مشتقات الدوال الجبرية: المشتقات الأساسية ، الصيغ ، المشاكل ، المناقشة

مشتق الدالة الجبرية هو وظيفة أخرى لدالة سابقة ، على سبيل المثال الدالة f تصبح f 'التي لها قيمة غير منتظمة.

في الأساس ، غالبًا ما يستخدم مفهوم المشتقات في حياتنا اليومية.

سواء كان ذلك في الرياضيات أو العلوم الأخرى.

إن وظيفة المشتق نفسه التي نعرفها غالبًا هي حساب مماس المنحنى أو الدالة والسرعة.

ليس هذا فقط ، غالبًا ما يستخدم هذا المفهوم المشتق أيضًا في إيجاد معدل نمو الكائنات الحية (علم الأحياء) ، والربح الهامشي (الاقتصاد) ، وكثافة الأسلاك (الفيزياء) ومعدل الفصل (الكيمياء).

كل هذه الوظائف لها نفس المفهوم ، أي مفهوم المشتقات. لمزيد من التفاصيل، هيا ألق نظرة فاحصة على التعليقات أدناه:

تعريف 

تعريف المشتق

المشتق أو المعروف أيضًا باسم المشتق هو قياس لكيفية تغير الوظيفة مع تغير قيمة الإدخال.

بشكل عام ، سيوضح المشتق كيف تتغير كمية واحدة نتيجة للتغيير في كمية أخرى.

على سبيل المثال: مشتق موضع الجسم الذي يتحرك فيما يتعلق بالوقت هو السرعة اللحظية للجسم.

تسمى عملية إيجاد المشتق التفاضل. ويسمى مقلوب المشتق كـ مكافحة النسب.

تنص النظرية الأساسية أو بيان التفاضل والتكامل على أن المشتقة العكسية هي نفسها التكامل.

المشتقات والتكاملات وظيفتان مهمتان في حساب التفاضل والتكامل.

• (في x) "
• (sin x) '= cos x
• (كوس x) '= -sin x
• (تان س) = ثانية² x
• y 'هو رمز المشتق الأول.
• y "هو رمز المشتق الثاني.
• y "" هو رمز المشتق الثالث.

الرموز الأخرى بجانب الرموز y 'و y "هي

تعريف الوظيفة المشتقة

الصيغ المشتقة للوظيفة الجبرية

1. الصيغة المشتقة لوظيفة القوة

مشتق الوظيفة في شكل قوة ، ويمكن لمشتقها استخدام الصيغة: كما يلي:

إذن ، صيغة مشتق دالة القوة هي:

2. صيغة مشتق حاصل ضرب الدالة

صيغة الدالة المشتقة f (x) ، والتي تتكون من مضاعفة الدالتين u (x) و v (x) ، هي كما يلي:

إذن ، صيغة مشتق الوظيفة هي:

و '(x) = u'v + uv'

3. صيغة مشتق دالة القسمة

إذن ، صيغة مشتق الوظيفة هي:

4. صيغة مشتق القوة للدالة pangkat

ضع في اعتبارك ، إذا كانت f (x) = x^ن، لذا:

إذن ، صيغة مشتق الوظيفة هي:

و '(س) = ن (ن - 1). أنت

4. الصيغ المشتقة المثلثية

بناءً على تعريف المشتق ، يمكننا الحصول على العديد من الصيغ المشتقة المثلثية ، وهي على النحو التالي: (مع u و v على التوالي دالات x) ، بما في ذلك: y '=

1. y = sin x → y '= cos x
2. y = cos x → y '= -sin x
3. y = tan x → y ’= sec² x
4. y = cot x → y ’= -csc² x
5. ص = ثانية س → ص '
6. y = csc x → y ’= csc × cot x
7. ص = الخطيئة^ن xy '= n sin^{ن -1} × كوس س
8. ص = كوس^ن x → y '= -n cos^{ن -1} × الخطيئة x
9. y = sin u → y '= u' cos u
10. y = cos u → y '= u' sin u
11. y = tan u → y ’= ui sec² ش
12. y = cot u → y ’= -u’ csc² ش
13. y = sec u → y ’= u’ sec u tan u
14. y = csc u → y ’= u’ csc u cot u
15. ص = الخطيئة^ن u → y '= n.u' sin^{ن -1} كوس ش
16. ص = كوس^ن u → y '= -n.u' cos^{ن -1} . خطيئة ش

مشتقات الدوال الجبرية

تعريف المشتق

يتم تعريف مشتق الدالة f (x) بالنسبة إلى x من خلال:

بشرط وجود الحد.

تدوين مشتق

يمكن كتابة المشتق الأول للدالة y = f (x) على x كما يلي:

• y '= f'x lagrange
• لايبنيز
• د_xص = د_x[و (خ)] ⇒ أويلر

من التعريف أعلاه ، يمكننا اشتقاق بعض الصيغ المشتقة على النحو التالي:

1. و (س) = ك و '(س) = 0
2. و (س) = ك س و '(س) = ك
3. و (س) = س^ن و '(x) = nx^{ن -1}
4. f (x) = k u (x) f '(x) = k u' (x)
5. f (x) = u (x) ± v (x) f '(x) = u' (x) ± v '(x)

لإيجاد مشتقة دالة تحتوي على جذر أو كسر ، فإن الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي تحويل الدالة إلى أس.

