صيغة الاحتمالية: القيمة وإضافة الاحتمالية والمشكلة والمناقشة

بدون أن ندرك ذلك ، غالبًا ما نواجه مفهوم معادلات الاحتمال الرياضي في الحياة اليومية. على سبيل المثال العملات المعدنية أو العملات المعدنية.

بالتأكيد رأينا هذه النقود على شكل معدن أو عملات معدنية. و في العملة تتكون من وجهين.

نفترض أن الجانب الأول عبارة عن رقم ، بينما الجانب الثاني عبارة عن صورة.

إذا تم رمي العملة في الهواء مرة واحدة. ما هو احتمال الحصول على رقم؟

في غضون ذلك ، إذا رمينا 2 ضرب 3 مرات حتى 10 مرات ، فما هو احتمال ظهور رقم؟

نحن سوف، يسمى هذا المفهوم بالفرصة. لمعرفة الاحتمال ، دعنا ندرس معًا مادة صيغة الاحتمال. يرجى قراءة هذه المقالة بعناية حتى تنتهي.

تعريف الفرصة

يمكن تعريف الفرصة على أنها طريقة تستخدم لتحديد احتمالية وقوع حدث ما.

في كل مشكلة هناك عدم يقين بسبب إجراء ينتج عنه أحيانًا أخرى.

على سبيل المثال: في الوصف أعلاه ، يُذكر أن العملة المعدنية التي يتم إلقاؤها في الهواء يمكن أن ينتج عنها جانب صورة (G) أو جانب رقم (A). حتى أن الجانب الذي سيظهر لا يمكننا تحديده على وجه اليقين.

نتيجة رمي عملة معدنية هي أحد حدثين يمكن أن يحدثا ، وهما ظهور الجانب G أو A.

يسمى نشاط رمي العملة بعمل عشوائي. يمكننا تكرار الإجراء عدة مرات وتسمى سلسلة الإجراءات تجربة.

يمكن أيضًا التعبير عن عمل نشاط واحد كتجربة.

صيغة الاحتمال الرياضي

يمكن أن تؤدي محاولات رمي ​​عملة معدنية إلى ظهور حرف G أو A.

إذا تم إجراء تجربتنا عن طريق الرمي 10 مرات ورفع G 4 مرات ، فإن التردد النسبي لمظهر G هو 4/10.

ومع ذلك ، إذا أجرينا التجربة 10 مرات أخرى ونرفع G 3 مرات فقط بحيث يظهر G 7 مرات في 20 تجربة ، يكون التكرار النسبي لظهور G في 20 تجربة هو 7/20.

التردد النسبي

التردد هو مقارنة بين عدد التجارب التي نقوم بها مع عدد الأحداث التي تمت ملاحظتها.

من تجربة رمي عملة معدنية ، يمكننا أن نرى أنه يمكن صياغة التردد النسبي على النحو التالي:

مثال على المشاكل:

في تجربة رمي قطعة نقود 100 مرة. اتضح أن سطح الصورة (g) يظهر 30 مرة.

لذلك يمكننا القول أن التكرار النسبي للصورة التي تظهر في المشكلة أعلاه هو = 30/100 = 3/10

فرصة

مثال على المشاكل:

في إحدى التجارب ، يمكنك إلقاء الكثير من العملات المعدنية أو رميها كثيرًا:

احتمال الحصول على رقم = 1/2

1 هو عدد الوجوه الرقمية على العملة.

2 ـ وجود احتمالين هما الأرقام أو ظهور الصور.

غرفة بسيطة

مساحة العينة عبارة عن مجموعة من جميع الأحداث التجريبية الممكنة (النتائج). يتم الإشارة إلى مساحة العينة بالحرف S.

مثال:

• مساحة العينة على الكيتوزان على القالب هي S = (1، 2، 3، 4، 5، 6)
• مساحة العينة على الكيتوزان على العملة المعدنية هي S = (A ، G)

تحديد مساحة العينة

يمكننا تحديد مساحة العينة لرمي عملتين باستخدام جدول (قائمة) كما هو موضح أدناه:

مساحة العينة: S = {(A، A)، (A، G)، (G، A)، (G، G)}
الحدث A1 الذي يحتوي على صورتين هو = (G ، G)
الحدث A2 الذي لا يحتوي على صورة هو = (A ، A)

نقطة عينة

نقاط العينة هي الأعضاء التي تأتي من مساحة العينة.

