الاستقراء الرياضي: المادة ، أمثلة على المشاكل ، البراهين

الاستقراء الرياضي هو طريقة إثبات استنتاجي تُستخدم لإثبات العبارات الرياضية المتعلقة بمجموعة أرقام مرتبة جيدًا.

هذه الأرقام هي على سبيل المثال أرقام طبيعية ومجموعات فرعية غير فارغة من الأعداد الطبيعية.

تحتاج إلى ملاحظة: أن الاستقراء الرياضي يستخدم فقط للتحقق أو إثبات صحة بيان أو صيغة. والاستقراء الرياضي ليس لاشتقاق الصيغ.

لا يمكن استخدام الاستقراء الرياضي لاشتقاق أو إيجاد الصيغ.

فيما يلي بعض الأمثلة على العبارات الرياضية التي يمكن إثبات صحتها عن طريق الاستقراء الرياضي:

الفوسفور (ن): 2 + 4 + 6 +... + 2 ن = ن (ن + 1) ، ن أعداد طبيعية
ف (ن): 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لعدد n من الأعداد الطبيعية.
ف (ن): 4 ن <2^ن، لكل عدد طبيعي ن 4

أسهل طريقة لمعرفة كيفية عمل مبدأ الاستقراء الرياضي هي من خلال ملاحظة تأثير الدومينو.

يمكننا أن نبدأ بطرح السؤال "متى ستسقط قطع الدومينو".

هناك شرطان يجب الوفاء بهما لسقوط كل قطع الدومينو أعلاه.

أولا: الدومينو 1 يجب أن يسقط.

ثانيًا: صحيح أنه في كل قطعة دومينو تسقط ستسقط قطعة دومينو واحدة بالضبط بعد ذلك.

هذا يعني أنه إذا سقط الدومينو 1 ، يجب أن يسقط الدومينو 2 ، إذا سقط الدومينو 2 ، يجب أن يسقط دومينو 3 وهكذا.

بشكل عام ، يمكننا أن نقول متى يقع domino k ثم يسقط دومينو (k + 1) أيضًا وهذا المعنى سينطبق على جميع قطع الدومينو.

إذا تم استيفاء الشرطين أعلاه ، فمن المؤكد أن جميع قطع الدومينو ستسقط.

مبدأ الاستقراء الرياضي

على سبيل المثال ، P (n) عبارة تعتمد على n. يكون P (n) صحيحًا لكل عدد n من الأعداد الطبيعية إذا كان يفي بالشرطين التاليين:

1. P (1) صحيحة ، مما يعني أن n = 1 ثم P (n) صحيحة.
2. لكل عدد طبيعي k ، إذا كانت P (k) صحيحة ، فإن P (k + 1) تكون صحيحة أيضًا.

1. P (m) صحيحة ، مما يعني أن n = m ، ثم P (n) صحيحة
2. لكل عدد طبيعي k m ، إذا كانت P (k) صحيحة ، فإن P (k + 1) صحيحة أيضًا.

لتوضيح أن P (1) صحيحة ، يكفي استبدال n = 1 في P (n).

إذا تم تقديم P (n) في شكل معادلة ، فهذا يعني أن الجانب الأيسر يجب أن يساوي الجانب الأيمن عند n = 1 ، ثم نستنتج أن P (1) صحيحة.

يمكننا تطبيق نفس الطريقة لإظهار أن P (m) صحيحة.

بالعودة مرة أخرى إلى حالة الدومينو أعلاه ، لكي يسقط الدومينو (k + 1) ، فإن أول شيء هو أن المجال k يجب أن يسقط.

ثم يليه المعنى الضمني "إذا سقط دومينو k فإن سقوط الدومينو (ك + 1)" يمكن أن يحدث.

لذلك ، لإظهار المعنى الضمني "إذا كانت P (k) صحيحة فإن P (k + 1) صحيحة" ، فيجب أن تكون خطوتنا الأولى هي افتراض أن P (k) صحيحة.

ثم بالنظر إلى هذه الافتراضات نظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا.

تسمى عملية افتراض صحة P (k) فرضية الاستقراء.

لإظهار أن P (k + 1) صحيح ، فيمكننا البدء من فرضية. أي من افتراض أن P (k) صحيح أو من استنتاج، أي من P (k + 1) نفسها.

