الإحداثيات الديكارتية: المادة ، النظام ، مثال على المشكلات ، المناقشة

غالبًا ما يشار إلى الإحداثيات الديكارتية بإحداثيات مربعة. المصطلح من الكلمة الديكارتية المستخدمة لإحياء ذكرى عالم رياضيات وفيلسوف من فرنسا يدعى رينيه ديكارت.

كان خبيرا كان له دور كبير في الجمع بين الجبر والهندسة.

كانت نتائج اكتشاف ديكارت للإحداثيات الديكارتية شديدة التأثير في تطوير الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل ورسم الخرائط.

تم تطوير بداية الفكرة الأساسية لاستخدام هذا النظام في عام 1637 في كتابين من عمل ديكارت.

في خطاب ديكارت حول الطريقة ، قدم اقتراحًا جديدًا لإظهار حالة أو موضع نقطة كائن على سطح ما.

الطريقة أو الطريقة هي استخدام محورين متعامدين مع بعضهما البعض.

في عمله التالي ، La Géométrie ، يعمق أيضًا المفاهيم التي طورها.

بعد ذلك ، تم تقديمه إلى أنظمة إحداثيات أخرى مثل نظام الإحداثيات القطبية.

دالة التنسيق الديكارتية

في الرياضيات ، يتم استخدام نظام الإحداثيات الديكارتية لتحديد كل نقطة في مستوى باستخدام رقمين يشار إليهما عادةً باسم الإحداثي x وكذلك الإحداثي y للنقطة.

غالبًا ما يُشار إلى الإحداثي x باسم الإحداثي السيني ، بينما يُشار إلى الإحداثي y غالبًا باسم الإحداثي.

لتفسير الإحداثيات ، يتطلب الأمر خطين موجهين متعامدين مع بعضهما البعض [المحور السيني والمحور الصادي]. وكذلك طول الوحدة الذي يتم عمل علامات على المحورين.

انظر بعناية إلى الصورة أدناه:

من الصورة أعلاه ، يمكننا أن نرى أن هناك 4 نقاط تم تحديدها. وتشمل هذه: [-3،1] ، [2،3] ، [-1.5 ، -2.5] و [0،0]. النقطة [0،0] تسمى أيضًا الأصل.

من الصورة أعلاه يمكننا أيضًا أن نرى ما يلي:

نظرًا لأن المحورين متعامدين مع بعضهما البعض ، فسيتم تقسيم المستوى xy إلى أربعة أجزاء تسمى الأرباع. يمكن ملاحظة ذلك في الشكل أعلاه ، المميز بالنقاط [-3،1] ، النقاط [2،3] ، النقاط [-1.5 ، -2.5].

وفقًا للاتفاقية المعمول بها ، يتم ترتيب مناطق الربع الأربعة بدءًا من أعلى اليمين [الربع الأول] ، وتدور في عكس اتجاه عقارب الساعة.

في الربع الأول ، سيكون كلا الإحداثيين (س وص) موجبين.

في الربع الثاني ، سيكون الإحداثي x سالبًا والإحداثي y موجبًا.

في الربع الثالث ، سيكون كلا الإحداثيين سالبًا.

في الربع الرابع أيضًا ، يكون الإحداثي x موجبًا والإحداثي y سيكون سالبًا.

النقطة [2،3] تقع في الربع الأول ، والنقطة [-3،1] في الربع الثاني والنقطة [-1.5 ، -2.5] في الربع الثالث.

أو بشكل عام ، يتم فرز مناطق الربع الأربعة بدءًا من أعلى اليمين [الربع الأول] ، وتدور في عكس اتجاه عقارب الساعة.

في الربع الأول ، سيكون إحداثيا [x و y] موجبين.

في الربع الثاني ، سيكون الإحداثي x سالبًا والإحداثي y موجبًا.

