النماذج الجذرية الرياضية: الخصائص ، العمليات الحسابية ، التبرير ، المشكلات

شكل الجذر الرياضي هو جذر الرقم الذي لا تكون نتيجته رقمًا منطقيًا (رقم يتضمن.). الأعداد الصحيحة والأعداد الأولية والأرقام الأخرى ذات الصلة) أو الأعداد غير المنطقية (أي الأعداد التي لا يوجد حاصل قسمة أبدًا قف).

شكل الجذر هو شكل آخر لقول رقم لقوة.

تنتمي صيغة الجذر إلى العدد غير النسبي حيث لا يمكن تحديد الرقم غير النسبي باستخدام الكسور a / b و a و b والأعداد الصحيحة a و b 0.

رقم النموذج الجذر هو رقم موجود في العلامة √ وهو ما يسمى علامة الجذر.

بعض الأمثلة على الأرقام غير المنطقية في شكل جذور هي 2 و 6 و 7 و 11 وما إلى ذلك.

في الوقت نفسه ، بالنسبة إلى 25 ، فهي ليست صيغة جذر ، لأن 25 = 5 (5 عدد نسبي) وهو نفس الرقم 25 له صيغة جذر ، أي 5.

تم تقديم رمز الجذر "√" لأول مرة بواسطة عالم رياضيات ألماني اسمه كريستوف رودوف.

في كتابه مع العنوان يموت كوس. تم اختيار الرمز لأنه مشابه للحرف "r" المأخوذ من الكلمة "الجذر"، وهي لاتينية تعني الجذر التربيعي.

كرقم للقوة التي لها عدة خصائص-الطبيعة وشكل الجذر كما أن لها عدة خصائص منها:

1. أ² = أ
2. أ س ب = أ س ب ؛ أ 0 و ب 0
3. أ / ب = أ / √ ب ؛ أ 0 و ب 0

لمزيد من المعلومات حول نموذج الجذر ، راجع المراجعة أدناه.

نموذج الجذر الرياضي

كما ذكر أعلاه ، بصيغة الجذر الرياضية هي جذر رقم لا تكون نتيجته رقمًا منطقيًا. (الأرقام التي تشمل الأعداد الصحيحة والأعداد الأولية والأرقام الأخرى ذات الصلة) أو الأعداد غير المنطقية (أي الأرقام التي لا تتوقف حاصل قسمةها أبدًا).

أو باختصار ، صيغة الجذر هي جذر العدد المنطقي الذي له نتيجة عدد غير نسبي.

رقم منطقي هو رقم يمكن التعبير عنه من حيث / ب (الكسر). حيث ada و b أعداد صحيحة و b 0.

على سبيل المثال: يمكننا التعبير عن الرقم 3 بالصيغة 6/2 ، 9/3 ، 18/6 وهكذا.

أما بالنسبة للعدد غير نسبيهو رقم لا يمكن تحويله إلى كسر أ / ب حيث أ وب عدد صحيحين.

جذر يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالاسم الأسي. صيغة الجذر هي مثال على عدد غير نسبي ، أي رقم لا يمكن التعبير عنه في الصورة a / b ، بشرط أن يكون a و b عددًا صحيحًا حيث b ≠ 0.

على سبيل المثال ، قيمة = 3 ، 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... ،

هذا لأنه لا يمكن التعبير عن pi ككسر ، لذلك يتم تضمين قيمة p في رقم غير نسبي.

بناءً على تعريف الجذر ، يطرح سؤال الآن.

هل هناك اشارة√في رقم سيضمن أن الرقم هو شكل جذر؟ إذن الجواب بالطبع لا.

لأن هناك أعدادًا مختلفة مكتوبة بعلامة جذر ، لكن النتيجة هي رقم نسبي.

كمثال:

• 9 ليست صيغة جذر ، لأن 9 = 3 (عدد نسبي).
• 0.25 ليست صيغة جذر ، لأن 0.25 = 0.5 (عدد نسبي).
• 3 هو شكل الجذر.
• 5 هي صيغة الجذر.