مراحل إثبات الاستقراء الرياضي

من الشرح أعلاه ، يمكن إجراء خطوات إثبات الاستقراء الرياضي بالترتيب التالي:

1. خطوة أولية: يظهر P (1) هو الصحيح.
2. خطوة الاستقراء: لنفترض أن P (k) صحيحة لأي أعداد k طبيعية ، ثم أظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا بناءً على هذه الافتراضات.
3. استنتاج: P (n) صحيح لكل عدد طبيعي n.

سلسلة إثبات

قبل الدخول في إثبات السلسلة ، هناك العديد من الأشياء التي يجب مراعاتها بعناية فيما يتعلق بالسلسلة. من بين أمور أخرى:

إذا

ف (ن): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ن = S._ن، ومن بعد
ص (1): ش₁ = S.₁
ف (ك): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ك = S._ك
ف (ك + 1): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ك + ش_{ك + 1} = S._{ك + 1}

على سبيل المثال 1:

برهن على 2 + 4 + 6 +... + 2n = n (n + 1) ، لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

إجابه:
ف (ن): 2 + 4 + 6 +... + 2 ن = ن (ن + 1)

سنثبت أن P (n) صحيحة لكل n N

خطوة أولية:

إظهار P (1) صحيح
2 = 1(1 + 1)

حتى نحصل على ، P (1) صحيحة

خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
2 + 4 + 6 +... + 2 ك = ك (ك + 1) ، ك ن

سيظهر أن P (k + 1) صحيح أيضًا ، أي:
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 1 + 1)

من الافتراضات المذكورة أعلاه ثم:
2 + 4 + 6 +... + 2k = ك (ك + 1)

أضف كلا الجانبين مع u_{ك + 1} :
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = ك (ك + 1) + 2 (ك + 1)
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 2)
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 1 + 1)

إذن ، P (k + 1) صحيحة

استنادًا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) صحيحة لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

على سبيل المثال 2:

اثبت ذلك 1 + 3 + 5 +... + (2 ن 1) = ن² هذا صحيح ، لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

إجابه:
ف (ن): 1 + 3 + 5 +... + (2 ن 1) = ن²

ثم سيظهر أن P (n) صحيحة لكل n N∈

خطوة أولية:
سيظهر P (1) صحيحًا
1 = 1²

إذن ، P (1) صحيحة

خطوة الاستقراء:
افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) = ك²، ك ن

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) + (2 (ك + 1) 1) = (ك + 1)²

من الافتراضات المذكورة أعلاه ثم:
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) = ك²

أضف كلا الجانبين مع u_{ك + 1} :
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) + (2 (ك + 1) 1) = ك² + (2 (ك + 1) 1)
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) + (2 (ك + 1) 1) = ك² + 2 ك + 1
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) + (2 (ك + 1) 1) = (ك + 1)²

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

استنادًا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) صحيحة لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

إثبات التقسيم

العبارة "أ قابلة للقسمة على ب" وهي مرادفة لـ:

• من مضاعفات ب
• ب عامل
• ب يقسم أ

إذا كانت p قابلة للقسمة على a وكانت q قابلة للقسمة على a ، فسيكون (p + q) أيضًا قابلاً للقسمة على a.

على سبيل المثال ، 4 قابلة للقسمة على 2 و 6 قابلة للقسمة على 2 ، لذلك (4 + 6) قابلة للقسمة أيضًا على 2

المثال 3:

إثبات 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لكل n أعداد طبيعية.

إجابه:

ف (ن): 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5

سنثبت أن P (n) صحيحة لكل n N.

خطوة أولية:

سيظهر P (1) صحيحًا
6¹ + 4 = 10 يقبل القسمة على 5

إذن ، P (1) صحيحة

خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
6^ك + 4 يقبل القسمة على 5، k N

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
6^{ك + 1} + 4 يقبل القسمة على 5.

6^{ك + 1} + 4 = 6(6^ك)+ 4
6^{ك + 1} + 4 = 5(6^ك) + 6^ك + 4

السبب 5 (6^ك) يقبل القسمة على 5 و 6^ك + 4 يقبل القسمة على 5 ، لذا فإن 5 (6^ك) + 6^ك + 4 سيكون أيضًا قابلاً للقسمة على 5.