في الربع الثالث ، سيكون كلا الإحداثيين سالبًا ، وفي الربع الرابع ستكون إحداثيات x موجبة و y سالبة [ننظر إلى الوراء في الصورة أعلاه].

يتم تعريف نظام الإحداثيات الديكارتية في بعدين بشكل عام باستخدام محورين متعامدين مع بعضهما البعض.

حيث يوجد المحورين في مستوى واحد ، وهو المستوى xy. سيتم تسمية المحور الأفقي بـ x ، بينما سيتم تسمية المحور الرأسي بـ y.

النقطة التي يلتقي فيها المحاوران ، الأصل ، ستتم تسميتها بشكل عام بـ 0.

يحتوي كل محور أيضًا على طول وحدة ، وسيتم تمييز كل طول بحيث يشكل نوعًا من الشبكة.

لوصف نقطة معينة في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، تكتب قيمة x [abscis] ، متبوعة بقيمة y [إحداثيات].

بهذه الطريقة ، سيكون التنسيق المستخدم دائمًا هو [x ، y] ولن يتم عكس الترتيب.

يمكن أيضًا استخدام نظام الإحداثيات الديكارتية في أبعاد أعلى.

على سبيل المثال: 3 [ثلاثة] أبعاد ، باستخدام ثلاثة محاور وهي المحور س والمحور ص والمحور ع.

إذا كان الخط في بعدين في المستوى xy ، ثم في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد ، فسيتم إضافة محور آخر والذي غالبًا ما يسمى z.

حيث يكون المحور z عموديًا على المحور x والمحور y [بمعنى آخر ، المحور السيني والمحور الصادي والمحور العمودي أو المتعامد مع بعضهما البعض].

الفوائد الديكارتية

باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية ، يمكن وصف الأشكال الهندسية مثل المنحنيات باستخدام المعادلات الجبرية.

في هذا العصر الحديث ، تم استخدام الإحداثيات الديكارتية على نطاق واسع.

فيما يلي بعض فوائد الإحداثيات الديكارتية ، بما في ذلك:

أولا:

في الحياة اليومية ، نجد غالبًا مخططات للأرض وصور خرائط.

أين هي وظيفة الخريطة نفسها لتسهيل العثور على موقع أو مكان أو منطقة.

وبالمثل عندما نريد إرسال رسالة إلى شخص ما. عند إرسال خطاب إلى شخص ما ، يجب أن نعرف عنوان الوجهة الكامل والصحيح.

يهدف هذا إلى تسهيل تسليم الرسالة نفسها.

لذلك ، إذا قمنا بتضمين العنوان بشكل صحيح وكامل ، فسيصل الحرف بشكل أسرع. تحتوي الخريطة أيضًا على خطوط الطول والعرض.

ثانية:

في الحياة اليومية ، فإن مستوى الإحداثيات الديكارتية ضروري للغاية.

واحد منهم في مجال الطيران.

يمكن للطيار أن يقود طائرته دون الاصطدام ببعضه البعض ويمكنه أيضًا معرفة ما إذا كانت الطائرة قد وصلت إلى وجهتها.

وذلك لأن الطائرة تم تجهيزها بأدوات متطورة مثل الرادار كأداة كشف ، وبوصلة كدليل ، وراديو كأداة اتصال.

لذلك ، يجب على الطيار فهم كيفية قراءة وتحديد موقع مكان ما في مستوى الإحداثيات الديكارتية.

ثالث:

في دروس العلوم الاجتماعية ، غالبًا ما نصادف خريطة مقاطعة أو حتى خريطة دولة.

موقع مدينة ، جبل ، بحيرة ، مطار ، يمكننا التفكير فيه كموقع. لتسهيل قراءة الخريطة ، تم تجهيز الخريطة بخطوط إرشادية أفقية ورأسية أو خطوط الطول والعرض.

أساس عمل الخط الذي هو أساس مستوى الإحداثيات.

