معادلات الخط المستقيم: المواد ، الرسوم البيانية ، الصيغ ، المشاكل ، المناقشة

تعبر معادلة الخط المستقيم عن معادلة تترجم الخط المستقيم إلى معادلة.

مراجعات المواد التي ستتم مناقشتها من خلال هذه الصفحة هي التدرجات والصيغ لمعادلات الخطوط المستقيمة وأيضًا طرق أو طرق لتحديد معادلات الخطوط المستقيمة.

في القسم الأخير ، سنقدم مثالاً للبحث عن الأسئلة التي تم تجهيز هذه المادة بها لزيادة فهمك لمعادلات الخط المستقيم.

إن خاصية أو خاصية معادلة الخط المستقيم هي أن المتغير لديه أعلى قوة من واحد.

قبل دراسة هذه المادة لتحديد معادلة الخط المستقيم ، يجب أن تقرأ أولاً عن كيفية رسم معادلة خط مستقيم.

لأن هذه المادة يمكن أن تساعدك على فهم مادة معادلات الخط المستقيم.

الخط المستقيم هو عدد لا نهائي من النقاط المتجاورة. يمكن التعبير عن الخط المستقيم بأشكال مختلفة من معادلات الخط المستقيم ، ويمكن التعبير عن الخط المستقيم في أكثر من معادلة.

تتضمن أمثلة التعبير عن معادلة الخط المستقيم ما يلي:

• ص = م س
• ص = -mx
• ص = أ
• س = أ
• الفأس + ب = أب
• الفأس - ب = -ab
• و اخرين.

فيما يلي الأشكال المختلفة للخطوط المستقيمة بالإضافة إلى طرق التعبير عن معادلة الخط المستقيم. انظر بعناية إلى الصورة أدناه:

شكل عام من بيرس

يتم التعبير عن معنى الخط المستقيم في المعادلة y = mx + c ، حيث m هي الانحدار، س هو عاملو ج هو ثابت.

سنبدأ مراجعة معادلات الخط المستقيم بتعريف وتعريف التدرج اللوني. هنا مزيد من المعلومات.

تعريف معادلة الخط المستقيم

كما ذكرنا أعلاه ، فإن معادلة الخط المستقيم تعبر عن معادلة تترجم الخط المستقيم إلى معادلة. لهذا السبب،

معنى معادلة الخط المستقيم هي معادلة أننا عندما نرسمها في مستوى إحداثيات ديكارتية ، فإنها ستشكل خطًا مستقيمًا.

والمقصود بالخط المستقيم هو مجموعة من النقاط المتوازية.

الانحدار

لكن قبل أن نتعلم المزيد عن الصيغة. يجب أن نعرف أولاً المكون الأول الذي لا يمكن فصله عن معادلة الخط المستقيم. نعم، شكل واحد ، وهو التدرج.

التدرج نسبة المكونين y والمكون x ، والمعروف أيضًا باسم ميل الخط المستقيم. رمز التدرج هو الحرف م.

يمكن أيضًا تعريف التدرج اللوني على أنه قيمة تعبر عن ميل الخط. بشكل عام ، يتم التعبير عن قيمة التدرج اللوني لمعادلة الخط المستقيم بواسطة النسبة Δy / Δx.

لاحظ طريقة تحديد التدرج اللوني في الصورة أدناه.

يمكن أيضًا أن تتأثر طريقة تحديد انحدار الخط المستقيم في المستوى الديكارتي باتجاه ميل الخط.

تعرف على المزيد حول كيفية تحديد تدرج الخط في المناقشة أدناه.

1. تدرج المعادلة ax + by + c = 0

M = المكون X / المكون Y

2. التدرج اللوني الذي يمر عبر نقطة المركز (0 ، 0) والنقطة (أ ، ب)

م = ب / أ

3. التدرج خلال النقطة (x₁، ذ₁ ) و (x₂، ذ₂ )

م = ذ₁ - ذ₂ / س₁ - س₂ أو م = ص₂ - ذ₁ / س₂ - س₁

4. تدرجات الخطوط متوازية (/ /)

م = نفس الشيء أو إذا كان يرمز له كـ م₁ = م₂

5. التدرج اللوني للخط عمودي على بعضهما البعض (المعاكس والعكس)

م = -1 أو م₁ س م₂ = -1

الموضع بين سطرين

يمكن تقسيم الموضع بين سطرين في معادلة الخط المستقيم إلى نوعين ، بما في ذلك الموازي والعمودي.

