ثلاثة نظام متغير للمعادلات الخطية

ثلاثة نظام معادلات خطية متغيرة- هو شكل ممتد من نظام المعادلة الخطية ذات المتغيرين (SPLDV). والتي تتكون في نظام معادلة خطية من ثلاثة متغيرات من ثلاث معادلات ، لكل منها ثلاثة متغيرات (مثل x و y و z).

وبالتالي ، يمكن كتابة الشكل العام للنظام ثلاثي المتغيرات للمعادلات الخطية في x و y و z على النحو التالي:

باستخدام a و b و c و d و e و f و g و h و i و j و k و l أو a1، ب1، ج1، د1، أ2، ب2، ج2، د2، أ3، ب3، ج3و د3 هي أرقام حقيقية.

معلومة:

• أ ، ه ، أنا ، أ1، أ2، أ3 = معامل x
• ب ، و ، ي ، ب1، ب2، ب3 = معامل ذ
• ج ، ز ، ك ، ج1، ج2، ج3 = معامل z
• د ، ح ، ط ، د1، د2، د3 = ثابت
• x ، y ، z = متغير أو متغير

صفة مميزة خصائص نظام المعادلات الخطية الثلاثة المتغيرة (SPLTV)

تسمى المعادلة نظامًا ثلاثي المتغيرات من المعادلات الخطية إذا كان لها الخصائص التالية:

• استخدام علاقة علامة التساوي (=)
• له ثلاثة متغيرات
• المتغيرات الثلاثة لها درجة واحدة (أس واحد)

شيء المسائل المتعلقة بـ SPLTV

يحتوي على ثلاثة مكونات أو عناصر مرتبطة دائمًا بنظام معادلة خطية من ثلاثة متغيرات.

المكونات الثلاثة هي: المصطلحات والمتغيرات والمعاملات والثوابت. فيما يلي شرح لكل مكون من مكونات SPLTV.

1. قبيلة

المصطلح جزء من شكل جبري يتكون من المتغيرات والمعاملات والثوابت. يتم فصل كل مصطلح باستخدام علامات ترقيم الجمع والطرح.

مثال:

6x – y + 4z + 7 = 0 ثم الحد–شروط المعادلة هي 6x و -y و 4z و 7.

2. عامل

المتغير هو متغير أو بديل عن رقم يُشار إليه عمومًا باستخدام أحرف مثل x و y و z.

مثال:

تحتوي يوليسا على 2 تفاح و 5 مانجو و 6 برتقالات. إذا كتبناها في شكل معادلة ثم:

مثال: apple = x ، mango = y ، البرتقالي = z ، لذا فإن المعادلة هي 2x + 5y + 6z.

3. معامل في الرياضيات او درجة

المعامل هو رقم يعبر عن عدد من المتغيرات المتشابهة.

تسمى المعاملات أيضًا بالأرقام الموجودة أمام المتغير ، لأن كتابة معادلة المعامل تكون أمام المتغير

مثال:

يحتوي جيلانج على 2 تفاح و 5 مانجو و 6 برتقالات. إذا كتبناها في شكل معادلة ثم:

مثال: apple = x ، mango = y ، البرتقالي = z ، لذا فإن المعادلة هي 2x + 5y + 6z.

من هذه المعادلات ، يمكن ملاحظة أن 2 و 5 و 6 معاملات حيث 2 هو معامل x و 5 هو معامل y و 6 هو معامل z.

4. ثابت

الثابت هو رقم لا يتبعه متغير ، لذلك سيكون له قيمة ثابتة أو ثابتة بغض النظر عن قيمة المتغير أو المتغير.

مثال:

2x + 5y + 6z + 7 = 0 ، من المعادلة الثابت هو 7. لأن 7 القيمة ثابتة ولا تتأثر بأي متغير.

