التباديل التي تظهر غالبًا ، من بين أمثلة أخرى: تباديل العناصر المختلفة ، والتباديل مع بعض العناصر نفسها ، والتبديلات الدورية. اقرأ المزيد بعناية المراجعات التالية.

الأنواع والصيغ أو صيغ التقليب

1. تقليب العناصر n ، كل تبديل يتكون من عناصر n

إذا كانت هناك عناصر مختلفة وتم أخذ n من العناصر ، فسيكون عدد الترتيبات أو التباديل المختلفة للعناصر n هو ص_{(ن ، ن)} = ن! أو _نص_ن = ن!

كمثال:

الترحيب باجتماع وفود الدول التي حضرتها خمس دول. وستقوم اللجنة بعد ذلك برفع الأعلام الخمسة وهي أعلام الدول الخمس الحاضرة.

هناك طرق عديدة للجنة لترتيب الأعلام الخمسة وهي؟

إجابه:

من بين الأعلام الخمسة الموجودة ، فهذا يعني أننا نحصل على n = 5 ، لذلك هناك العديد من الترتيبات الممكنة للأعلام ، وهي:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 طريقة.

2. التقليب لعناصر n ، يتكون كل تبديل من عناصر r لعناصر n مع r n

بالنسبة لجميع الأعداد الموجبة n و r ، مع rn ، يكون عدد التباديل لـ n من الكائنات المأخوذة بواسطة r الكائنات في وقت واحد:

ملحوظة:
المتطلبات: يجب النظر في الطلب.

كمثال:

هناك طرق عديدة لاختيار رئيس وسكرتير وأمين صندوق من بين الطلاب الثمانية المتاحين ، وهي ...

إجابه:

عدد الطلاب ن = 8

الرئيس والسكرتير وأمين الصندوق (العديد من الخيارات للأشياء) ، r = 3

وبالتالي:

3. تباديل عناصر n التي تحتوي على p.q و r نفس العناصر

معلومة:

ن = يظهر العدد الإجمالي للعناصر

ك₁  = يشير إلى عدد عناصر نفس المجموعة 1

ك₂ = يشير إلى عدد عناصر نفس المجموعة 2

…

ك_ر = يشير إلى عدد عناصر نفس مجموعة kt

ر = 1،2،3 ، ...

على سبيل المثال:

عدد طرق ترتيب كلمة "بصباسي" هو ...

إجابه:

من كلمة "BASSABASSI" عدد الحروف هو (ن) = 10

ك₁ = الحرف B = 2

ك₂ = الحرف أ = 3

ك₃ = الحرف S = 4

ك₄ = الحرف الأول = 1

4.التقليب الدوري

التقليب الدوري هو تبديل دائري (ترتيب دائري).

أو طريقة أو طريقة لتحديد ترتيب العناصر مرتبة بشكل دوري أو دائري من خلال الاهتمام بالترتيب. عدد التبديلات الدورية لعدد n من العناصر المختلفة هو:

_نص_دورية = (ن -1)!

كمثال:

من بين أفراد الأسرة الخمسة الذين سيجلسون على الفور حول طاولة مستديرة ، فإن عدد طرق الترتيب التي يمكن إجراؤها من هؤلاء الأشخاص الخمسة هو ...

إجابه:

عدد الأشخاص (ن) = 5 ، لذلك:

₅ص_دورية = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 طريقة.

5. التقليب المتكرر لعناصر n ، يتكون نوع التقليب من عناصر k

ص_ن = ن^ك

مثال:

كم عدد الترتيبات المكونة من 3 أرقام والأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 ...

إجابه:

• عدد التسلسلات المكونة من 3 أرقام ، مما يعني العدد بالمئات ، ك = 3
• عدد الأعداد المراد ترتيبها هو n = 6
• كم عدد الترتيبات المكونة من 3 أرقام من الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 ، لذلك:

ص₆ = 6³ = 216 صفيفًا.