إذن ، P (k + 1) صحيحة.

بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، من الواضح أن 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لكل n أعداد طبيعية.

عدد صحيح أ ستكون قابلة للقسمة على أعداد صحيحة ب عندما يتم العثور على عدد صحيح م لذلك سيحدث أ = بي ام.

على سبيل المثال ، "10 قابلة للقسمة على 5" تكون صحيحة نظرًا لوجود أعداد صحيحة م = 2 لذا 10 = 5.2.

لذلك ، فإن العبارة "10 قابلة للقسمة على 5" يمكننا كتابتها كـ "10 = 5m ، للأعداد الصحيحة m"

بناءً على المفهوم أعلاه ، يمكن أيضًا حل إثبات القابلية للقسمة باستخدام الطريقة التالية.

المثال 4:

يثبت³ + 2n ستكون قابلة للقسمة على 3 ، لكل n أعداد طبيعية

إجابه:

ف (ن): ن³ + 2 ن = 3 م ، حيث م ضض

سنثبت أن P (n) صحيحة لكل n نن

خطوة أولية:

سيظهر أن P (1) صحيحة
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

إذن ، P (1) صحيحة

خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
ك³ + 2 ك = 3 م ، ك نن

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 ص ، ص ضض

(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = (ك³ + 3 ك² + 3 ك + 1) + (2 ك + 2)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = (ك³ + 2 ك) + (3 ك² + 3 ك + 3)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 م + 3 (ك² + ك + 1)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 (م + ك² + ك + 1)

بما أن م عدد صحيح و ك عدد طبيعي ، إذن (م + ك² + k + 1) عدد صحيح.

على سبيل المثال ص = (م + ك² + k + 1) ، بحيث:
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 ص ، حيث ص ضض

إذن ، P (k + 1) صحيحة

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي أعلاه ، ثبت أن n³ + 2n ستكون قابلة للقسمة على 3 ، لكل n أعداد طبيعية.

إثبات عدم المساواة

فيما يلي بعض خصائص عدم المساواة التي يتم استخدامها غالبًا ، بما في ذلك:

1. خصائص متعدية
أ> ب> ج أ> ج أو
أ

2. a 0 ac a> b و c> 0 ac> bc

3. أ أ> ب أ + ج> ب + ج

قبل أن ندخل في أمثلة الأسئلة ، من الأفضل أن نتدرب أولاً باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه لإظهار المعنى الضمني "إذا كانت P (k) صحيحة ، فإن P (k + 1) صحيحة أيضًا".

مثال 1:

ف (ك): 4k <2^ك
ف (ك + 1): 4 (ك + 1) <2^{ك + 1}

إذا افترضنا أن P (k) صحيحة لـ k 5 ، فعليك أن توضح أن P (k + 1) صحيحة أيضًا!

تذكر أن هدفنا هو العرض ، لذلك:
4 (ك + 1) <2^{ك + 1} = 2(2^ك) = 2^ك + 2^ك (استهداف)

يمكننا أن نبدأ من الجانب الأيسر من المتباينة أعلاه على النحو التالي:
4 (ك + 1) = 4 كيلو + 4
4 (ك + 1) <2^ك + 4 (لأن 4k <2^ك)
4 (ك + 1) <2^ك + 2^ك (لأن 4 <4k <2^ك)
4 (ك + 1) = 2 (2^ك)
4 (ك + 1) = 2^{ك + 1}

بناءً على الخصائص متعدية ، يمكننا أن نستنتج أن 4 (ك + 1) <2^{ك + 1}

لماذا يمكن أن يتحول 4k إلى 2^ك ?

لأنه وفقًا للخاصية 3 ، يُسمح لنا بإضافة طرفي متباينة بنفس العدد.

لأنه لن يغير القيمة الحقيقية لعدم المساواة. تسبب 4k <2^ك صحيح ، والذي ينتج عنه 4k + 4 <2^ك +4 صحيح أيضًا.

كيف نعرف، هذا 4 يجب أن تتغير إلى 2^ك?

انتبه للأهداف.

النتيجة المؤقتة التي نحصل عليها هي 2^ك + 4 بينما هدفنا هو 2^ك + 2^ك.