فيما يلي بعض خصائص الجذور والأسس التي تستخدم غالبًا ، من بين أمور أخرى:

• x^م. x^ن = س^{م + ن}
• x^م/ س^ن = س^{م ن}
• 1 / س^ن = س^-ن
• س = س^1/2
• ^نxm = x^{م ن}

مثال:

المشكلة 1.

أوجد مشتق f (x) = x√x

إجابه:

f (x) = x√x = x. x^1/2 = س^3/2

و (س) = س^3/2 →

السؤال 2.

أوجد مشتق

إجابه:

الضرب والقسمة من دالتين

لنفترض أن y = uv ، فيمكن التعبير عن مشتق y على النحو التالي:

ص '= u'v + uv'

لنفترض أن y = u / v ، فيمكن التعبير عن مشتق y على النحو التالي:

مثال على المشاكل.

المشكلة 1.

مشتق f (x) = (2x + 3) (x² + 2) وهي:

إجابه:

على سبيل المثال:

u = 2x + 3 u '= 2
ت = س² + 2 ت = 2 س

و '(x) = u' v + u v '
و '(س) = 2 (س² + 2) + (2x + 3) 2x
و '(س) = 2 س² + 4 + 4x² + 6x
و '(س) = 6 س² + 6 س + 4

حكم السلسلة

إذا كانت y = f (u) ، حيث u دالة يمكن اشتقاقها من x ، فيمكن التعبير عن مشتق y بالنسبة إلى x بالصيغة:

من مفهوم قاعدة السلسلة أعلاه ، ثم بالنسبة لـ y = u^ن، سوف تحصل:

بشكل عام يمكن ذكرها على النحو التالي:

إذا كانت f (x) = [u (x)]^ن حيث u (x) دالة يمكن اشتقاقها من x ، إذن:

f '(x) = n [u (x)]^{ن -1}. ش '(x)

مثال على المشاكل.

المشكلة 1.

أوجد مشتق f (x) = (2x + 1)⁴

إجابه:

على سبيل المثال:

ش (س) = 2 س + 1 ش '(س) = 2
ن = 4
f '(x) = n [u (x)]^{ن -1}. ش '(x)
و '(س) = 4 (2 س + 1)^4-1 . 2
و '(س) = 8 (2 س + 1)³ 

السؤال 2.

أوجد مشتق y = (x² 3x)⁷

إجابه:

ص '= 7 (س² 3x)^7-1 . (2 × 3)
ص '= (14 × 21). (x² 3x)⁶

أسئلة الممارسة والمناقشة

المشكلة 1.

أوجد مشتق دالة F(x) = 2x(x4 – 5).

إجابه:

افترض إذا ش(x) = 2x و الخامس(x) = x4-5 ، ثم:

ش‘ (x) = 2 و الخامس‘ (x) ثم = 4x3

بهذه الطريقة ، سيتم الحصول على الوصف والنتائج:

F ‘(x) = ش ‘(x).الخامس(x) + ش(x).الخامس ’(x) = 2(x4 – 5) + 2x(4x3 ) = 2x4 – 10 + 8x4 = 10x4 – 10

السؤال 2. مسائل مشتقة للدالة الجبرية

مشتق الوظيفة الأولى من هذا هو …

إجابه:

هذه المشكلة دالة على الشكل y = au^ن والتي يمكن مناقشتها وحلها باستخدام الصيغة y '= n. أ. ش^{ن -1}. ثم:

لذا فإن المشتق هو:

مشكلة 3. مشتقات الدوال المثلثية

حدد المشتق الأول من:

إجابه:

لحل المشكلة أعلاه يمكننا استخدام الصيغة المختلطة وهي:

ويمكن أيضًا استخدام الصيغة y '= n. أنت خطيئة^{ن -1} ش. كوس ش

وبالتالي:

المشكلة 4.

مشتق f (x) = (x - 1)²(2x + 3) هي ...

إجابه:

على سبيل المثال:

ش = (× 1)² u '= 2x 2
ع = 2 س + 3 ع '= 2

و '(x) = u'v + uv'
f '(x) = (2x 2) (2x + 3) + (x 1)². 2
و '(س) = 4x² + 2 س 6 + 2 (س² 2x + 1)
و '(س) = 4x² + 2x 6 + 2x² 4x + 2
و '(س) = 6 س² 2x 4
f '(x) = (x 1) (6x + 4) أو
و '(س) = (2 س 2) (3 س + 2)

السؤال 5.

إذا كانت f (x) = x² - (1 / x) + 1 ، فإن f '(x) =... .

أ. س - س²
ب. x + x²
ج. 2x - x^-2 + 1
د. 2x - x² – 1
E. 2 س + س^-2

إجابه:

و (س) = س² - (1 / س) + 1

= س² - س^-1 + 1

و '(س) = 2 س - (- 1) س^-1-1

= 2 س + س^-2

الجواب: E.

وبالتالي استعراض موجز لمشتقات الدوال الجبرية التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.