مزيج

الدمج هو تجميع لبعض أو كل عناصر المجموعة بغض النظر عن الترتيب الذي تم تحديدها به. تتمثل طريقة تحديد عدد المجموعات في استخدام الصيغة أدناه:

كمثال:

مزيج من عنصرين من الأحرف الثلاثة أ ، ب ، ج ، وهي أب ، أ ، ق. بينما لا يتم تضمين ba ، ca ، cb في حساب السبب في المجموعة ab = ba ، ac = ca ، bc = cb. العديد من التركيبات…

بينوم نيوتن

تتعامل حاوية نيوتن مع شكل (أ + ب)² أ. حيث يكون المصطلح r من النموذج هو:

المصطلح - ص = _نج_{ص -1} × أ^{n-r + 1} × ب^{ص -1}

كتوضيح:

معامل x²⁷ من (x² + 2x)¹⁵  هو:

_نج_{ص -1}xa^{n-r + 1}xb^{ص -1} = 15 ج_{ص -1}س (x²)^{15 ص + 1}x (2x)^{ص -1}

= 15 ج_{ص -1}س (x^{30-2r + 2}) × (2x)^{ص -1}

بحيث يتم رفع x إلى أس 27 ثم يتم تكوينه:

27 = (30-2 ص - 2) + (ص - 1) → ص = 4

وبالتالي:

• الرابع = ₁₅ج_{ص -1}س (x^{30-2r + 2}) × (2x)^{ص -1} = ₁₅ج₃س (x^30-8+2) × (2x)^4-1
• .
• المُعامل: 3640

فرصة لحدث

تتراوح قيم الفرصة التي تم الحصول عليها من 0 إلى 1. لكل حدث A ، يمكن كتابة حدود قيمة P (A) رياضيًا على النحو التالي:

0 ص (أ) 1 حيث P (A) هو احتمال وقوع حدث A

إذا كانت P (A) = 0 ، فإن الحدث A هو حدث مستحيل ، فإن الاحتمال ليس سوى 0

كمثال:

شروق الشمس في الجنوب حدث مستحيل ، لذا فإن الاحتمال ليس سوى = 0

إذا كان P (A) = 1 ، فإن الحدث A هو حدث محدد

كمثال:

المخلوق الحي سيموت بالتأكيد ، إنه حدث محدد ، لذا فإن الاحتمال = 1

يوجد أيضًا احتمال حدث يقع بين 0 و 1 ، مما يعني أن الحدث ممكن.

على سبيل المثال ، احتمالية أن يصبح الطالب بطل الفصل. إذا كان L هو الحدث التكميلي للحدث A ، فإن احتمال الحدث L هو 1- احتمالية الحدث A.

رياضيا يمكن كتابتها على النحو التالي:

P (L) = 1 - P (A) أو يمكن أن يكون P (L) + P (A) = 1

كمثال:

إذا كان احتمال هطول أمطار اليوم = 0.6 فإن احتمال عدم هطول أمطار اليوم هو = 1 - P (مطر)
= 1 – 0,6
= 0,4

1. تردد التوقع

التكرار المتوقع لحدث ما هو توقع لعدد المرات التي يظهر فيها في حدث من عدد من التجارب التي أجريت.

رياضيا يمكن كتابتها على النحو التالي:

التردد المتوقع = P (A) x عدد المحاولات

كمثال:

في تجربة صب النرد 60 مرة:

احتمال الحصول على نقطتين = 1/6

التكرار المتوقع للعين 2 هو = P (العين 2) × عدد التجارب
= 1/6 × 60
= 10 مرات

2. حدوث مركب

الأحداث المركبة هي حدثان أو أكثر يتم تشغيلهما بحيث يشكلان حدثًا جديدًا.

حدث K وحدث مكمل لـ K 'يفي بالمعادلة:

P (K) + P (K ') = 1 أو P (K') = 1 - P (K)

مجموع الفرص

1. الأحداث المتبادلة

هناك حدثان A و B يمكن تسميتهما بأحداث متنافية إذا لم يكن أي من العناصر التي تحدث في الحدث A هي نفسها العناصر التي تحدث في الحدث B.