تحديد نقطة على نظام إحداثيات ديكارتي

يشار إلى المستوى أعلاه على أنه مستوى الإحداثيات المكون من الخط العمودي Y (المحور Y) والخط الأفقي X (المحور X).

ستتقاطع النقطة بين الخط Y والخط X الذي يسمى مركز الإحداثيات (النقطة O).

تُعرف هذه الإحداثيات باسم مستوى الإحداثيات الديكارتية. كما هو موضح أعلاه ، يتم استخدام مستوى الإحداثيات الديكارتية لتحديد موقع النقطة المعبر عنها في أزواج من الأرقام.

ضع في اعتبارك النقاط A و B و C و D في المستوى. لتحديد موقعها ، ابدأ من النقطة O. ثم تحرك أفقيًا إلى اليمين (المحور السيني) ، ثم تحرك لأعلى (المحور ص).

يتم كتابة موضع النقطة على مستوى الإحداثيات الديكارتية في شكل زوج أرقام (x ، y) ، حيث:

• x يسمى الحد الأقصى ، و
• y يسمى الاحداثي.

في المستوى الإحداثي ، ثم:

• تقع النقطة A عند الإحداثيات (1،0) ، مكتوبة بالشكل A (1،0).
• تقع النقطة B عند الإحداثيات (2،4) ، مكتوبة كـ B (2،4).
• تقع النقطة C عند الإحداثيات (5،7) ، مكتوبة بالشكل C (5،7).
• والنقطة D عند الإحداثيات (6،4) مكتوبة بـ D (6،4).

في مستوى الإحداثيات الديكارتية ، يمكننا توسيعه ليكون كما في الصورة أدناه:

كمثال:

• إحداثيات النقطة E هي (2،2).
• يتم الحصول على إحداثيات النقطة F ، أي (-2.1) ، بالتحرك أفقيًا إلى اليسار بدءًا من النقطة O بقدر وحدتين ثم عموديًا لأعلى بمقدار وحدة واحدة.
• يتم الحصول على إحداثيات النقطة G ، وهي (-3 ، -3) بالتحرك أفقيًا إلى اليسار بدءًا من النقطة O بمقدار ثلاث وحدات ثم عموديًا لأسفل بمقدار ثلاث وحدات.

عينة من الأسئلة والمناقشة

المشكلة 1.

إحداثي النقطة أ (9 ، 21) هو ...

أ. -9
ب. 9
ج. -21
د. 21

إجابه:

بشكل عام ، كتابة نقطة = (أبسيس ، إحداثيات). في المشكلة أعلاه ، توضح النقطة أ (9 ، 21) ما إذا كان:

أبسيس = 9

ترتيب = 21

والجواب الصحيح هو د.

السؤال 2.

بالنظر إلى النقطتين P (3، 2) و Q (15، 13). الإحداثيات النسبية للنقطة Q إلى P هي ...

أ. (12, 11)
ب. (12, 9)
ج. (18, 11)
د. (18, 13)

إجابه:

يمكننا إيجاد الإحداثيات النسبية للنقطة Q للنقطة P بطرح:

أ. Abscissa Q ناقص abscissa P

ب. س إحداثيات ناقص إحداثيات P

وبالتالي ، فإن الإحداثيات النسبية لـ Q فيما يتعلق بـ P هي:

(15 – 3, 13 – 2) = (12, 11)

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

مشكلة 3.

النقاط أ (3 ، 2) ، ب (0 ، 2) ، ج (-5 ، 2) هي النقاط التي يتقاطع معها الخط ص. إذا كان الخط q عبارة عن خط موازٍ للخط p ، فسيكون السطر q ...

أ. بالتوازي مع المحور السيني
ب. بالتوازي مع المحور ص
ج. عمودي على المحور x
د. عمودي على المحور ص

إجابه:

لتسهيل الإجابة على الأسئلة أعلاه ، دعنا نرسم على مستوى ديكارت:

في الشكل أعلاه ، يمكن ملاحظة أن الخط p موازي لمحور X. نظرًا لأن الخط q موازي للخط p ، فإن الخط q يوازي أيضًا المحور x.

