Vector Math: الأنواع ، العمليات ، الإسقاطات المتعامدة ، الملاحظات ، المشاكل

المتجه الرياضي هو كمية لها اتجاه ، ويمكن تصوير هذا المتجه نفسه باستخدام سهم يشير اتجاهه إلى اتجاه المتجه. وعادة ما يشار إلى طول الخط بالحجم المتجه.

إذا بدأ المتجه عند النقطة A وينتهي عند النقطة B ، فيمكن كتابة المتجه باستخدام حرف صغير مع شرطة أو سهم فوقه (

أو ). أو يمكن عمل ذلك بطريقة كما في الصورة أدناه:

على سبيل المثال ، ناقل هو متجه يبدأ من النقطة A (x₁. ذ₁) إلى النقطة B (x₂. ذ₂) يمكننا رسم الإحداثيات الديكارتية أدناه.

طول الخط الموازي للمحور x هو v₁ = س₂ - س₁ وطول الخط الموازي للمحور y هو v₂ = ذ₂ - ذ₁ هي بعض مكونات المتجهات .

مركبات المتجه  يمكننا الكتابة للتعبير عن المتجهات جبريًا ، وهي:

نوع المتجه

توجد عدة أنواع من النواقل الخاصة الموجودة في الرياضيات ، بما في ذلك:

• ناقل الموقف
  متجه تكون نقطة بدايته عند 0 (0،0) ونقطة النهاية عند A
• ناقل صفر
  متجه طوله صفر ويُشار إليه بالرمز . ليس للمتجه الصفري اتجاه متجه واضح.
• حتى النصر
  متجه طوله وحدة واحدة. ناقل الوحدة من هذا هو:
  
instagram viewer
• ناقلات القاعدة
  متجه القاعدة هو متجه وحدة متعامد مع بعضه البعض. في فضاء متجه ثنائي الأبعاد (R²) له اثنين من النواقل الأساسية وهي و . بينما في ثلاثة أبعاد (R³) ثلاثة نواقل أساسية وهي , ، و أيضا .

أنواع مختلفة بالإضافة إلى عمليات المتجهات

لا تتكون النواقل الرياضية فقط من عدة أنواع ، ولكن النواقل الرياضية تتكون أيضًا من عدة أنواع.

لذلك ، في ما يلي ، سوف نوفر متجهات مختلفة مع عملياتها في وقت واحد ، ونلقي نظرة فاحصة عليها:

المتجه في R2 

يتم الإشارة إلى طول قطعة مستقيمة تمثل متجهًا باستخدام أو يمكن الإشارة إليها باستخدام الرمز ||

فيما يلي طول المتجه ، وهو كالتالي:

طول المتجه نفسه هو شكل يمكن أن يكون مرتبطًا بالزاوية التي يمكن تشكيلها بسهولة بواسطة المتجه وكذلك المحور الموجب.

عملية المتجهات على R2 

عملية جمع وطرح المتجهات في R2 

الناتج هو اسم نتيجة إضافة متجهين أو أكثر.

يمكن أيضًا إضافة هذا المتجه نفسه جبريًا ويمكن أيضًا إجراؤه عن طريق إضافة المكونات الموجودة في نفس الموضع أو الموضع التالي.

إذا:

ومن بعد:

ثم يمكننا أن نرى التجميع الرسومي نفسه في مثال الصورة أدناه:

يتم التعامل مع هذا الطرح المتجه بنفس طريقة الطرح ، بما في ذلك ما يلي ، انظر المثال أدناه:

الخصائص في إضافة المتجه نفسها كما يلي ، يرجى الاطلاع على الصيغة:

⇒ الضرب المتجه في R² مع عددي 

يمكن أيضًا ضرب المتجه نفسه في عدد قياسي أو رقم حقيقي والذي سينتج متجهًا جديدًا إذا متجه و k عددي.

بحيث يمكن الإشارة إلى هذا الضرب المتجه على النحو التالي:

وهنا بعض مزيد من التفاصيل:

• إذا كان k> 0 ، ثم متجه سيكون في نفس اتجاه المتجه .
• إذا كان k <0 ، ثم متجه سيكون في الاتجاه المعاكس للناقل .
• إذا كان k = 0 ، ثم متجه هو ناقل الهوية .

بيانياً ، يمكن أن يغير هذا الضرب طول المتجه ويمكن رؤيته في الجدول أدناه:

إذا كان جبريًا ، فالمنتج المتجه باستخدام العددية k ، يمكننا صياغتها باستخدام صيغة مثل تلك أدناه:

الضرب القياسي لمتجهين في R²

في حاصل الضرب القياسي لمتجهين ، يمكن الإشارة إليه أيضًا على أنه حاصل الضرب النقطي لمتجهين يمكننا كتابته على النحو التالي:

المتجه في R³

متجه يقع في مساحة ثلاثية الأبعاد (x ، y ، z) حيث تكون المسافة بين نقطتي المتجه في R³ يمكنك معرفة ذلك من خلال تطوير صيغة فيثاغورس.

