حدود الدوال الجبرية: التعاريف ، الخصائص ، الطرق ، علم المثلثات ، النظريات

يعد حد الدالة الجبرية أحد المفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل والتحليل ، فيما يتعلق بسلوك دالة تقترب من نقطة إدخال معينة.

وظيفة تعيين الإخراج و (خ) لكل مدخلات x. هذه الوظيفة لها حدود إل عند نقطة الإدخال ص متي و (خ) "قريب" من L عندما x قريب من ص.

بعبارة أخرى ، و (خ) سوف يقترب من إل متي x يقترب أيضا نحو ص.

علاوة على ذلك ، إذا F يتم تطبيقه على كل مدخلات كافية قريب من ص، والنتيجة هي إخراج قريب (بشكل تعسفي) من إل.

هل تعرف؟
على الرغم من ضمنيًا في تطور حساب التفاضل والتكامل في القرنين السابع عشر والثامن عشر ، فإن المفهوم الحديث للحد تمت مناقشة الوظيفة الجديدة بواسطة Bolzano في عام 1817 الذي قدم أساسيات تقنية epsilon-delta. لكن عمله غير معروف خلال حياته. –sc: ويكيبيديا

إذا كان الإدخال قريب على ص تبين أنه يتم تعيينها إلى مخرجات مختلفة جدًا ثم الوظيفة F سيقال ليس لها حدود.

تمت صياغة تعريف الحد رسميًا منذ القرن التاسع عشر.

مفهوم حدود الدوال الجبرية

يمكن تعريف الحد على أنه الذهاب إلى الحد ، وهو شيء قريب ولكن لا يمكن تحقيقه.

في اللغة الرياضية ، يمكن الإشارة إلى هذا الشرط باسم حد.

الحد هو مفهوم رياضي حيث يُقال أن الشيء "قريب" أو "قريب من" قيمة رقم معين. يمكن أن تكون الحدود في شكل دالة يكون مجالها المشترك "قريبًا" أو "قريبًا من" قيمة عدد طبيعي معين.

لماذا يجب أن يكون هناك حد؟ لأن الحد يعبر عن وظيفة عند الاقتراب من حد معين.

لماذا يجب أن تقترب منه؟ لأن الوظيفة بشكل عام لا يتم تعريفها في نقاط معينة.

على الرغم من عدم تحديد الوظيفة في كثير من الأحيان في نقطة معينة ، إلا أنه لا يزال من الممكن اكتشافها ما هي القيمة التي تقاربها الوظيفة إذا تم الاقتراب من نقطة معينة ، أي بواسطة حد.

في اللغة الرياضية ، تتم كتابة الحدود على النحو التالي:

أي ، إذا اقتربت x من a ولكن x لا تساوي a ، فإن f (x) ستقترب من L. يمكننا أن نرى اقتراب x من a من ضلعين ، أي الجانب الأيسر وأيضًا الجانب الأيمن أو بالكلمة وإلا يمكن لـ x الاقتراب من الاتجاهين الأيسر والأيمن بحيث ينتج عنها حد أيسر ونهاية حق.

لذلك ، من الوصف أعلاه ، سوف نحصل على مثال الصيغة التالية:

لقيم x القريبة من 1:

هذه صورة بيانية:

بالنظر إلى الرسم أعلاه ، يمكن تقسيمه إلى:

• إذا اقتربت x من 1 من اليسار ، فإن قيمة f (x) تقترب من 2
  
• إذا اقتربت x من 1 من اليمين ، فإن قيمة f (x) تقترب من 2
  
• لذا ، إذا اقتربت x من 1 ، فإن قيمة f (x) ستقترب من 2
  

نظرية أو بيان

يُقال أن للدالة حدًا إذا كان للحدود اليمنى واليسرى نفس القيمة. لذلك ، إذا لم يكن الحد الأيسر والنهاية اليمنى متماثلين ، فلن تكون القيمة النهائية موجودة.

نظرية التعريف والحد. كما هو موضح أعلاه ، الحد في اللغة العامة يعني الحد.

عندما ندرس الرياضيات ، هناك بعض المعلمين الذين يقولون إن الحد هو نهج.

ينص معنى هذا الحد على أن الدالة f (x) ستقترب من قيمة معينة إذا اقتربت x من قيمة معينة.

هذا التقريب محدود بين رقمين موجبين صغيرين للغاية يسمى إبسيلون ودلتا.

سيتم تلخيص العلاقة بين هذين الرقمين الموجبين الصغيرين في تعريف النهاية.