كمثال:

مساحة العينة S = ((A ، A) ، (A ، G) ، (G ، A) ، (G ، G))

تشمل نقاط العينة: ((A ، A) ، (A ، G) ، (G ، A) ، (G ، G))

احتمالية الحدث A أو P (A)

يمكننا تحديد احتمال وقوع حدث باستخدام الطريقة التالية:

S = {1،2،3،4،5،6} ثم القيمة n (S) = 6

A = {2،3،5} ثم n (A) = 3

من الشرح أعلاه ، تم توضيح أنه إذا كانت كل نقطة عينة لعضو فضاء العينة S لها نفس الاحتمال. ثم يمكن التعبير عن احتمال حدوث حدث A الذي تم التعبير عن عدد أعضائه في n (A) باستخدام الصيغة أدناه:

قيمة الفرصة

تتراوح قيم الفرصة التي تم الحصول عليها من 0 إلى 1. لكل حدث A ، يمكن كتابة حدود قيمة P (A) رياضيًا على النحو التالي:

0 ص (أ) 1 حيث P (A) هو احتمال وقوع حدث A

إذا كانت P (A) = 0 ، فإن الحدث A هو حدث مستحيل ، فإن الاحتمال ليس سوى 0

كمثال:

شروق الشمس في الجنوب حدث مستحيل ، لذا فإن الاحتمال ليس سوى = 0

إذا كان P (A) = 1 ، فإن الحدث A هو حدث محدد

كمثال:

المخلوق الحي سيموت بالتأكيد ، إنه حدث محدد ، لذا فإن الاحتمال = 1

يوجد أيضًا احتمال حدث يقع بين 0 و 1 ، مما يعني أن الحدث ممكن.

على سبيل المثال ، احتمالية أن يصبح الطالب بطل الفصل. إذا كان L هو الحدث التكميلي للحدث A ، فإن احتمال الحدث L هو 1- احتمالية الحدث A.

رياضيا يمكن كتابتها على النحو التالي:

P (L) = 1 - P (A) أو يمكن أن يكون P (L) + P (A) = 1

كمثال:

إذا كان احتمال هطول أمطار اليوم = 0.6 فإن احتمال عدم هطول أمطار اليوم هو = 1 - P (مطر)
= 1 – 0,6
= 0,4

1. تردد التوقع

التكرار المتوقع لحدث ما هو توقع لعدد المرات التي يظهر فيها في حدث من عدد من التجارب التي أجريت.

رياضيا يمكن كتابتها على النحو التالي:

التردد المتوقع = P (A) x عدد المحاولات

كمثال:

في تجربة صب النرد 60 مرة:

احتمال الحصول على نقطتين = 1/6

التكرار المتوقع للعين 2 هو = P (العين 2) × عدد التجارب
= 1/6 × 60
= 10 مرات

2. حدوث مركب

الأحداث المركبة هي حدثان أو أكثر يتم تشغيلهما بحيث يشكلان حدثًا جديدًا.

حدث K وحدث مكمل لـ K 'يفي بالمعادلة:

P (K) + P (K ') = 1 أو P (K') = 1 - P (K)

مجموع الفرص

1. الأحداث المتبادلة

هناك حدثان A و B يمكن تسميتهما بأحداث متنافية إذا لم يكن أي من العناصر التي تحدث في الحدث A هي نفسها العناصر التي تحدث في الحدث B.

لكي يحدث احتمال حدوث أي من A أو B ، فإن صيغة الأحداث المتنافية هي:

ل (أ u ب) = ف (أ) + ف (ب)

2. الأحداث لا تنفصل

المعنى هو أن العنصر A هو نفسه العنصر B ، ويمكن كتابة الصيغة الرياضية على النحو التالي:

الفوسفور (أ u ب) = الفوسفور (أ) + الفوسفور (ب) - الفوسفور (أ ن ب)

3. حدث مشروط

يمكن أن يحدث حدث شرطي إذا كان الحدث A يمكن أن يؤثر على حدوث الحدث B أو العكس. لذلك يمكننا كتابة الصيغة على النحو التالي:

الفوسفور (أ ن ب) = ف (أ) × ف (ب / أ)

أو

الفوسفور (أ ن ب) = ف (ب) × ف (أ / ب)