بالنسبة إلى k 5 ، ثم 4 <4k و 4 k <2^ك أي أنه صحيح ، لذا 4 <2^ك هو أيضًا صحيح (خاصية متعدية). ينتج عن هذا 2^ك + 4 < 2^ك + 2^ك صحيح (خاصية 3).

المثال 2:

إثبات ذلك لكل عدد طبيعي ن 4 وتطبيقه
3n <2^ن

إجابه:

ف (ن): 3 ن <2^ن

سنثبت أن P (n) تحمل قيمة n 4، n نن

خطوة أولية:

سيظهر أن P (4) صحيح
3.4 = 12 < 2⁴ = 16

إذن ، P (4) صحيحة

خطوة الاستقراء

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
3 ك <2^ك، ك 4

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
3 (ك + 1) <2^{ك + 1}

3 (ك + 1) = 3 ك + 3
3 (ك + 1) <2^ك + 3 (لأن 3 كيلو <2^ك)
3 (ك + 1) <2^ك + 2^ك (لأن 3 <3 كيلو <2^ك)
3 (ك + 1) = 2 (2^ك)
3 (ك + 1) = 2^{ك + 1}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا.

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n 4.

المثال 3:

اثبت ذلك لكل عدد طبيعي ن 2 وطبق 3^ن > 1 + 2n

إجابه:

ف (اسم): 3^ن > 1 + 2n

سنثبت أن P (n) تحمل قيمة n 2، n نن

خطوة أولية:

سوف تظهر أن P (2) صحيحة وهي:
3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

إذن ، P (1) صحيحة

خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
3^ك > 1 + 2 ك، ك 2

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي
3^{ك + 1} > 1 + 2 (ك + 1)

3^{ك + 1} = 3(3^ك)
3^{ك + 1} > 3 (1 + 2 كيلو) (لأن 3^ك > 1 + 2 ك)
3^{ك + 1} = 3 + 6 كيلو
3^{ك + 1} > 3 + 2 كيلو (لأن 6 كيلو> 2 كيلو)
3^{ك + 1} = 1 + 2 ك + 2
3^{ك + 1} = 1 + 2 (ك + 1)

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n 2.

المثال 4:

اثبت أن لكل عدد طبيعي ن 5 ، 2 ن 3 <2^{ن -2}

إجابه:

ف (ن): 2 ن 3 <2^{ن -2}

سنثبت أن P (n) تنطبق على n 5، n نن

خطوة أولية:

سيظهر أن P (5) صحيحة
2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

إذن ، P (1) صحيحة

خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
2 ك 3 <2^{ك -2}، ك 5

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
2 (ك + 1) 3 <2^{ك + 1-2}

2 (ل + 1) 3 = 2 ك + 2 3
2 (ل + 1) 3 = 2 ك 3 + 2
2 (ك + 1) 3 <2^{ك -2} + 2 (سبب 2k 3 <2^{ك -2})
2 (ك + 1) 3 <2^{ك -2} + 2^{ك -2} (السبب 2 <2k 3 <2^{ك -2})
2 (ل + 1) 3 = 2 (2^{ك -2})
2 (ل + 1) 3 = 2^{ك + 1-2}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n 5.

المثال 5:

اثبت لكل عدد طبيعي ن 4 وطبق (ن + 1)! > 3^ن

إجابه:

ف (ن): (ن + 1)! > 3^ن

سنثبت أن P (n) تحمل قيمة n 4، n نن

خطوة أولية:

سيظهر P (4) صحيحًا
(4 + 1)! > 3⁴
الجانب الأيسر: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
الجانب الأيمن: 3⁴ = 81

إذن ، P (1) صحيحة
خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:

(ك + 1)! > 3^ك، ك 4

سنبين أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي
(ك + 1 + 1)! > 3^{ك + 1}

(ك + 1 + 1)! = (ك + 2)!
(ك + 1 + 1)! = (ك + 2) (ك + 1)!
(ك + 1 + 1)! > (ك + 2) (3^ك) (سبب (ك + 1)! > 3^ك)
(ك + 1 + 1)! > 3(3^ك) (سبب ك + 2> 3)
(ك + 1 + 1)! = 3^{ك + 1}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا.

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n 4.

وبالتالي مراجعة موجزة هذه المرة يمكننا أن ننقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه كمواد دراستك.