تحديد خصائص الدوال الجبرية

إذا ن هو عدد صحيح موجب ، ك ثابت، F و ز هي وظيفة لها حد عند ج، ثم سيتم تطبيق بعض الخصائص التالية.

طرق مختلفة لحل الجبر النهائى

هناك عدة طرق أو طرق لحل الحدود الجبرية ، منها:

• طريقة الاستبدال
• طريقة العوملة
• طريقة القسمة على الأس الأعلى للمقام
• طريقة الضرب بعامل مشترك

سنشرح هنا الطرق واحدة تلو الأخرى. استمع بعناية ، نعم.

تحديد القيمة الحدية للدالة الجبرية

هناك نوعان لتحديد حدود الدالة الجبرية ، بما في ذلك:

الشكل الأول:

والشكل الثاني هو:

1. طريقة الاستبدال

طريقة الاستبدال ستحل محل المتغيرات القريبة من قيمة معينة فقط بوظائفها الجبرية.

كمثال:

لذا فإن قيمة دالة الحد الجبرية هي:

2. طريقة العوملة

يتم استخدام طريقة العوملة إذا تعذر تحديد طريقة أو طريقة الاستبدال التي تنتج قيمة حدية.

كمثال:

تُستخدم طريقة العوملة من خلال تحديد العامل المشترك بين البسط والمقام.

فيما يتعلق بنموذج الحد الثاني ، هناك عدة طرق لتحديد القيمة الحدية لحد الوظيفة الجبر هو طريقة أو طريقة للقسمة على أعلى قوة للمقام وطريقة الضرب في عامل اصحاب.

3. طريقة قسمة أعلى قوة للمقام

كمثال:

حدد القيمة الحدية للدالة الجبرية للنهاية أدناه:

قوة البسط والمقام في المسألة هي 2 ،

لهذا السبب، القيمة النهائية للدالة الجبرية هي

مثال على السؤال 2.

حدد القيمة الحدية للدالة الجبرية للنهاية أدناه:

قوة البسط والمقام في المسألة هي 3 ،

إذن ، قيمة حد الدالة الجبرية هي:

4. طريقة الضرب بالعوامل المركبة

يتم استخدام هذه الطريقة إذا كانت طريقة الاستبدال ستنتج على الفور قيمة حد غير منطقية.

سيتم ضرب الدالة بجذرها المشترك بحيث لا تكون صيغة النهاية غير منطقية ، بحيث يمكن إجراء الاستبدال المباشر للقيم مرة أخرى. س → ج .

كمثال:

حدود الدوال الجبرية اللانهائية

عند تشغيل حد الدوال الجبرية ، توجد أحيانًا أيضًا قيمة x تقترب من اللانهاية (∞).

لذلك ، إذا تم استبدال الوظيفة ، فسوف تنتج قيمة غير مؤكدة.

عند تشغيل الحد ، هناك العديد من القوانين أو نظريات الحد التي يجب الانتباه إليها. إذا كان n عددًا صحيحًا ، فإن k ثابت ، والدالة f والدالة g هي دالات لها قيمة حدية قريبة من الرقم c ، إذن:

وهناك طريقتان لحل الدالة الجبرية ذات الشكل اللانهائي ، وهما:

1. اقسم على أعلى رتبة

تستخدم هذه الطريقة في وظيفة الحد في النموذج .

يمكن عمل هذه الطريقة بقسمة البسط f (x) والمقام g (x) على المتغير x^ن أعلى قوة موجودة في الدالتين f (x) و g (x). وبعد ذلك ، يمكننا استبدالها بـ x → ∞.

كمثال:

2. ضرب الأشكال المركبة

يتم تطبيق هذه الطريقة على وظيفة الحد في النموذج . يمكن حل هذه الطريقة أو الطريقة بضرب الصيغة المركبة ، وهي:

ثم تابع القسمة بالطريقة الأولى ، وهي القسمة على أعلى قوة.

كمثال:

بعد ذلك ، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x ، وهي x¹:

حدود الدوال المثلثية

يمكن أيضًا استخدام الحدود في الدوال المثلثية. الحل هو نفسه دالة النهاية الجبرية. ومع ذلك ، لفهم التفسير التالي ، يجب أن تفهم أولاً مفهوم علم المثلثات.

يمكن استخدام حل حد هذه الدالة في علم المثلثات عن طريق إجراء بعض التغييرات على شكل الجيب وجيب التمام والظل.

