التباديل والتوليفات: المادة ، الاختلاف ، المشكلة ، المناقشة

بعد مناقشة معادلة الاحتمال مسبقًا ، حان الوقت الآن لمناقشة التباديل والتوليفات في مادة الاحتمال.

في المواد التقليب هذه إحدى مواد الفرصة التي تناقش ترتيب كائنات من n كائنات متاحة عن طريق انتبه إلى الطلب.

في حين مزيج يعمل على تحديد ترتيب كائنات k من كائنات n المتاحة بغض النظر عن الترتيب.

هيا ما عليك سوى إلقاء نظرة فاحصة على التعليقات التالية.

التقليب

المادة الأولى التي سنناقشها في هذه المقالة هي التباديل. تتعلم التباديل حول ترتيب كائنات k من كائنات n من خلال الانتباه إلى الترتيب.

هناك ثلاثة أمثلة على التباديل التي تظهر غالبًا ، من بين أمثلة أخرى: تباديل العناصر المختلفة ، والتباديل مع بعض العناصر نفسها ، والتبديلات الدورية. اقرأ المزيد بعناية المراجعات التالية.

الأنواع والصيغ أو صيغ التقليب

1. تقليب العناصر n ، كل تبديل يتكون من عناصر n

إذا كانت هناك عناصر مختلفة وتم أخذ n من العناصر ، فسيكون عدد الترتيبات أو التباديل المختلفة للعناصر n هو ص_{(ن ، ن)} = ن! أو _نص_ن = ن!

كمثال:

الترحيب باجتماع وفود الدول التي حضرتها خمس دول. وستقوم اللجنة بعد ذلك برفع الأعلام الخمسة وهي أعلام الدول الخمس الحاضرة.

هناك طرق عديدة للجنة لترتيب الأعلام الخمسة وهي؟

إجابه:

من بين الأعلام الخمسة الموجودة ، فهذا يعني أننا نحصل على n = 5 ، لذلك هناك العديد من الترتيبات الممكنة للأعلام ، وهي:

5! = 5.4.3.2.1 = 120 طريقة.

2. التقليب لعناصر n ، يتكون كل تبديل من عناصر r لعناصر n مع r n

بالنسبة لجميع الأعداد الموجبة n و r ، مع rn ، يكون عدد التباديل لـ n من الكائنات المأخوذة بواسطة r الكائنات في وقت واحد:

ملحوظة:
المتطلبات: يجب النظر في الطلب.

كمثال:

هناك طرق عديدة لاختيار رئيس وسكرتير وأمين صندوق من بين الطلاب الثمانية المتاحين ، وهي ...

إجابه:

عدد الطلاب ن = 8

الرئيس والسكرتير وأمين الصندوق (العديد من الخيارات للأشياء) ، r = 3

وبالتالي:

3. تباديل عناصر n التي تحتوي على p.q و r نفس العناصر

معلومة:

ن = يظهر العدد الإجمالي للعناصر

ك₁  = يشير إلى عدد عناصر نفس المجموعة 1

ك₂ = يشير إلى عدد عناصر نفس المجموعة 2

…

ك_ر = يشير إلى عدد عناصر نفس مجموعة kt

ر = 1،2،3 ، ...

على سبيل المثال:

عدد طرق ترتيب كلمة "بصباسي" هو ...

إجابه:

من كلمة "BASSABASSI" عدد الحروف هو (ن) = 10

ك₁ = الحرف B = 2

ك₂ = الحرف أ = 3

ك₃ = الحرف S = 4

ك₄ = الحرف الأول = 1

4.التقليب الدوري

التقليب الدوري هو تبديل دائري (ترتيب دائري).

_نص_دورية = (ن -1)!

كمثال:

من بين أفراد الأسرة الخمسة الذين سيجلسون على الفور حول طاولة مستديرة ، فإن عدد طرق الترتيب التي يمكن إجراؤها من هؤلاء الأشخاص الخمسة هو ...

إجابه:

عدد الأشخاص (ن) = 5 ، لذلك:

₅ص_دورية = (5 – 1)! = 4! = 4.3.2.1 = 24 طريقة.

5. التباديل المتكرر لعناصر n ، يتكون نوع التقليب من عناصر k

ص_ن = ن^ك

مثال:

كم عدد الترتيبات المكونة من 3 أرقام والأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 ...

إجابه:

• عدد التسلسلات المكونة من 3 أرقام ، مما يعني العدد بالمئات ، ك = 3
• عدد الأعداد المراد ترتيبها هو n = 6
• كم عدد الترتيبات المكونة من 3 أرقام من الأرقام 1 و 2 و 3 و 4 و 5 و 6 ، لذلك:

ص₆ = 6³ = 216 صفيفًا.

مزيج

كما هو موضح أعلاه ، فإن الجمع هو ترتيب عدم الالتفات إلى الأمر.

على سبيل المثال ، تتمثل إحدى مشكلات استخدام المجموعات في معرفة عدد الطرق لأخذ 3 كرات من 5 كرات حمراء و 2 كرتين أخضرتين المتوفرتين في صندوق.

يوجد داخل الصندوق عدة كرات ملونة مختلفة ، وهي كرات حمراء وحمراء وصفراء.

هناك طريقة أخرى ممكنة لأخذها وهي الأحمر والأصفر والأحمر وغيرها.