شروط SPLDV لها حل واحد

سيكون لنظام المعادلات الخطية مع 3 متغيرات بالضبط حل أو مجموعة من الحلول إذا كان بإمكانه تلبية الشروط التالية:

هناك أكثر من واحد أو هناك ثلاث معادلات خطية لثلاثة متغيرات متشابهة.

مثال:

• س + ص + ض = 5
• س + 2 ص + 3 ع = 6
• 2 س + 4 ص + 5 ع = 9

المعادلات الخطية ذات الثلاثة متغيرات التي تشكل نظام المعادلات الخطية ذات المتغيرات الثلاثة ليست هي نفسها المعادلات الخطية ذات الثلاثة متغيرات.

مثال:

• 2x − 3y + z = −5
• 2x + z − 3 س + 5 = 0
• 4x – 6 س + 2 ز = −10

المعادلات الثلاثة أعلاه عبارة عن نظام معادلات خطية من نفس المتغيرات الثلاثة بحيث لا تحتوي على مجموعة حلول واحدة بالضبط.

كيفية حل SPLDV

يمكن كتابة الشكل العام لنظام ثلاثي المتغيرات من المعادلات الخطية على النحو التالي:

إذا كانت قيمة x = x0، ص = ص0و z = z0، مكتوبة في أزواج مرتبة (x0، ذ0، ض0) ، يلتقي SPLTV أعلاه ، ثم يجب أن تنطبق العلاقة التالية.

في مثل هذه الحالة ، (x0، ذ0، ض0) يسمى حل نظام المعادلات الخطية و مجموعة الحلول مكتوب كـ {(x0، ذ0، ض0)}.

على سبيل المثال وجود SPLTV على النحو التالي:

• 2 س + ص + ض = 12
• س + 2 ص – ض = 3
• 3x – ص + ض = 11

يحتوي SPLTV أعلاه على حل (3 ، 2 ، 4) مع مجموعة الحلول ، وهي {(2 ، 3 ، 4)}.

لإثبات حقيقة أن (3 ، 2 ، 4) هو حل SPLTV ، ثم استبدل قيم x = 3 و y = 2 و z = 4 في المعادلة 2x + y + z = 12، x + 2 س– ض = 3 و 3 س – y + z = 11 ، لذلك نحصل على:

⇔ 2 (3) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12 ، صحيح

⇔ 3 + 2(2) – 4 = 3 + 4 – 4 = 3 ، صحيح

⇔ 3(3) – 2 + 4 = 9 – 2 + 4 = 11 ، صحيح

يمكن البحث في حل أو مجموعة الحلول لنظام المعادلات الخطية ثلاثية المتغيرات (SPLTV) باستخدام عدة طرق أو طرق ، بما في ذلك استخدام:

• طريقة الاستبدال
• طريقة الاستبعاد
• طريقة مختلطة أو مختلطة
• طريقة حاسمة
• طريقة المصفوفة العكسية

هنا سوف نقدم مراجعة للطريقة الاستبدال والقضاء والجمع على نظام المعادلات الخطية ثلاثية المتغيرات (SPLTV)

1. طريقة الاستبدال

فيما يلي الخطوات المستخدمة لإكمال SPLTV بطريقة الاستبدال ، بما في ذلك:

المرحلة 1:

اختر أبسط معادلة ، ثم عبر عن x كدالة في y و z ، أو y كدالة في x و z ، أو z كدالة في x و y.

المرحلة الثانية:

عوّض بـ x أو y أو z التي حصلنا عليها في الخطوة الأولى في المعادلتين الأخريين. لذلك سوف نحصل عليه نظام المعادلات الخطية لمتغيرين (SPLDV).

المرحلة 3:

أكمل SPLDV الموجود في المرحلة الثانية.

لكي تفهم المزيد حول كيفية حل SPLTV باستخدام طريقة الاستبدال ، نقدم هنا بعض الأمثلة على الأسئلة ومناقشتها.

المشكلة 1.

