نظرية فيثاغورس: المادة ، الصيغ ، أمثلة المشاكل ، المناقشة

نظرية فيثاغورس هي قاعدة رياضية يمكن استخدامها لتحديد طول أحد أضلاع المثلث القائم.

ما عليك أن تتذكره من هذه النظرية هو النظرية ينطبق فقط على المثلثات القائمة. لذلك لا يمكن استخدامها لتحديد جوانب مثلث آخر غير قائم الزاوية.

تم تضمين نظرية فيثاغورس في إحدى المواد في مواد الرياضيات الأساسية التي لها العديد من الامتدادات والفوائد.

تُستخدم هذه المواد أيضًا على نطاق واسع وغالبًا ما تظهر في أسئلة الامتحانات الوطنية.

في الأساس ، نظرية فيثاغورس بسيطة جدًا حيث أننا مطالبون فقط بحساب أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية حيث نعرف بالفعل الأضلاع الأخرى.

إذا لم يكن الجانب الآخر معروفًا ، فيمكننا على الأقل العثور عليه باستخدام طريقة أخرى مسبقًا.

لإجراء مناقشة كاملة لنظرية فيثاغورس ، يرجى قراءة المراجعة التالية بعناية.

خصائص نظرية فيثاغورس

هناك نوعان من الخصائص الموجودة في نظرية فيثاغورس ، بما في ذلك:

1. فقط للمثلثات القائمة
2. يمكن معرفة جانبين على الأقل مسبقًا

هناك مشكلة أخرى غالبًا ما تكون في تحديد مثلث قائم الزاوية.

أي جانب هو الوتر وكذلك الضلع الآخر. لذلك سنقدم لك مثلثًا قائمًا وندعوك لفهم كل مكون من مكونات مثلث قائم الزاوية.

لكن قبل ذلك ، دعنا نعرف أولاً خصائص المثلث ، إليك مراجعة كاملة.

خصائص المثلث

1. إذا كان مربع الوتر = مجموع مربعات الضلع الآخر ، فإن المثلث هو مثلث قائم الزاوية.
2. إذا كان مربع الوتر
3. إذا كان مربع الوتر> مجموع مربعات الجانب الآخر ، فإن المثلث هو مثلث منفرج.

تحديد مثلث قائم الزاوية

قم بتسمية أضلاع المثلث لتتذكرها

إذا نظرت إلى الصورة أعلاه ، يمكنك أن تجد ثلاثة جوانب قمنا بتسميتها على كل جانب.

يتم اختصار الوتر إلى (SM) ، ويتم اختصار الجانب الأساسي كـ (SA) ، ويتم اختصار الجانب المستقيم كـ (ST).

في الصورة أعلاه ، يمكننا أن نرى أن الوتر يقع مباشرة أمام الزاوية اليمنى للمثلث.

تُصوَّر المربعات عمومًا بداخلها صندوق صغير ، كما هو موضح أعلاه بسهم أسود.

الوتر يقابل الزاوية اليمنى للمثلث أعلاه مباشرة. بالنسبة للجانب الأساسي والجانب المستقيم أيضًا ، فإنه في الواقع ليس مشكلة كبيرة إذا حددته عن طريق الخطأ.

لماذا تحتاج إلى الانتباه وفهم شكل المثلث القائم؟

لأنه إذا وجدت المثلث الأيمن خلفه أو غيرت اسمه ، فلن تواجه صعوبات.

لهذا السبب تحتاج إلى فهم وتحديد مثلث قائم الزاوية.

على سبيل المثال ، ألق نظرة فاحصة على الصورة أدناه:

على الرغم من أننا عكسنا المثلث الأيمن ، إلا أنك تمكنت من تحديد الوتر والقاعدة والجوانب المستقيمة.

في الصورة أعلاه ، الوتر هو الضلع ص، جانب القاعدة جانب ص، والجانب الرأسي جانب ف.