على سبيل المثال ، الكرات الحمراء مرقمة من واحد إلى خمسة والكرات الصفراء مرقمة أيضًا من واحد إلى اثنين.

طريقة أخذ الكرة الحمراء الأولى برقم اثنين ستكون مماثلة لسحب الكرة الحمراء برقم واحد.

وبالمثل مع الكرات بأرقام وألوان مختلفة. لازلت مشوش؟ استرخ ، ألق نظرة على الجدول أدناه.

تتطلب معرفة عدد طرق ترتيب كائنات k من الكائنات n المتاحة الكثير من الوقت وهي بالتأكيد غير فعالة.

في علم الاحتمالات ، توجد صيغة يمكننا استخدامها لترتيب ك كائنات من ن كائنات متاحة.

الصيغة هي صيغة في تركيبة. سيتم التعبير عن عدد مجموعات عناصر k المأخوذة من العناصر n المتوفرة في صيغة المجموعة على النحو التالي:

الفرق بين مشاكل التقليب والجمع

بعد معرفة ما هي التباديل والتوليفات ، من المهم أيضًا معرفة المشكلات التي يتم تضمينها في التباديل أو التوليفات.

عادة ما تكون المشاكل التي تنشأ غالبًا في شكل مشاكل القصة.

والمطلوب منا أن نكون قادرين على التمييز بين المشكلة المتضمنة في التباديل أو التوليفات. حتى لا نواجه أخطاء في استخدام الصيغة لحل المشكلة.

ضع في اعتبارك المثالين أدناه:

الحالة الأولى: مشكلة التقليب

سيتم تشكيل تشكيل اللجنة المكونة من الرئيس ونائب الرئيس والسكرتير وأمين الصندوق لإنجاح الحدث. سيختار تشكيل اللجنة بعد ذلك من بين 10 أشخاص مختارين بناءً على معايير محددة مسبقًا. إذن ، ما هو عدد الطرق التي يمكن بها تشكيل لجنة بحيث يمكن تشكيلها؟

الحالة الثانية: مشكلة الجمع

سيتم اختيار ستة كتب من خمسة كتب رياضيات وثلاثة كتب فيزياء وأربعة كتب في الكيمياء يتم التبرع بها لمدارس أطفال الشوارع.

كم عدد الطرق الممكنة لاختيار الكتب الستة؟

في الحالة الأولى ، سيكون ترتيب الأمر جانبًا واحدًا يجب مراعاته. من المؤكد أن منصب الرئيس بالنسبة للشخص الأول سيكون مختلفًا عن منصب الرئيس الذي يشغله الشخص الثالث.

الشيء نفسه ينطبق على الجلوس في مواقف أخرى.

بينما في مثال الحالة الثانية ، يتم اختيار الكتب بالترتيب الأول والثاني على سبيل المثال كتاب الرياضيات الأول وكتاب الرياضيات الثاني ، وكلاهما من كتب الرياضيات.

وبالتالي ، يتم تجاهل الترتيب في الحالة الثانية.

المقصود هو، تُستخدم صيغة التقليب لحالة أو مشكلة تلفت الانتباه إلى الترتيب. أما بالنسبة لل تستخدم المجموعات لحل المشكلات التي لا تهتم بالطلب.

عينة من الأسئلة والمناقشة

المشكلة 1.

هناك 3 أطفال سيجلسون معًا على مقعد طويل. كم عدد الطرق المتاحة لهم للجلوس معًا على المقعد؟

إجابه:

سيجلس الأطفال الثلاثة معًا ، ثم سنستخدم صيغة التقليب ف (3،3)

الفوسفور (3،3) = 3 = 2x2x1 = 6

حتى يتمكن الأطفال الثلاثة من الجلوس معًا باستخدام 6 طرق.

السؤال 2.

كم عدد الطرق المتاحة لترتيب الحرفين من كلمة "LIFE"؟

إجابه:

طريقة ترتيب حرفين من 5 أحرف ، ثم سنستخدم أيضًا صيغة التقليب ف (5،2)

الفوسفور (5،2) = (5!) / (5-2) = (5x4x3!) / (3)! = 5×4 =20

إذن هناك 20 طريقة لترتيب حرفين من كلمة LIFE.

مشكلة 3.

يوجد في الفصل 7 فتيات و 3 فتيان. من هذا الفصل ، سيتم اختيار 3 طلاب بشكل عشوائي. لذا فإن احتمال اختيار النساء الثلاث هو ...

أ. 2/91
ب. 1/12
ج. 1/3
د. 1/5
E. 3/5

إجابه:

عدد طرق اختيار 3 طلاب من 10 طلاب بشكل عشوائي (على سبيل المثال مع المتغير n):

في هذه الحالة ، لا يهم الترتيب ، لذا فإن الصيغة المستخدمة عبارة عن تركيبة.

عدد طرق اختيار 3 طلاب من 10 طلاب بشكل عشوائي (على سبيل المثال مع المتغير n):

عدد طرق اختيار 3 فتيات من 7 فتيات (على سبيل المثال مع المتغير k):

احتمال اختيار النساء الثلاث هو:

الجواب:

وبالتالي استعراض موجز للتباديل والتوليفات التي يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه للتباديل والتوليفات كمادة دراستك.