حدد حل SPLTV المحدد أدناه باستخدام طريقة الاستبدال:

x – 2y + z = 6

3 س + ص – 2 ز = 4

7x – 6y – ض = 10

إجابه:

الخطوة الأولى هي تحديد أبسط معادلة أولاً.

من بين المعادلات الثلاث ، المعادلة الأولى هي الأبسط. من المعادلة الأولى ، حدد المتغير x كدالة لـ y و z على النحو التالي:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ س = 2 ص – ض + 6

عوّض بالمتغير أو المتغير x في المعادلة الثانية

⇒ 3 س + ص – 2 ز = 4

⇒ 3 (2y – ض + 6) + ص – 2 ز = 4

⇒ 6y – 3 ع + 18 + ص – 2 ز = 4

⇒ 7 س – 5 ع + 18 = 4

⇒ 7 س – 5 ز = 4 – 18

⇒ 7 س – 5z = –14 ……………. صحافة. (1)

عوّض بالمتغير x في المعادلة الثالثة

⇒ 7x – 6y – ض = 10

⇒ 7 (2y – ض + 6) – 6y – ض = 10

⇒ 14 ص – 7z + 42 – 6y – ض = 10

⇒ 8y – 8 ع + 42 = 10

⇒ 8y – 8 ز = 10 – 42

⇒ 8y – 8z = –32

⇒ ذ – ض = –4... مكافئ. (2)

المعادلتان (1) و (2) تشكلان SPLDV y و z:

7 س – 5z = –14

ذ – ض = –4

ثم حل SPLDV أعلاه باستخدام طريقة الاستبدال. اختر واحدة من أبسط المعادلات. في هذه الحالة المعادلة الثانية هي أبسط معادلة.

من المعادلة الثانية نحصل على:

⇒ ذ – ض = –4

⇒ ص = ض – 4

عوّض بالمتغير y في المعادلة الأولى

⇒ 7 س – 5z = –14

⇒ 7 (ض – 4) – 5z = –14

⇒ 7z – 28 – 5z = –14

⇒ 2z = –14 + 28

⇒ 2z = 14

⇒ ض = 14/2

⇒ ض = 7

عوض بقيمة z = 7 في واحدة من SPLDV ، على سبيل المثال y – ض = –4 لذلك سوف نحصل على:

⇒ ذ – ض = –4

⇒ ذ – 7 = –4

⇒ ص = –4 + 7

⇒ ص = 3

بعد ذلك ، استبدل قيم y = 3 و z = 7 في واحدة من SPLTV ، على سبيل المثال x – 2y + z = 6 لذلك سوف نحصل على:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ x – 2(3) + 7 = 6

⇒ x – 6 + 7 = 6

⇒ س + 1 = 6

⇒ س = 6 – 1

⇒ س = 5

بهذه الطريقة ، نحصل على x = 5 و y = 3 و z = 7. بحيث يكون الحل المحدد لمشكلة SPLTV هو {(5، 3، 7)}.

للتأكد من صحة قيم x و y و z التي تم الحصول عليها ، يمكننا معرفة ذلك عن طريق استبدال قيم x و y و z في أجهزة SPLTV الثلاثة أعلاه. من بين أمور أخرى:

المعادلة الأولى:

⇒ x – 2y + z = 6

⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6

⇒ 5 – 6 + 7 = 6

⇒ 6 = 6 (صحيح)

المعادلة الثانية:

⇒ 3 س + ص – 2 ز = 4

⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4

⇒ 15 + 3 – 14 = 4

⇒ 4 = 4 (صحيح)

المعادلة الثالثة:

⇒ 7x – 6y – ض = 10

⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10

⇒ 35 – 18 – 7 = 10

⇒ 10 = 10 (صحيح)

من البيانات أعلاه ، يمكن التأكد من أن قيم x و y و z التي نحصل عليها صحيحة وقد استوفت نظام المعادلات الخطية للمتغيرات الثلاثة المعنية.