الموضعان لهما معادلة خط مستقيم مرتبطة ببعضهما البعض.

لذا ، إذا كانت هناك معادلة واحدة معروفة لخط مستقيم ، فستعرف معادلة الخط المستقيم الموازي أو العمودي لهذا الخط.

ثم يكون لمعادلة الخط المستقيم حالة علاقة متدرجة. سيتم تقديم متطلبات التدرج وأيضًا صورة للموضع بين خطين مستقيمين في المراجعة أدناه. استمع بعناية ، طيب ..

1. خطوط متوازية

الخطوط المتوازية عبارة عن خطين لا يتقاطعان أبدًا. هذين الخطين المتوازيين لهما نفس الميل.

من المعروف أن ميل الخط المستقيم g = m_ز وتدرج الخط h = m_ح. لذلك ، يمكن التعبير عن العلاقة بين تدرجات المعادلتين للخط في المعادلة التالية:

م_ز = م_ح

2. خطوط متعامدة

التدرج لخطين متعامدين له علاقة أيضًا.

يتم تحديد العلاقة بين الخطين إذا كان انحدار السطر الثاني هو عكس معكوس التدرج اللوني للخط الأول.

أو بعبارة أخرى ، يمكن أيضًا قول ما إذا كانت نتيجة ضرب التدرجين 2 هي -1.

على سبيل المثال ، التدرج اللوني للسطر الأول له قيمة م₁ = 2 ثم قيمة انحدار السطر الثاني هي م₂ = -1/2.

حتى تتمكن من الفهم بشكل أكثر وضوحًا ، يمكنك الاطلاع على المناقشة أدناه:

من المعروف أن ميل الخط المستقيم g = m_ز وكذلك انحدار الخط h = m_ح. لذلك ، يتم التعبير عن العلاقة بين تدرجي معادلة الخط في المعادلة التالية:

م_ز س م_ح = -1

معادلة الخط المستقيم

يمكننا معرفة معادلة الخط المستقيم من خلال صيغة وأيضًا القليل من العمليات الحسابية.

هناك نوعان من أسئلة المعادلة ذات الخط المستقيم التي سيتم طرحها على مستوى المدرسة الإعدادية.

النوع الأول هو مشكلة ذات تدرج معروف وأيضًا نقطة تقاطع.

وفي الوقت نفسه ، بالنسبة للنوع الثاني ، فهي معادلة حيث تُعرف نقطتا التقاطع.

ستتم مناقشة صيغة إيجاد معادلة الخط أدناه.

توجد صيغتان يمكننا استخدامهما لتحديد معادلة الخط المستقيم. يعتمد استخدام الصيغة على ما هو معروف في المشكلة.

تحقق من الصيغتين في المراجعة التالية:

1. معادلة الخط الذي ميله m ويمر بالنقطة A (x₁.y₁)

ص ص₁ = م (س - س₁)

2. معادلة الخط المار بالنقطة أ (س₁.y₁) و B (x₂.y₂)

ص ص₁ / ذ₂ . ذ₁ = ص - س₁ / س₂ . x₁

صيغة معادلة الخط المستقيم

1. معادلة الخط المستقيم للصورة العامة (y = mx).

المعادلة التي تمر عبر نقطة مركزها (0 ، 0) وميلها م.

كمثال:

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالمركز (0 ، 0) وميله أيضًا 2

إجابه:

ص = م س

ص = 2 س

2. معادلة الخط المستقيم عبر النقاط المتوازية (y = mx + c).

معادلة الخط المستقيم الذي هو / / مع ص = م س وميله م.

معادلة الخط الذي يمر بنقطته (0 ، ج) وميله م. (0، c) هو تقاطع y.