لكي يحدث احتمال حدوث أي من A أو B ، فإن صيغة الأحداث المتنافية هي:

ل (أ u ب) = ف (أ) + ف (ب)

2. الأحداث لا تنفصل

المعنى هو أن العنصر A هو نفسه العنصر B ، ويمكن كتابة الصيغة الرياضية على النحو التالي:

الفوسفور (أ u ب) = الفوسفور (أ) + الفوسفور (ب) - الفوسفور (أ ن ب)

3. حدث مشروط

يمكن أن يحدث حدث شرطي إذا كان الحدث A يمكن أن يؤثر على حدوث الحدث B أو العكس. لذلك يمكننا كتابة الصيغة على النحو التالي:

الفوسفور (أ ن ب) = ف (أ) × ف (ب / أ)

أو

الفوسفور (أ ن ب) = ف (ب) × ف (أ / ب)

نظرًا لأن الأحداث لها تأثير متبادل ، فمن الممكن أيضًا استخدام الصيغة:

الفوسفور (أ ن ب) = ف (أ) × ف (ب)

نماذج من الأسئلة ومناقشة قواعد العد

بعد فهم المادة المتعلقة بقواعد العد ، حان الوقت الآن لتعلم حلها في عدة أسئلة.

في ما يلي ، سوف نقدم أمثلة على الأسئلة بالإضافة إلى مناقشة قواعد التعداد ، بدءًا من الاحتمال إلى التباديل وغيرها.

المشكلة 1.

هناك 3 أطفال سيجلسون معًا على مقعد طويل. كم عدد الطرق المتاحة لهم للجلوس معًا على المقعد؟

إجابه:

سيجلس الأطفال الثلاثة معًا ، ثم سنستخدم صيغة التقليب ف (3،3)

الفوسفور (3،3) = 3 = 2x2x1 = 6

حتى يتمكن الأطفال الثلاثة من الجلوس معًا باستخدام 6 طرق.

السؤال 2.

كم عدد الطرق المتاحة لترتيب الحرفين من كلمة "LIFE"؟

إجابه:

طريقة ترتيب حرفين من 5 أحرف ، سنستخدم أيضًا صيغة التقليب ف (5،2)

الفوسفور (5،2) = (5!) / (5-2) = (5x4x3!) / (3)! = 5×4 =20

إذن هناك 20 طريقة لترتيب حرفين من كلمة LIFE.

مشكلة 3.

يتم اختيار حرف بشكل تجريدي من الحروف في نقش "JURAGAN". ثم أوجد احتمال اختيار الحرف أ.

إجابه:

عدد الأحداث المعنية = 2 لأن الحرف A به 2 في الكلمة "JURAGAN"

عدد الأحداث المحتملة = 7 لأن عدد الأحرف هو 7

إذن P (الحرف A) = 2/7

المشكلة 4.

يوجد صندوق يحتوي على 5 كرات حمراء و 4 كرات خضراء. إذا تم سحب كرتين واحدة تلو الأخرى بدون استبدال ، فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة كرة حمراء في السحب الأول وكرة خضراء في السحب الثاني!

إجابه:

في أول سحب للكرة ، هناك 5 كرات حمراء من أصل 9 كرات متوفرة.

إذن P (M) = 5/9

في السحب الثاني 4 كرات خضراء من الكرات الثمانية المتبقية (مع توفير يتم رسم الكرة الحمراء).

لذلك P (H / M) = 4/8

لأن الأحداث لها تأثير متبادل ، فاستخدم الصيغة:

P (M n H) = P (M) x P (H / M)

P (M n H) = 5/9 × 4/8 = 5/18

السؤال 5.

في تجربة رمي نردتين ، حدد احتمال الحصول على رقم زوجي على النرد الأول ورقم فردي أولي على حجر النرد الثاني!

إجابه:

لنفترض أن A = حدث ظهور رقم زوجي في النرد الأول = {2،4،6} بحيث يكون P (A) = 3/6

على سبيل المثال B = حدوث شرط فردي في النرد الثاني = {3.5} ثم P (B) = 2/6

نظرًا لأن الحدث A ليس له أي تأثير على الحدث B ، فإننا نستخدم الصيغة:

الفوسفور (أ ن ب) = ف (أ) × ف (ب)

ف (أ ن ب) = 3/6 × 2/6 = 1/6

وبالتالي مراجعة موجزة لقواعد التعداد التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه المتعلقة بقواعد التعداد كمادة دراستك.