نظرًا لأن الأحداث لها تأثير متبادل ، فمن الممكن أيضًا استخدام الصيغة:

الفوسفور (أ ن ب) = ف (أ) × ف (ب)

عينة من الأسئلة والمناقشة

لفهم مادة معادلة الاحتمال الرياضي بشكل أفضل ، ضع في اعتبارك بعض الأمثلة للأسئلة بالإضافة إلى مناقشتها التي سنقدمها أدناه:

مثال على سؤال الاحتمالية 1

في تجربة رمي عملة معدنية 120 مرة ، اتضح أن الرقم يظهر 50 مرة.

من المشكلة أعلاه ، حدد التكرار النسبي الذي تظهر به الأرقام والتكرار النسبي الذي تظهر به الصور!

إجابه:

التكرار النسبي للأرقام الظاهرة = عدد الأرقام الظاهرة أو عدد المحاولات
= 50/120
= 5/12

التردد النسبي للصور الظاهرة = عدد الصور التي تظهر أو عدد التجارب
= (120 – 50) / 120
= 70/120
= 7/12

مثال على سؤال الاحتمالية 2

يتم اختيار حرف بشكل تجريدي من الحروف في نقش "JURAGAN". ثم أوجد احتمال اختيار الحرف أ.

إجابه:

عدد الأحداث المعنية = 2 لأن الحرف A به 2 في الكلمة "JURAGAN"

عدد الأحداث المحتملة = 7 لأن عدد الأحرف هو 7

إذن P (الحرف A) = 2/7

مثال على سؤال الاحتمالية 3

رمي نردان في وقت واحد. ثم حدد احتمالية الأحداث التالية!

أ. النرد الأول هو 4

ب. عدد النرد 9.

إجابه:

نقوم بإنشاء مساحة عينة أو جدول اختبار لتسجيل نردتين على النحو التالي:

أ. يحتوي النرد الأول على 4 ، مما يعني أن النرد الثاني يمكن أن يكون 1،2،3،4،5 ، أو 6. وبالتالي ، فإن الحدث الذي ظهر فيه النرد الأول هو 4 ، وهي:

م = {(4،1) ، (4،2) ، (4،3) ، (4،4) ، (4،5) ، (4،6)}

إذن ، P (النرد I edge 4) = n (M) / n (S) = 6/36 = 1/6

ب. إذا كان مجموع النرد 9 هو:

العدد = {(3،6) ، (4،5) ، (5،4) ، (6،3)}

إذن ، P (مجموع 9) = n (N) / n (S) = 4/36 = 1/9

أمثلة على الأحداث المستقلة 4.

في تجربة رمي نردتين ، حدد احتمال الحصول على رقم زوجي على النرد الأول ورقم فردي أولي على حجر النرد الثاني!

إجابه:

لنفترض أن A = حدث ظهور رقم زوجي في النرد الأول = {2،4،6} بحيث يكون P (A) = 3/6

على سبيل المثال B = حدوث شرط فردي في النرد الثاني = {3.5} ثم P (B) = 2/6

نظرًا لأن الحدث A ليس له أي تأثير على الحدث B ، فإننا نستخدم الصيغة:

الفوسفور (أ ن ب) = ف (أ) × ف (ب)

ف (أ ن ب) = 3/6 × 2/6 = 1/6

مثال على سؤال الحدث الشرطي 5.

يوجد صندوق يحتوي على 5 كرات حمراء و 4 كرات خضراء. إذا تم سحب كرتين واحدة تلو الأخرى بدون استبدال ، فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة كرة حمراء في السحب الأول وكرة خضراء في السحب الثاني!

إجابه:

في أول سحب للكرة ، هناك 5 كرات حمراء من أصل 9 كرات متوفرة.

إذن P (M) = 5/9

في السحب الثاني 4 كرات خضراء من الكرات الثمانية المتبقية (مع توفير يتم رسم الكرة الحمراء).

لذلك P (H / M) = 4/8

لأن الأحداث لها تأثير متبادل ، فاستخدم الصيغة:

P (M n H) = P (M) x P (H / M)

P (M n H) = 5/9 × 4/8 = 5/18

وبالتالي مراجعة موجزة لصيغة الفرصة التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه لصيغة الفرصة كمواد دراستك.