3. معادلة الخط المستقيم من خلال نقطته (x₁ ، ذ₁ ) والتدرج م.

المعادلة كالتالي:

ص ص₁ = م (س - س₁ )

4. معادلة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين هي (x₁ ، ذ₁ ) و (x₂ ، ذ₂ ).

ص ص₁ / ذ₂ - ذ₁ = س - س₁ / س₂ - س₁

عينة من الأسئلة والمناقشة

المشكلة 1.

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر تقاطع المستقيمين مع المعادلتين 3 س + 2 ص - 12 و 5 س + 2 ص = 16 ويوازي الخط 2 س + ص = 4 ، أي؟

إجابه:

3 س + 2 ص = 12

5 س + 2 ص = 16
_________ –
- 2 س = -4
س = -4 / -2 = 2

3 س + 2 ص = 12

3 × 2 + 2 ص = 12

6 + 2 ص = 12

2 ص = 6

ص = 6/2 = 3

نقطة التقاطع (2، 3) // 2x + y = 4

م₁ = -a / ب = -2 / 1 = -2

م₁ = م₂ = -2

ص ص₁ = م₂ (س - س₁ )

ص - 3 = -2 (س - 2)

ص - 3 = -2 س + 4

2 س + ص - 3 + 4 = 0

2 س + ص + 1 = 0

السؤال 2.

معادلة الخط المار بـ (1، 2) والعمودية على الخط 4y = 3x + 5 هي….
أ. 4 س - 3 ص + 10 = 0
ب. 4 س - 3 ص - 10 = 0
ج. 3 س + 4 ص - 5 = 0
د. 3 س + 4 ص + 5 = 0

إجابه:

أوجد التدرج اللوني للخط 4y = –3x + 5:

4 ص = -3 س + 5

ص = -3 / 4x + 5/4

ثم انحدار الخط هو م = - 3/4

سيكون الخط عموديًا على معادلة الخط إذا كان له ميل يرضي:

م₁ س م₂ = -1

-3/4 × م₂ = – 1

م₂ = – 1 / -3/4

م₂ = 4/3

بعد ذلك ، سنجد معادلة الخط المستقيم مع الانحدار m₂ = 3/4 الذي يمر بالنقطة (-1 ، 2)

ص ص₁ = م₂ (س - س₁ )

ص - 2 = 4/3 (س - (-1))

ص - 2 = 4/3 (س + 1)

3 (ص - 2) = 4 (س + 1)

3 ص - 6 = 4 س + 4

- 4x + 3y - 10 = 0

4 س - 3 ص + 10 = 0

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

مشكلة 3. الرياضيات أسئلة الأمم المتحدة لعامي 2013 و 2008

معادلة الخط الذي يمر بالنقطة (–3 ، 5) وعمودي على الخط 3x - 2y = 4 هي….

أ. 2 س + 3 ص - 9 = 0
ب. 2 س - 3 ص - 9 = 0
ج. 3 س + 2 ص + 19 = 0
د. 3 س - 2 ص - 1 = 0

إجابه:

أوجد التدرج اللوني للخط 3x - 2y = 4:

3 س - 2 ص = 4

2 ص = 3 س - 4

ص = 3/2 س - 2

إذن ، انحدار الخط المستقيم هو m₁ = 3/2

سيكون الخط عموديًا على معادلة الخط إذا كان له ميل يرضي:

م₁ س م₂ = -1

3/2 × م₂ = -1

م₂ = -1/ 3/2

م₂ = -2/3

بعد ذلك ، سنجد معادلة الخط المستقيم مع الانحدار m₂ = -2/3 التي تمر بالنقطة (-3، 5)

ص ص₁ = م₂ (س - س₁ )

ص - 5 = -2/3 (س - (-3))

ص - 5 = -2/3 (س + 3)

3 (ص - 5) = -2 (س + 3)

3 ص - 15 = -2 س - 6

2 س + 3 ص - 15 + 6 = 0

2 س + 3 ص - 9 = 0

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

المشكلة 4. 2009 الرياضيات أسئلة الأمم المتحدة

من بين معادلات الأسطر التالية:

(ط) 2 ص = 8 س + 20
(ب) 6 ص = 12 س + 18
(III) 3y = 12x + 15
(د) 3 ص = 6 س + 15

الرسوم البيانية التي تكون موازية لبعضها البعض ...