علاوة على ذلك ، فإن المشكلة الأكثر تضليلًا هي الخطأ في حفظ صيغة نظرية فيثاغورس.

ها هي المراجعة الكاملة.

صيغة نظرية فيثاغورس

صيغة فيثاغورس هي صيغة تم الحصول عليها من مادة نظرية فيثاغورس.

نظرية فيثاغورس نفسها ، كما ذكرنا سابقًا ، هي نظرية تشرح العلاقة بين أضلاع المثلث القائم.

تم طرح هذه النظرية لأول مرة من قبل عالم رياضيات من اليونان يُدعى فيثاغورس.

صوت أو نظرية نظرية فيثاغورس على النحو التالي:

في المثلث القائم الزاوية ، يساوي مربع الضلع الأطول مجموع مربعات الأضلاع.

من هذه النظرية يمكننا عمل معادلة يمكننا وصفها على النحو التالي:

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مثلثًا بزاوية قائمة عند ب. إذا كان طول الوتر (الوتر) هو c وأطوال أضلاعه التكميلية (بخلاف الوتر) تكون a و b. ثم يمكننا صياغة نظرية فيثاغورس أعلاه على النحو التالي:

صيغة فيثاغورس

ج² = أ² + ب²

معلومة:

ج = وتر المثلث
أ = الارتفاع
ب = القاعدة

تُستخدم صيغة فيثاغورس بشكل عام لإيجاد طول وتر المثلث القائم الزاوية كما يلي:

مربع الضلع AC = مربع الضلع AB + مربع الضلع BC. أو AC² = AB² + BC²

صيغة إيجاد طول ضلع القاعدة هي:

ب² = ج² - أ²

صيغة إيجاد ضلع أو ارتفاع المثلث هي:

أ² = ج² - ب²

صيغة إيجاد وتر المثلث القائم الزاوية هي:

ج² = أ² + ب²

استخدامات نظرية فيثاغورس

إلى جانب استخدامها في تحديد طول جانب غير معروف من المثلث ، يمكن أيضًا استخدام نظرية فيثاغورس في العديد من العمليات الحسابية ، بما في ذلك:

1. أوجد طول قطر المربع
2. أوجد قطري المكعب وكذلك متوازي المستطيلات

سنقدم هنا شرحًا لكل استخدام:

1. أوجد طول قطر المربع

إعطاء مستطيل ABCD كما هو موضح في الشكل أدناه:

الخط AC هو خط قطري لمربع. إذا كانت أطوال جوانب المربع معروفة ، فيمكن حساب طول الأقطار باستخدام نظرية فيثاغورس على النحو التالي:

تكييف² = AB² + ق²

تكييف² = م² + قرص مضغوط²

مثال على المشاكل:

مربع ABCD يبلغ طوله 8 سم وعرضه 6 سم. أوجد طول قطر المربع.

إجابه:

معروف:

• الطول = ع = 8 سم
• العرض = L = 6 سم

طلبت:

• قطري = د = ...؟

بناءً على نظرية فيثاغورس ، إذن:

د² = ص² + لام²
د² = 8² + 6²
د² = 64 + 36
د² = 100
د = 100
د = 10 سم

إذن ، طول قطر المربع في المسألة أعلاه هو 10 سم.

2. أوجد قطري المكعب وكذلك متوازي المستطيلات 

يتم إعطاء كتلة ABCD.EFGH كما هو موضح في الشكل أدناه:

الخط AG هو أحد الأقطار الفراغية في الكتلة. يمكننا حساب طول قطري الفضاء AG بناءً على نظرية فيثاغورس على النحو التالي:

اي جي² = التيار المتردد² + CG²

معلومة:

AG = مساحة قطرية
CG = ارتفاع الكتلة
AC = قطري المستوى الأساسي

ثم ضع في اعتبارك قاعدة الكتلة ، وهي المربع ABCD. بناءً على صوت فيثاغورس ، يمكننا حساب طول القطر للمستوى AC باستخدام الصيغة التالية:

تكييف² = AB² + ق²

معلومة:

AB = طول الكتلة
BC = عرض الكتلة

لأن AC² = AB² + ق²، ثم يمكننا تغيير صيغة طول قطري الفضاء AG إلى:

اي جي² = التيار المتردد² + CG²
اي جي² = AB² + ق² + CG²
اي جي² = ص² + لام² + ر²

إذن ، ستكون الصيغة:

د_ص² = ص² + لام² + ر²

معلومة:

د_ص = مساحة قطرية
ع = طول الكتلة
L = عرض الشعاع
ر = ارتفاع الكتلة

مثال على المشاكل:

كتلة يبلغ طولها وعرضها وارتفاعها 12 سم و 9 سم و 8 سم على التوالي. حدد طول أحد أقطار الفضاء!

إجابه:

معروف:

• ع = 12 سم
• L = 9 سم
• ر = 8 سم

طلبت:

• د_ص = … ?

بناءً على الصوت أو نظرية فيثاغورس ، إذن:

د_ص² = ص² + لام² + ر²
د_ص² = 12² + 9 شوربة> 2 + 8²
د_ص² = 144 + 81 + 64
د_ص² = 289
د_ص = √289
د_ص = 17 سم

إذن ، طول قطر المساحة 17 سم.

تحديد طول المثلث القائم

رياضياً ، تُستخدم صيغة فيثاغورس عادةً لتحديد أطوال أضلاع المثلث القائم.

لمزيد من التفاصيل ، ضع في الاعتبار بعض نماذج الأسئلة أدناه.

أمثلة على مسائل فيثاغورس (فيثاغورس) وحلولها

المشكلة 1.

من المعروف أن المثلث القائم ABC بزاوية قائمة عند B يوصف على النحو التالي:

تحديد طول الوتر AC في الصورة أعلاه!

إجابه:

نظرًا لأن المثلث أعلاه هو مثلث قائم الزاوية ، فإن صيغة فيثاغورس تنطبق على النحو التالي:

AC² = AB² + BC²
AC² = 8² + 6²
أس² = 64 + 36
أس² = 100
أس = 100
أس = 10

إذن ، طول الضلع AC في المثلث القائم هو 10 سم.

السؤال 2.

المثلث الأيمن KLM بزاوية قائمة عند L موضح أدناه:

تحديد طول الضلع KL في الصورة أعلاه!

إجابه:

نظرًا لأن المثلث أعلاه هو مثلث قائم الزاوية ، فإن صيغة فيثاغورس تنطبق على النحو التالي:

KM² = KL² + LM²
KL² = KM² - LM²
KL² = 13 ² - 12 ²
KL² = 169 - 144
KL² = 25
KL = 25
KL = 5

إذن ، طول الضلع KL في المثلث القائم أعلاه هو 5 سم.

مشكلة 3.

من المعروف أن المثلث القائم DEF بزاوية قائمة عند E موصوف على النحو التالي:

تحديد طول الضلع DE في الصورة أعلاه!

إجابه:

نظرًا لأن المثلث DEF أعلاه هو مثلث قائم الزاوية ، فإن صيغة فيثاغورس تنطبق على النحو التالي:

DF² = DE² + EF²
DE² = DF² - EF²
DE² = 15 ² - 9 ²
DE² = 225 - 81
DE² = 144
DE = 144
DE = 12

إذن ، طول الضلع DE في المثلث القائم أعلاه هو 12 سم.

المشكلة 4.

من المعروف أن المثلث القائم ABC بالزاوية القائمة يقع عند B. إذا كان طول الضلع AB = 16 سم وطول الضلع BC = 12 سم.

ثم احسب طول الضلع AC في المثلث أعلاه!

