المجموعات الرياضية: الأنواع ، العمليات ، مخططات فين ، SPLDV ، المشكلات

المجموعة الرياضية هي مجموعة من الأشياء أو الأشياء التي يمكن تفسيرها بوضوح ، حتى نتمكن من معرفة العناصر التي تم تضمينها في المجموعة والتي لم يتم تضمينها في المجموعة بدقة.

عادةً ما يتم الإشارة إلى المجموعة الرياضية باستخدام الأحرف الكبيرة مثل: A ، B ، C ، D ، E ،... .. Z ، الكائنات والكائنات التي يتم تضمينها في المجموعة تسمى أعضاء المجموعة. بالإضافة إلى عناصر المجموعة مكتوبة باستخدام زوج من الأقواس المتعرجة {…… ..}

أنواع المجموعات الرياضية

1. المجموعة الرياضية العالمية

مجموعة الأكوان أو تسمى أيضًا عالم المحادثة هي مجموعة تحتوي على جميع أعضاء وكائنات المجموعة التي تتم مناقشتها.

يُشار إلى مجموعة الأكوان (عالم الكلام) عمومًا باستخدام الحرف S أو U.

كمثال:

إذا تحدثنا عن 1 ، -2 ،-،… فإن الكون الذي نتحدث عنه هو رقم حقيقي.

لذا فإن المجموعة العالمية المعنية هي R.

هل هو R فقط؟

بالطبع لا. الأمر متروك لنا للحد من المحادثة.

في المثال أعلاه يمكننا القول أن الكون هو C (مجموعة الأعداد المركبة). لكن لا يمكننا أن نأخذ Z (مجموعة الأعداد الصحيحة) كعالم الكلام.

2. مجموعة الرياضيات الفارغة

المجموعة الفارغة هي مجموعة لا تحتوي على أعضاء. ويشار إليها باستخدام {} أو.

مجموعة الصفر هي مجموعة بها أعضاء l فقط ، أي صفر (0).

3. قسم المجموعات الرياضية

المجموعة A هي مجموعة فرعية من B ، إذا كان كل عضو من A هو أيضًا عضوًا في B ويتم الإشارة إليه بواسطة A B أو B A.

إذا كانت هناك مجموعتان A و B حيث يكون كل عضو من A عضوًا في B ، فيتم ذكر ذلك A هي مجموعة فرعية (مجموعة فرعية) من B أو يشار إليها باسم B تحتوي على A ويُشار إليها بالرمز A B.

وهكذا ، أ ب إذا وفقط إذا أ 𝑥 ب

إذا كان هناك عضو في A ليس عضوًا في B ، فإن A ليس مجموعة فرعية من B. ويرمز لها باستخدام الرمز أ ب.

4. مجموعة رياضية متساوية (متساوية)

إذا كان كل عضو في المجموعة A هو أيضًا جزء من أعضاء المجموعة B ، والعكس صحيح ، يتم الإشارة إليه بواسطة A = B

مصطلحات:

يجب أن تكون مجموعتا الأعضاء متطابقتين.

كمثال:

A = {c، d، e} B = {c، d، e} ثم A = B

معلومة:

تحتوي المجموعة المتساوية أو المجموعة المتساوية على مجموعتين أعضاءهما متماثلان. على سبيل المثال ، إذا كان أعضاء المجموعة أ {ج ، د ، هـ} ، فإن المجموعة ب سيكون لها أيضًا أعضاء ، أي {ج ، د ، هـ}.

5. مجموعة رياضية مجانية

المجموعة السائبة هي مجموعة لا تتشابه فيها أي من العناصر.

كمثال:

C = {1، 3، 5، 7} و D = {2، 4، 6} لذا فإن المجموعة C وكذلك المجموعة D مستقلتان عن بعضهما البعض.

ملحوظة:

يقال إن مجموعتين غير فارغتين متنافيتان إذا لم يكن لديهما عنصر واحد مشترك

6. المجموعة الرياضية التكميلية (مجموعة متممة)

يمكن التعبير عن المجموعة التكميلية باستخدام الترميز أ^ج .

إذا تم تشبيه المجموعة المكملة لتكون: S = {1،2،3،4،5،6،7} و A = {3،4،5} فإن A ⊂يو.

المجموعة {1،2،6،7} هي أيضًا مكمل ، لذلك تصبح أ^ج = {1,2,6,7}.

باستخدام تدوين Set-builder ، تتم كتابته على النحو التالي:

أ^ج = {x│x U، x A}

7. المجموعة الرياضية المتكافئة (مجموعة متساوية)

مجموعة التكافؤ هي مجموعة يكون لكل عنصر فيها نفس عدد العناصر مثل أي مجموعة أخرى.