أ. (الأول) و (الثاني)
ب. (الأول) و (الثالث)
ج. (الثالث) و (الرابع)
د. (الثاني) و (الرابع)

إجابه:

يكون الرسم البياني موازٍ لبعضهما البعض إذا كان له نفس قيمة التدرج ، أي:

2 ص = 8 س + 20 ← م = 8/2 = 4

6 ص = 12 س + 18 ← م = 12/6 = 2

3 ص = 12 س + 15 ← م = 12/3 = 4

3 ص = 6 س + 15 ← م = -6/3 = -2

وهكذا ، تحدث الرسوم البيانية المتوازية في معادلات الخطين (I) و (III).

إذن ، الإجابة الصحيحة هي ب.

السؤال 5. الرياضيات سؤال الأمم المتحدة 2008

معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة أ (–2 ، –3) وعمودي على الخط مع المعادلة ص = 2/3 س + 9 هي….

أ. 2 س + 3 ص + 13 = 0
ب. 3 س + 2 ص + 12 = 0
ج. 2 س + 3 ص - 5 = 0
د. 3 س - 2 ص = 0

إجابه:

إيجاد انحدار الخط المستقيم y = 2 / 3x + 9:

م₁ = 2 / 3x

سيكون الخط عموديًا على معادلة الخط إذا كان له ميل يرضي:

م₁ س م₂ = -1

2/3 × م₂ = -1

م₂ = -1/ 2/3

م₂ = -3/2

بعد ذلك ، سنجد معادلة الخط المستقيم مع الانحدار m₂ = -3/2 التي تمر بالنقطة (-2، -3)

ص ص₁ = م₂ (س - س₁ )

ص - (-3) = -3/2 (س - (-2))

ص + 3 = -3/2 (س + 2)

2 (ص + 3) = -3 (س + 2)

2 ص + 6 = -3 س - 6

2 ص + 3 س + 6 + 6 = 0

2 ص + 3 س + 12 = 0

3 س + 2 ص + 12 = 0

إذن ، الإجابة الصحيحة هي ب.

السؤال 6.

معادلة الخط الموازي للخط 2 س + 3 ص + 6 = 0 ويمر بالنقطة (-2.5) هي ...

أ. 2 س + 3 ص -4 = 0

ب. 2 س -2 ص + 16 = 0

ج. 3 س + 2 س -11 = 0

د. 3y-2x-19 = 0

إجابه:

معادلة الخط الموازي للخط 2x + 3y + 6 = 0 تعني أن انحدار الخط المستقيم هو نفسه. لذلك نحدد التدرج اللوني أولاً باستخدام الطريقة التالية:

2 س + 3 ص + 6 = 0

3 ص = -2 س - 6

ص = -2/3 س - 2

لذلك يمكن ملاحظة أن التدرج اللوني = -2/3

إذن ، المعادلة العامة للخط هي y = -2 / 3x + c

نظرًا لأن الخط يمر أو يمر عبر النقطة (-2.5) ، يمكننا استبدال تلك النقطة في المعادلة للحصول على قيمة c. إليك الطريقة:

ص = -2 / 3 س + ج

5 = -2/3 (-2) + ج

5 = 4/3 + ج

ج = 5 - 4/3

ج = 15/3 -4/3

ج = 11/3

إذن ، معادلة الخط هي:

ص = -2 / 3 س + ج

ص = -2/3 س + 11/3

3 ص = -2 س + 11

3 س + 2 س - 11 = 0

إذن ، الإجابة الصحيحة هي C.

السؤال 7.

من المعروف أن معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة P (k، 4) ويكون عموديًا على الخط x + 2y + 1 = 0 أي y = m (x + 1) ، لذا فإن قيمة k هي ….