كيفية تبسيط النماذج الجذرية الرياضية

يمكننا تقديم بعض أشكال الجذور في صورة أبسط. لكل من أرقام adanb الذي الأعداد الصحيحة الموجبة ، ثم يتم تطبيق الصيغة أو المعادلة التالية:

(أ س ب) = أ س ب

مع أو يجب التعبير عنها من حيث المربعات الصافية.

كمثال:

• 108 = 36 × 3 = 6√3
• (1/8) = (1/16 × 2) = (1/16) × 2 = 1/4√2

العمليات الجبرية على أشكال الجذر

1. عمليات الجمع والطرح للنماذج الجذرية

تنطبق المعادلة أو المعادلة التالية لكل من a و b و c وهي أرقام منطقية موجبة

صيغة إضافة صيغة الجذر

أ ج + ب ج = (أ + ب) ج

صيغة طرح صيغة الجذر

أ ج - ب ج = (أ - ب) ج

2. عملية الضرب للنموذج الجذر

تنطبق المعادلة أو المعادلة التالية لكل أ ، ب ، ج ، وهي أرقام منطقية موجبة:

أ س ب = أ س ب

كمثال:

• 4 × 8 = √ (4 × 8) = √32 = √ (16 × 2) = 4√2
• 4 (4√4 -√2) = (4 × 4√4) - (4 ×√2) = (4 × 16) –8

= (4 × 4) - (√4 × 2)

= 16–2√2

ملخص عملية نموذج الجذر:

1. (√ أ + ب)² = (أ + ب) + 2√ أب
2. (√ أ - ب)² = (أ + ب) - 2√ab
3. (√a - b) (a + b) = أ - ب
4. (أ - ب) (أ + ب) = أ² - ب

طبيعة شكل الجذر

أما بالنسبة لبعض خصائص تشغيل شكل الجذر على النحو التالي:

1. أ²= أ ، حيث أ هو رقم حقيقي موجب.
2. أ س ب = أب ، حيث أ وب عدد حقيقي موجب.
3. أ / ب = أ / ب ، حيث أ 0 و ب> 0.
4. a√c + b√c = (a + b) √c حيث a و b و c أرقام حقيقية و c 0.
5. a√c - b√c = (a - b) √c حيث a و b و c أرقام حقيقية و c 0.
6. a√c x b√d = (ab) cd ، حيث a ، b ، c ، d ، أرقام حقيقية ، و a ، b 0.
7. c√a / d√b = c / d√a / b حيث a و b و c أرقام حقيقية و a و b 0.

ترشيد شكل الجذر

لتسهيل استخدام صيغة الجذر في العمليات الجبرية ، تتم كتابة صيغة الجذر في الشكل (البسيط) الأكثر عقلانية.

يجب أن تستوفي طريقة تبرير شكل الجذر شروطًا معينة. هذه الشروط هي كما يلي:

1. لا يحتوي على عوامل قوتها أكثر من واحد.

كمثال:

x ، x> 0 → شكل بسيط

x⁵ و x³ → ليس شكل بسيط

2. لا يوجد جذر في المقام.

كمثال:

x / x → شكل بسيط

1 / س → ليس شكل بسيط

3. لا يحتوي على كسور

كمثال:

10/2 ← شكل بسيط

5 / √2 → ليس شكل بسيط

ثم، كيف تبرر مقام الكسر في شكل جذور؟

إن ترشيد مقام الكسر على شكل جذر يعني تغيير مقام الكسر على شكل جذر إلى صيغة عقلانية (بسيطة).

طريقة أو طريقة حساب مقام الكسر هي بضرب بسط الكسر ومقامه في الجذر المركب للمقام.

هناك ثلاث طرق لترشيد مقام الشكل الجذر لكسر ، بما في ذلك:

1. جزء من النموذج أ / ب

تم حلها بضرب b / b

لذا أ / ب = أ / ب س ب / ب = أ√ ب / ب

2. جزء من الصورة a / b + c

يتم حلها بضرب ب - ج / ب - ج

لذلك ، أ / ب + ج = أ / ب + ج س ب - ج / ب - ج = أ (ب - ج) / ب² - ج

3. جزء من الصورة أ / ب + ج

يتم حلها بضرب ب - ج / ب - ج

لذلك ، a / b + c = a / b + c x b - c / b - c = a (√b - c) / b-c

عينة من الأسئلة والمناقشة

في ما يلي ، سنقدم بعض الأمثلة على الأسئلة المتعلقة بشكل الجذر بالإضافة إلى المناقشة ، واستمع جيدًا حتى تنتهي.