مصطلحات:

يتم التعبير عن الأعداد الأصلية باستخدام الرمز n (A) A≈B ، وتسمى بالمساواة أو المكافئات ، إذا كانت المجموعة A معادلة للمجموعة B ،

كمثال:

أ = {ث ، س ، ص ، ض} → ن (أ) = 4

B = {r، s، t، u} → n (B) = 4

إذن ، n (A) = n (B) → A≈B

معلومة:

تحتوي المجموعة المكافئة على الرقم الأساسي للمجموعة إذا كانت المجموعة A بها 4 أحرف بحيث تحتوي المجموعة B أيضًا على 4.

كيفية التصريح بالمجموعات

يمكن التعبير عن المجموعات بثلاث طرق ، بما في ذلك:

1. مع الكلمات

إنها طريقة للإعلان عن مجموعة من خلال ذكر جميع شروط وخصائص عضوية المجموعة.

كمثال:

A هي مجموعة الأعداد الطبيعية بين 5 و 12 ، لذلك نكتبها على أنها A = {أعداد طبيعية بين 5 و 12}

2. مع تعيين تدوين التشكيل

هي طريقة للتعبير عن مجموعة بذكر جميع شروط أو خصائص العضوية في المجموعة. لكن أعضاء المجموعة مذكورون في المتغيرات المتغيرة.

كمثال:

A هي مجموعة الأعداد الطبيعية بين 5 و 12 ، لذلك نكتبها على النحو التالي: {x: 5

3. بتسجيل أعضائها

هذه هي طريقة الإعلان عن مجموعة عن طريق كتابة أعضاء المجموعة بأقواس متعرجة وفصلهم باستخدام فاصلة.

كمثال:

A هي مجموعة الأعداد الطبيعية بين 5 و 12 ، فنكتبها على النحو التالي: A = {6،7،8،9،10،11}

تعيين العملية

1. تعيين شريحة

تقاطع مجموعتين A و B عبارة عن مجموعة يكون فيها كل عضو في المجموعة A وأيضًا في المجموعة B.

بمعنى آخر ، المجموعة التي يوجد أعضاؤها في كلتا المجموعتين.

كمثال:

أ = {أ ، ب ، ج ، د ، هـ} و ب = {ب ، ج ، و ، ز ، ح}

في المجموعتين أعلاه ، هناك عضوان متماثلان ، وهما b و c. لذلك ، يمكن القول أن تقاطع المجموعتين A و B هو b و c أو مكتوب على النحو التالي:

أ ب = {ب ، ج}

تتم قراءة أ ب: المجموعة أ تتقاطع المجموعة ب. باستخدام مخطط Venn ، يمكن أيضًا التعبير عن A B كما في الصورة أدناه:

2. مجموعة الدمج

يتم كتابة B مجتمعة على النحو التالي:

أ ب = {س | x أ أو س ب}

كمثال:

أ = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}
ب = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11}
أ ب = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 11}

عند التعبير عنها في شكل مخطط Venn ثم:

3. فرق

A الفرق في B مكتوب على النحو التالي: A-B = {x | x أ أو س ب}

كمثال:

أ = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}
ب = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11}
أ-ب = {1 ، 4}

عند التعبير عنها في شكل مخطط Venn ثم:

4. مجموعة تكملة

تكملة المجموعة هي العناصر المختلفة الموجودة في المجموعة العالمية (عالم الكلام) باستثناء أعضاء المجموعة.

على سبيل المثال ، A هي مجموعة موجودة في عالم الخطاب U ، ثم يتم الإشارة إلى تكملة المجموعة A بواسطة:

تتم كتابة تكملة A بالشكل A1 أو Ac = {x | x S و x A}

كمثال:

أ = {1 ، 2 ،... ، 5}
S = {عدد أصلي أقل من 10}
أس = {6 ، 7 ، 8 ، 9}

عند التعبير عنها في شكل مخطط Venn ثم:

مثال تكميلي:

• على سبيل المثال U = {1، 2، 3،…، 9}،
• إذا كان A = {1 ، 3 ، 7 ، 9} ، إذن = {2 ، 4 ، 5 ، 6 ، 8}
• إذا كان A = {x U | س يقبل القسمة على اثنين} ، ثم أ = {1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9}

5. فرق من جانب واحد (اختلاف متماثل)

يتم الإشارة إلى الاختلاف غير المتكافئ بين مجموعتين باستخدام علامة أو رمز "simbol".