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

المشكلة 4.

من المعروف أن الخطين p و q خطان مستقيمان لا يتقاطعان على الرغم من امتدادهما إلى ما لا نهاية.

مواضع الخطين p و q هي ...

أ. تجمهر
ب. موازي
ج. تعبر
د. تتقاطع

إجابه:

الخطان اللذان لا يتقاطعان على الرغم من امتدادهما هما خطان متوازيان.

إذن ، الإجابة الصحيحة هي ب.

السؤال 5.

بناءً على الشكل أدناه ، يمكن القول:

(ط) AB يوازي EF.
(2) قبل الميلاد يتقاطع مع GC
(3) AD يتزامن مع BC.
(4) يتقاطع EF مع GF.

من البيان أعلاه ، الصحيح هو ...
أ. (ط) و (2)
ب. (2) و (3)
ج. (3) و (4)
د. (ط) و (4)

إجابه:

انظر إلى صورة الشعاع أعلاه:

أ. AB يوازي EF ، إذن (i) صحيح
ب. يتقاطع BC مع GC عند النقطة C ، ثم (ii) خطأ
ج. AD يوازي BC ، إذن (iii) خطأ
د. يتقاطع EF مع GF عند النقطة F ، ثم (iv) يكون صحيحًا

إذن ، الإجابة الصحيحة هي د.

السؤال 6.

كبير

أ. لا ارادي
ب. صريح
ج. المرفقين
د. تفتق

إجابه:

قياس الزاوية P 113 درجة ، ما يعني أن الزاوية P هي زاوية منفرجة.

الزاوية المنفرجة هي زاوية في حدود 90 درجة إلى 180 درجة.

إذن ، الإجابة الصحيحة هي ب.

السؤال 7.

قياس الزاوية على عقرب الساعة عندما يظهر 03.00 هو ...

أ. 180°
ب. 90°
ج. 60°
د. 30°

إجابه:

عند 03.00 ، سيشير العقرب القصير إلى الرقم 3 بينما يشير العقرب الطويل إلى الرقم 12 ، وبالتالي فإن الزاوية المكونة هي 90 درجة.

إذن ، الإجابة الصحيحة هي ب.

السؤال 8.

ننظر إلى الصورة أدناه!

أزواج من الزوايا المتقابلة ...

أ. ب. ج. د.

إجابه:

دعنا نناقش واحدًا تلو الآخر من الخيارات أعلاه:

أ. الخيار (أ) خاطئ ، لأنه يجب أن يكون كذلك ب. الخيار (ب) خاطئ ، لأنه يجب أن يكون كذلك ج. الخيار C صحيح ، أي د. الخيار (د) خاطئ ، لأنه يجب أن يكون كذلك

إذن ، الإجابة الصحيحة هي C.

المشكلة 9.

أزواج الزوايا الداخلية المتقابلة في الشكل أعلاه هي ...

أ. 2 و 8
ب. 4 و 6
ج. 3 و 8
د. 1 و 5

إجابه:

دعنا نناقش واحدًا تلو الآخر من الخيارات أعلاه:

أ. 2 و 8 هما زوجان من الزوايا الداخلية المتقابلة.
ب. 4 و 6 أزواج من الزوايا الخارجية المتقابلة.
ج. 3 و 8 أزواج من الزوايا الداخلية أحادية الجانب.
د. 1 و 5 أزواج من الزوايا المتقابلة.

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

السؤال 10.

تكملة الزاوية 48 درجة ...

أ. 42°
ب. 52°
ج. 68°
د. 138°

إجابه:

المتمم = 90-48 = 42

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

اقرأ أيضا: نمط الرقم

هذا استعراض موجز هذه المرة حول الإحداثيات الديكارتية التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه للإحداثيات الديكارتية كمواد دراسية.