أمثلة على مشاكل نموذج الجذر

أي من الأرقام التالية هو شكل جذر؟ إذا كان يتضمن نموذجًا جذرًا ، فاذكر السبب.

المشكلة 1.

√7

إجابه:

7 هو شكل الجذر

السؤال 2.

√(1/16)

إجابه:

(1/16) ليست صيغة جذر ، لأن (16/1) = (رقم منطقي)

مشكلة 3.

3√27

إجابه:

3√27 ليست صيغة جذر ، لأن 3√27 = 3 (عدد نسبي)

المشكلة 4.

√53

إجابه:

53 هي صيغة الجذر

السؤال 5.

3√0,125

إجابه:

3√0.125 ليست صيغة جذر ، لأن 3√0.125 = 0.5 (رقم نسبي)

السؤال 6.

5√49

إجابه:

5√49 هي صيغة الجذر.

أمثلة على المشكلات كيفية تبسيط أشكال الجذر

عبر عن الأرقام أدناه في أبسط صورة!

المشكلة 1.

√27

إجابه:

27 = -9 x√3 = 3√3

السؤال 2.

√99

إجابه:

99 = -9 x√11 = 3√11

مشكلة 3.

√50

إجابه:

50 = -25 × 2 = 5√2

المشكلة 4.

√96

إجابه:

96 = 16 × 6 = 4√3

السؤال 5.

4√44

إجابه:

4 x√44 = 4 x√4 x√11 = 4 x 2 x√11 = 8√11

السؤال 6.

2√500

إجابه:

2√500 = 2 × 5 × 100 = 2 × 18 × 5 = 20√5

أمثلة على عمليات الجمع والطرح للنماذج الجذرية

بسّط الأشكال التالية:

المشكلة 1.

3√7 + 5√7 –√7

إجابه:

3√7 + 5√7 –√7 = (3 + 5 -1)√7 = 7√7

السؤال 2.

5√2 – 2√8 + 4√18

إجابه:

=5√2 – 2√8 + 4√18

= 5√2–2 (4 x√2) + 4 (9 x√2)

= 5√2–2 (2 x√2) + 4 (3 x√2)

= 5√2–4√2) + 12√2

= (5–4 + 12)√2

= 13√2

أمثلة على عمليات الضرب مع الجذور

تبسيط الأشكال أدناه!

المشكلة 1.

(√7 –√5) (√7 +√5)

إجابه:

إذا كانت هناك أرقام يتم ضربها بنفس الطريقة ، فإن العمليات فقط هي مختلفة الجمع (+) والسالب (-) ، ثم نستخدم الصيغة مضروبًا في المقدمة ، وضربًا في الخلف ، على النحو التالي:

(أ + ب) (أ – ب) = أ 2 – ب 2

(√7 –5) (7 + √5) = (7 × 7) + (-5 × 5)

=√49 –√25

= 7-5

=12

السؤال 2.

(√3 –√2)2

إجابه:

نستخدم الصيغة(أ - ب) (أ - ب) = a2–2ab + b2 ، وبالتالي:

(√3 –√2)2= (√3 –√2) (√3 –√2)

= (√3 x√3) + (√3 x -2) + (-2 x√3) + (-2 x -2)

=√9 –√6 –√6 –√4

= 3–2√6 + 2

= 5 -2√6

مشكلة 3.

3√3 × 5√3 × 2√3

إجابه:

نستخدم الصيغة:

a√b x c√b x d√b = (a x c x d) (√b x√b x√b) = (a x c x d x b) √b

3√3 × 5√3 × 2√3 = (3 × 5 × 2 × 3) √3 = 90√3

وبالتالي مراجعة موجزة هذه المرة يمكننا أن ننقلها عن شكل الجذور الرياضية. نأمل أن يتم استخدام المراجعة أعلاه للشكل الجذري للرياضيات كمواد دراسية.