كمثال:

A و B مجموعتان ، ثم يُشار إلى الفرق غير المتكافئ بين A و B على النحو التالي:

أ ب = (أ ب) - (أ ب)
= (أ - ب) (ب - أ)

وعندما يتم التعبير عنها في شكل مخطط Venn ، فسيكون:

مثال على التفاوت:

إذا كان أ = {2 ، 3 ، 5 ، 7} وب = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5} ، إذن أ ب = {1 ، 4 ، 7}

يفي الفرق المتساوي الأضلاع بالخصائص التالية:

• أ ب = ب أ (قانون تبادلي)
• (أ ب) ج = أ (ب ج) (قانون الجمعيات)

مثال على مشاكل مجموعة العمليات

إذا كان معروفا:

أ = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}
ب = {2 ، 3 ، 6 ، 7 ، 8}
ج = {4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8}

ثم حدد:

أ. أ ب
ج. ب ج
ب. أ ج
د. أ ب ج

إجابه:

أ. أ ب = {2، 3}
ج. ب ج = {6 ، 7 ، 8}
ب. أ ج = {4، 5}
د. أ ب ج = {}

مخطط فين

مخطط فين هو مجموعة من مجموعة واحدة باستخدام دائرة وجميع المجموعات أو مجموعات الكون التي تم تصويرها باستخدام صورة مستطيلة.

أنواع المجموعات

1. مجموعة الأعداد الطبيعية: أ = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ...}
2. مجموعة الأعداد الصحيحة: C = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،…. }
3. مجموعة الأعداد الأولية: P = {2، 3، 5، 7، 11،…. }
4. مجموعة الأرقام الزوجية: G = {0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ،…. }
5. مجموعة الأرقام الفردية: G = {1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ،…. }
6. مجموعة الأرقام المركبة (مرتبة): T = {4، 6، 8، 9، 10، 12،…. }
7. مجموعة لانهائية: أ = {1 ، 3 ، 5 ، 7 ،... .. } ، (ن) أ = (عدد أعضاء المجموعة أ لانهائي)
8. مجموعة محدودة: ب = {1 ، 3 ، 5 ، 7} ، (ن) أ = 4 (عدد أعضاء المجموعة ب هو 4)
9. مجموعة فارغة: K = {مجموعة الأعداد الأولية بين 7 و 9} ، K = {} (عدد أعضاء المجموعة K أي لا شيء أو فارغ)
10. مجموعة القسم: أ = {2 ، 3 ، 5} ، ب = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}
    جميع أعضاء المجموعة أ هم أعضاء في المجموعة ب. لذلك يمكن القول أن ؛ جزء من B ، مكتوب A c B أو B يتضمن A مكتوب B A
11. مجموعة الكون
    إذا كان A = {2، 4، 6، 8، 10} ، إذن بعض الأكوان المحتملة لـ A هي ؛
    S = {عدد طبيعي}
    S = {عدد صحيح}
    S = {مضاعف 2}

مجموعة من الحلول لنظامين معادلات خطية متغيرة (SPLDV)

للعثور على مجموعة حلول نظام المعادلات الخطية بمتغيرين ، يمكننا استخدام أربع طرق ، بما في ذلك:

1. طريقة الرسم البياني
2. طريقة الاستبدال
3. طريقة الاستبعاد
4. الطريقة المختلطة (الاستبدال والحذف).

إذا كانت هناك معادلتان خطيتان لمتغيرين في الشكل ax + by = c و px + qy = r ، حيث المعادلة واحد والآخر لا ينفصلان ، ثم يشار إلى المعادلات كنظام خطي متغيرين من المعادلات.

الشكل العام لنظام ذو متغيرين من المعادلات الخطية هو:

الفأس + ب = ج
مقصف + qy = ص

في نظام المعادلات الخطية لمتغيرين (SPLDV) يُشار إلى a و b و p و q كمعامِلات ، و x و y هما متغيرات SPLDV ، بينما يُطلق على c و r ثوابت.

لمزيد من المعلومات حول SPLDV ، يرجى زيارة نظامان معادلة خطية متغيرة (SPLDV).

طريقة الرسم

عند استخدام الطريقة الرسومية ، من الضروري رسم كل معادلة خطية للمتغيرين في الإحداثيات الديكارتية.

مجموعة الحلول هي نقطة تقاطع الخطين المرسومين.

إذا كانت الخطوط غير متقاطعة أو متوازية. لذا فإن مجموعة الحلول هي المجموعة الفارغة.

ومع ذلك ، إذا تزامنت الأسطر ، فإن عدد مجموعات الحلول لا نهائي.