إذا كانت النقطة من A (x₂. ذ₂. ض₂) و B (x₂. ذ₂. ض₂) نكون:

أو إذا ، لهذا السبب:

المتجه يمكن ذكرها في شكلين ، وهما العمود

أو في السطر ليكون

يمكن أيضًا تمثيل المتجهات كمجموعات خطية من المتجهات الأساسية مثل أو و أو

ما يلي بالكامل:

عملية المتجهات على R³

عمليات المتجهات على R³ بشكل عام ، لها نفس مفهوم العمليات على المتجه R² بالإضافة إلى الطرح والضرب.

جمع وطرح المتجهات في R³

جمع وطرح المتجهات في R³ هو نفسه الموجود في المتجه R² يسمى:

تكاثر النواقل في R³ مع العددية

إذا متجه و k عددي. ثم يصبح الضرب المتجه:

حاصل الضرب القياسي لمتجهين

بالإضافة إلى الصيغة الموجودة على R.³، هناك صيغة أخرى للمنتج القياسي لمتجهين. إذا و ومن بعد هو:

متعامد الإسقاط

إذا تم إسقاط المتجه ā في متجه بارب وأعطي اسما  مثل الصورة أدناه:

معروف:

وبالتالي:

للحصول على المتجه:

تدوين المتجهات

كما هو موضح أعلاه ، يتم تمثيل المتجه هنا باستخدام الأحرف التي يتم إعطاء اتجاه الخط فوقها.

يمكن التعبير عن المتجهات في بعدين أو حتى ثلاثة أبعاد أو أكثر. عندما يتم التعبير عن المتجه في ثلاثة أبعاد ، يكون للمتجه وحدة متجه يتم التعبير عنه بدلالة i و j و k

متجه الوحدة هو متجه حجمه وحدة واحدة ويكون اتجاهه على طول المحور الرئيسي ، وهو:

أنا هو متجه وحدة في اتجاه المحور x (الإحداثي السيني)

ي هو متجه وحدة في اتجاه المحور ذ (تنسيق)

ك هو متجه وحدة في اتجاه المحور ض (طلب)

مع فأس كمكون اتجاه x ، و a_y مكونات اتجاه المحور y و a_z هو مكون الاتجاه z.

شكل كتابة المتجهات:

غالبًا ما يكتب في الرياضيات بالشكل:

مع المكون في شكل فهرس رقمي يكون:

تتم كتابة طول المتجه (كبير ، قيمة) كعلامة مطلقة في الجبر

أو في فهرس رقمي

إذا تم تعريف المتجه بواسطة الإحداثيات

ثم يتم تمثيل المتجه AB بواسطة

طول المتجه AB

وفي الوقت نفسه ، بالنسبة لمتجه الوحدة للمتجه الذي يتم التعبير عنه كـ

معربا عن

عينة من الأسئلة والمناقشة

المشكلة 1.

إذا كان معروفًا أن هناك النقطة A (2،4،6) ، والنقطة B (6،6،2) ، والنقطة C (p ، q ، -6). إذا كانت النقاط A و B والنقطة C في خط مستقيم ، فاكتشف قيمة p + q!

إجابه:

إذا كانت النقاط A و B و C في خط مستقيم ، فإن المتجه وناقلات يمكن أن يكون أيضًا أحادي الاتجاه أو في اتجاهات مختلفة.

لذلك سيكون هناك رقم م وهو مضاعف ويمكن أن يشكل معادلة مثل المعادلة أدناه:

• م. =

إذا كانت B تقع بين النقطتين A و C ، فسيتم الحصول عليها كما هو موضح أدناه:

لذلك يمكنك الحصول على:

لذلك يمكن تحديد مضاعفات م في المعادلة:

لذا فإن النتائج التي سنحصل عليها هي:

حتى نتمكن من استخلاص النتائج على النحو التالي:

ص + س = 10 + 14 = 24

السؤال 2.

إذا كان من المعروف أن المتجه عند النقطة A والنقطة B والمتجه عند النقطة C التي تقع بين الخط Ab كما هو موضح في الشكل أدناه. أوجد معادلة المتجه ج.

إجابه:

من الصورة أعلاه يمكننا أن نرى ما يلي:

وبالتالي:

وبالتالي استعراض موجز للرياضيات المتجهة يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه لرياضيات المتجهات كمواد دراسية.