هناك ثلاثة أشكال عامة في حدود الدوال المثلثية ، بما في ذلك:

1. استمارة

في هذه الصورة ، حد الدالة المثلثية f (x) هو نتيجة استبدال قيمة c في x من حساب المثلثات.

كمثال:

إذا كانت c = 0 ، فإن صيغة حدود حساب المثلثات تكون كما يلي:

2. استمارة

في هذا النموذج ، سيتم الحصول على الحد من نسبة 2 مختلفة من علم المثلثات.

إذا تم استبدال هذين الحسابين بالمثلثات مباشرة بقيمة c ، فسوف ينتج عنه f (c) = 0 و g (c) = 0.

لذلك ، تصبح قيمة الحد المثلثي عددًا غير محدد . الحل هو نفسه حل الدالة الجبرية النهائية ، أي التحليل.

أمثلة على هذا النموذج هي:

3. استمارة

في هذا النموذج ، يتم الحصول على الحد من المقارنة بين الدوال المثلثية والجبرية.

إذا تم استبداله مباشرة ، فسوف ينتج عنه رقم غير محدد. في هذا الشكل يتم العمل بمفهوم المشتقات. الصيغة الأساسية لهذا الحد هي:

بناءً على الصيغة الأساسية أعلاه ، إذا تم تطويرها بشكل أكبر ، فستصبح الصيغ التالية:

مثال على المشاكل والمناقشة

كيفية العمل على وظيفة غير محددة تحد من الفطريات

هناك أوقات يكون فيها استبدال x بـ a في lim f (x) x → a يجعل f (x) قيمة غير محددة ، أو f (a) ينتج الشكل 0/0 ، / ∞ أو 0.∞.

إذا كانت هذه هي الحالة ، فإن الحل يكون بالصيغة f (x). حاول تبسيطها بحيث يمكن تحديد القيمة النهائية.

حد النموذج 0/0

قد يظهر النموذج 0/0 في:

عندما نصادف شكلًا كهذا ، حاول تعديل الدالة حتى نجد جزءًا يمكننا شطبها.

إذا كانت في شكل معادلة من الدرجة الثانية ، فيمكننا تجربة التحليل أو عن طريق الارتباط ولا تنسَ أن هناك قاعدة²-ب² = (أ + ب) (أ-ب).

هنا سوف نعطي مثال:

/ ∞. شكل

شكل الحد / يحدث في دالة كثيرة الحدود على النحو التالي:

مثال على المشاكل:

حاول تحديد قيمة الحد أدناه:

إجابه:

فيما يلي ملخص سريع لمعادلة الحد الرياضي للنموذج /

• عندما م
• إذا كانت m = n ثم L = a / p
• إذا كانت m> n ثم L =

نموذج الحد (∞-∞)

غالبًا ما يظهر النموذج (∞-∞) أثناء الامتحان الوطني.

شكل المشكلة هناك عدة أنواع. لكن الحل ليس بعيدًا عن التبسيط. هنا سنقدم أمثلة على الأسئلة التي أخذناها من الامتحان الوطني 2013.

2013 أسئلة الامتحان الوطني.

تعيين الحد

إذا قمت بإدخال x -> 1 ، فسيكون النموذج (∞-∞). ولإزالة الصيغة-، علينا تبسيط الصيغة إلى ،

صيغة سريعة حل اللانهاية

يمكن استخدام الصيغة السريعة لحل أول حد لانهائي لتشكيل مسائل لا نهائية في صورة كسور.

لإيجاد نهاية اللانهاية في صورة كسر ، نحتاج فقط إلى التفكير في أعلى قوة لكل بسط ومقام.

هناك 3 احتمالات يمكن أن تحدث.

• أولًا ، أعلى قوة في البسط أقل من أعلى مرتبة في المقام.
• ثانيًا ، أعلى رتبة في البسط هي نفس أعلى رتبة للمقام.
• ثالثًا ، أعلى رتبة في البسط أعلى من أعلى رتبة للمقام.

يمكن رؤية الصيغة الثالثة لقيمة النهاية اللانهائية في شكل كسر في المعادلة أدناه.

مثال على المشاكل:

قيمة الحد من: هو …..

أ. – ∞

ب. – 5

ج. 0

د. 5

E. ∞

مناقشة:

أعلى قيمة مرتبة في البسط هي 3 وأعلى قيمة مرتبة في المقام هي 2 (م> ن). إذن ، القيمة النهائية هي.

الجواب: E.

وبالتالي مراجعة موجزة هذه المرة يمكننا أن ننقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.