طريقة الاستبدال

فيما يلي خطوات استخدام طريقة الاستبدال في إيجاد مجموعة الحلول من SPLDV ، بما في ذلك ما يلي:

1. غيّر إحدى المعادلات بالصيغة x =... أو y = ...
2. أدخل (استبدل) قيمة x أو y التي تم الحصول عليها في المعادلة الثانية
3. ثم يتم استبدال قيمة x أو y التي تم الحصول عليها في إحدى المعادلات للحصول على قيمة متغير آخر غير معروف (x أو y).

طريقة الاستبعاد

حل SPLDV باستخدام طريقة الحذف هو في الأساس التخلص (القضاء) على أحد متغيرات نظام المعادلات التي سنجد مجموعة الحلول لها.

أسهل طريقة هي جمع أو طرح نظامي المعادلات.

لتحديد المتغير y ، علينا أولًا حذف المتغير x.

بالعكس ، لإيجاد المتغير x ، علينا حذف المتغير y أولاً.

ملحوظة:
للتخلص من المتغير x أو y ، معاملات كل متغير في نظام المعادلات يجب أن تكون هي نفسها.

إذا لم يكن أحد المتغيرات متماثلًا ، فيجب معادلته أولاً. الحيلة ببساطة هي ضرب المتغير بعدد صحيح معين بحيث تكون المعاملات هي نفسها.

الطريقة المختلطة (الحذف والاستبدال)

عند صياغة المعادلات الخطية ذات المتغيرين ، غالبًا ما نواجه صعوبات عند استخدام طريقة الحذف لتحديد مجموعة الحلول.

لذلك ، يمكننا استخدام طرق مختلطة. الطريقة المختلطة هي طريقة لتحديد أحد المتغيرات x أو y باستخدام طريقة الحذف.

النتائج التي نحصل عليها من x أو y ثم نعوض في إحدى المعادلات الخطية للمتغيرين.

عينة من الأسئلة والمناقشة

المشكلة 1.

من بين 28 طالبًا شاركوا في الأنشطة اللامنهجية في المدرسة وكل من هؤلاء الطلاب ، كان هناك 15 طالبًا شاركوا في الكشافة. ثم شارك 12 طالبًا في كرة الصالات. وآخر 7 طلاب تابعوا كليهما.

ثم احسب كم عدد الطلاب الذين لا يأخذون الكشافة اللامنهجية أو كرة الصالات اللامنهجية؟

إجابه:

لنفترض أن (x) يمثل عدد الطلاب الذين لا يمارسون الأنشطة اللامنهجية.

العديد من الأطفال الذين يمارسون الأنشطة الكشفية اللامنهجية فقط هم 15-7 = 8 طلاب.

عدد الأطفال الذين يشاركون فقط في كرة الصالات اللامنهجية هو 12-7 = 5 طلاب.

ثم يمكننا وصف المجموعة باستخدام شكل مخطط Venn كما هو موضح أدناه:

العديد من الأطفال الذين لا يشاركون في الأنشطة اللامنهجية هم:

8 + 7 + 5 + س = 28
20 + س = 28
س = 28-20
س = 8 طلاب

وبالتالي ، فإن عدد الطلاب الذين لا يشاركون في الكشافة اللامنهجية أو اللامنهجية لكرة الصالات هو قدر

= 8 طلاب.

السؤال 2.

معروف:

أ = {س | 1

ب = {ص | 1 ص 10 ، ص عدد فردي}.

إذن ما هي نتيجة ب؟

إجابه:

أ = {2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 16 ، 17 ، 19}
ب = {1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9}

الرمز الذي يعني الشريحة هو طريقة واحدة لنفس مجموعة الأعضاء من المجموعة ذات الصلة.

أ ب = {3 ، 5 ، 7}

إذن ، نتيجة ب هي =

{ 3, 5, 7 }.

مشكلة 3.

من بين 40 طفلاً ، من المعروف أن هناك 18 طفلاً يحبون تناول الموز ، ثم هناك أيضًا 25 طفلاً يحبون تناول العصيدة ، وهناك أيضًا 9 أطفال يحبون كليهما.

ثم احسب عدد الأطفال الذين لا يحبون الموز والعصيدة؟

إجابه:

n {A B} = (n {A} + n {B}) - (n {S} - n {X})
9 = (18 + 25) - (40 - ن {X})
9 = 43-40 + ن {X}
9 = 3 + ن {X}
9 - 3 = ن {X}
ن {X} = 6 أطفال

لذلك ، هناك العديد من الأطفال الذين لا يحبون الموز والعصيدة بنفس القدر

= 6 أطفال

وبالتالي استعراض موجز للمجموعة الرياضية التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه للمجموعة الرياضية كمواد دراستك.