أ. 1

ب. 2

ج. 3

د. 4

إجابه:

س + 2 ص + 1 = 0

2 ص = -x - 1

ص = -1/2 س - 1/2

لذلك يمكننا معرفة الانحدار (م) = -1/2

بما أن الخطين متعامدين ، إذن

م -1 / 2 = -م / 2 = -1

-م = -2

م = 2

أو الطريقة السهلة ، إذا كانت متعامدة ، فإن ميل الخط يكون معكوسًا والعكس صحيح. لأن m من الخط x + 2y + 1 = 0 وهو -1/2 ثم المقابل والعكس هو 2.

لذلك ، فإن معادلة الخط y = m (x + 1) ستكون y = 2 (x + 1)

الخط y = 2 (x + 1) يمر بالنقطة (k، 4) بحيث:

ص = 2 (س + 1)

4 = 2 (ك + 1)

4 = 2 ك + 2

2 كيلو = 4-2

2 كيلو = 2

ك = 1

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

السؤال 8.

إذا كان الخط g: x-3y + 5 = 0. معادلة الخط الذي يمر بالنقطة (-2.11) ويكون أيضًا عموديًا على معادلة الخط g هي ...

أ. -3 س + 5 ج. 3x-5

ب. -3x-5

ج. 3x-5

د. 3x + 5

إجابه:

x-3y + 5 = 0

-3 ص = -س - 5

ص = 1/3 س + 5/3

م 1 = 1/3

لأنه عمودي ، لذلك:

1/3. م 2 = -1 م 2 = -3

أو ببساطة m2 هو عكس m1 وهو أيضًا عكسه.

معادلة الخط الذي ميله -3 ويمر بالنقطة (-2.11) هي:

ص-ب = م (س-أ)

ص -11 = م 2 (س - (- 2))

ص -11 = -3 (س + 2)

ص -11 = -3 س -6

ص = -3 س - 6 +11

ص = -3 س +5

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

المشكلة 9. (الأمم المتحدة 2010)

انحدار الخط الذي يحتوي على المعادلة 3x-5y + 15 هو….

أ. 5/3

ب. 3/5

ج. -3/5

د. -5/3

إجابه:

انحدار الخط مع المعادلة 3x-5y + 15 = 0 هو:

3 س -5 ص + 15 = 0

- 5 ص = -3 س - 15

5 ص = 3 س + 15

ص = 3/5 س + 3

الانحدار (م) = 3/5

إذن ، الإجابة الصحيحة هي ب.

السؤال 10.

تدرج المعادلة 4y = 2x + 3 هو ...

أ. م = 2
ب. م = 1
ج. م =
د. م =-

إجابه:

بالنسبة لمعادلة خطية بالصيغة y = mx + c ، يكون انحدار الخط هو m (الرقم الموجود خلف x).

لذلك لا بد من تغيير شكل المعادلة في المسألة أولاً باتباع الطريقة التالية:

4 ص = 2 س + 3
ص = (2/4) س + 3/4
ص = س + 3/4

وبالتالي ، يمكننا أن نعرف أن التدرج اللوني هو:

ص = س + 3/4
م =

إذن ، الإجابة الصحيحة هي C.

السؤال 11.

من معادلات الأسطر الأربعة التالية ، والتي لها انحدار 2 ، وهي ...

أ. ص = 4x + 8
ب. 4 س + 2 ص - 5 = 0
ج. 3 ص = 6 س + 16
د. ص + 2 س = 6

إجابه:

لنلقِ نظرة على التدرج اللوني لكل خيار من خيارات معادلة الخط من المشكلة رقم 11 أعلاه:

أ. ص = 4x + 8 → م = 4
ب. 4x + 2y - 5 = 0 → 2y = -4x + 5 → m = -4/2 = -2
ج. 3y = 6x + 16 → y = 2x + 16/3 → m = 2
د. ص + 2 س = 6 → ص = -2 س + 6 → م = -2

إذن ، معادلة الخط الذي به انحدار 2 هي 3y = 6x + 16.

وبالتالي مراجعة موجزة هذه المرة يمكننا أن ننقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.