إجابه:

من الأسئلة أعلاه ، يمكنك رسم مثلث قائم الزاوية مثل هذا:

لأن المثلث أعلاه هو مثلث قائم الزاوية ، فإن صيغة فيثاغورس تنطبق على النحو التالي:

ج² = أ² + ب²
ج² = 12 ² + 16 ²
ج² = 144 + 256
ج² = 400
ج = 400
ج = 20

إذن ، طول الضلع AC في المثلث القائم ABC في المسألة أعلاه هو 20 cm.

تحديد نوع المثلث إذا كنت تعرف طول الأضلاع

بالإضافة إلى إيجاد أطوال أضلاع المثلث القائم ، تُستخدم صيغة فيثاغورس أيضًا لتحديد نوع المثلث.

هو مثلث مشمول في نوع مثلث قائم الزاوية ، أو مثلث حاد ، أو مثلث منفرج. ثم كيف نحدد نوع المثلث باستخدام صيغة فيثاغورس؟

لتحديد نوع المثلث باستخدام نظرية فيثاغورس ، يجب أن نقارن مربع أطول ضلع بمجموع مربعات الأضلاع.

كمثال ، من المعروف أن المثلث القائم الزاوية له طول الوتر (الضلع الأطول) وهو c. و أطوال المربعات أ و ب بحيث:

• إذا كانت c²
• إذا كانت c² = a² + b² ، فإن المثلث هو مثلث قائم الزاوية ؛
• إذا كانت c²> a² + b² ، فإن المثلث يمثل مثلثًا منفرجًا.

لمزيد من التفاصيل ، ضع في اعتبارك بعض نماذج الأسئلة أدناه:

المشكلة 1.

مثلث قائم الزاوية ABC بزاوية قائمة عند B. حدد نوع المثلث إذا كان طول ضلعيه AB = 8 سم ، و BC = 15 سم ، و AC = 20 سم!

إجابه:

على سبيل المثال a هو أطول ضلع و b و c هو الضلعان الآخران ، ثم يمكننا معرفة ما إذا كان:

• ج = 20 سم
• ب = 8 سم
• أ = 15 سم.

ج² = 20² = 400
أ² + ب² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289

لأن،

ج²> أ² + ب²
400 > 289

إذن ، المثلث ABC مثلث منفرج.

السؤال 2.

حدد نوع المثلث أدناه إذا كانت أطوال أضلاعه 10 سم و 12 سم و 15 سم!

إجابه:

على سبيل المثال ، c هو أطول ضلع و b ، و a هو الضلعان الآخران ، ثم يمكننا معرفة:

• ج = 15 سم
• ب = 10 سم
• أ = 12 سم.

ج² = 15² = 225

أ² + ب² = 12² + 10² = 144 + 100 = 344

لأن،

ج² 225 < 344

إذن ، المثلث مثلث حاد.

ثلاثية فيثاغورس

ألق نظرة على بعض أمثلة الأرقام أدناه:

3 و 4 و 5
6 و 8 و 10
5 و 12 و 13

بعض الأرقام المذكورة أعلاه هي أرقام تخضع لقواعد صيغة فيثاغورس.

يُعرف هذا الرقم باسم ثلاثية فيثاغورس. يمكن تعريف الرقم الثلاثي فيثاغورس على النحو التالي.

ثلاثية فيثاغورس هي أعداد صحيحة موجبة يكون لمربع أكبر عدد نفس قيمة مجموع مربعات الأرقام الأخرى.

بشكل عام ، تنقسم ثلاثية فيثاغورس إلى نوعين ، وهما ثلاثي فيثاغورس البدائي وثلاثيات فيثاغورس غير البدائية.

ثلاثية فيثاغورس البدائية هي ثلاثية فيثاغورس حيث جميع الأعداد لها العامل المشترك الأكبر يساوي 1.

على سبيل المثال ، من الأعداد ثلاثية فيثاغورس البدائية ، وهي: 3 و 4 و 5 و 5 و 12 و 13.

أما بالنسبة لل ثلاثيات فيثاغورس غير بدائية عبارة عن ثلاثية فيثاغورس حيث يحتوي الرقم على العامل المشترك الأكبر الذي لا يساوي واحدًا فقط.

على سبيل المثال ، وهي: 6 و 8 و 10 ؛ 9 و 12 و 15 ؛ 12 و 16 و 20 ؛ وكذلك 15 و 20 و 25.

يستخدم نمط عدد فيثاغورس (ثلاثي فيثاغورس) لحل مسائل فيثاغورس بسهولة ، ونمط العدد التالي (ثلاثي فيثاغورس) هو:

أ ب ج
3 – 4 – 5
5 – 12 – 13
6 – 8 – 10
7 – 24 – 25
8 – 15 – 17
9 – 12 – 15
10 – 24 – 26
12 – 16 – 20
12 – 35 – 37
13 – 84 – 85
14 – 48 – 50
15 – 20 – 25
15 – 36 – 39
16 – 30 – 34
17 – 144 – 145
19 – 180 – 181
20 – 21 – 29
20 – 99 – 101

واشياء أخرى عديدة.

معلومة:

أ = ارتفاع المثلث
ب = قاعدة المثلث
ج = وتر المثلث

كيف تجد ثلاثيات فيثاغورس:

إذا كان a و b عددًا صحيحًا موجبًا و a> b ، فيمكننا إيجاد ثلاثية فيثاغورس باستخدام الصيغة التالية:

2 أ ب ، أ² - ب²، أ² + ب²

لمزيد من التفاصيل ، انظر الجدول أدناه:

تطبيق صيغة فيثاغورس في المشاكل اليومية

يتم العثور على صيغة فيثاغورس على نطاق واسع في الأنشطة اليومية المختلفة. في ما يلي ، سوف نقدم مراجعة لبعض تطبيقات صيغة فيثاغورس.

مثال على مشكلة تحديد المسافة من الدرج إلى الحائط

انظر بعناية إلى الصورة أدناه:

سلم يتكئ على الحائط. إذا كان طول السلم 5 أمتار وارتفاع الحائط 4 أمتار. ثم احسب المسافة بين قدم السلم والجدار!

إجابه:

على سبيل المثال ، المسافة بين قدم السلم والجدار هي x ، لذلك لتحديد قيمة x ، يمكننا استخدام صيغة فيثاغورس على النحو التالي:

معروف:

• وتر المثلث أو ج = 5 م
• الارتفاع أو ب = 4 م

طلبت:

• قاعدة أم س؟

x² = c² - b²
ج² = 5 ² - 4 ²
ج² = 25 - 16
ج² = 9
ج = 9
ج = 3

وبذلك تكون المسافة بين قدم السلم والحائط 3 أمتار.

مثال على مشكلة تحديد المسافة من نقطة البداية للمغادرة إلى نقطة النهاية

انظر بعناية إلى الصورة أدناه:

تبحر سفينة من المنفذ A إلى المنفذ B لمسافة 15 كيلومترا شمالا بعد وصولها إلى المنفذ B ، أبحرت السفينة مسافة 36 كم إلى الشرق. حدد المسافة بين المنفذ أ ونقطة النهاية!

إجابه:

من المشكلة أعلاه ، يمكننا عمل صورة بالمعلومات الواردة في الحل أدناه:

طلبت:

• وتر المثلث أو ج

معروف:

• ب = 36 كم
• أ = 15 كم

وبالتالي:

المسافة من المنفذ A إلى نقطة النهاية هي:

ج² = 15 ² + 36 ²
ج² = 225 + 1296
ج² = 1521
ج = 1521
ج = 39

لذا ، فإن المسافة من المنفذ A إلى نقطة النهاية هي 39 كم.

هذه المرة مراجعة موجزة حول نظرية فيثاغورس يمكننا نقلها. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه المتعلقة بنظرية فيثاغورس كمواد للدراسة.