ثلاثة أنظمة متغيرة من المعادلات الخطية: الميزات والمكونات
ثلاثة أنظمة معادلات خطية متغيرة: الخصائص والمكونات وطرق الحل وأمثلة المشكلات – ما المقصود بنظام المعادلات الثلاثية المتغيرات بهذه المناسبة حول Knowledge.co.id سيناقشها وبالطبع الأشياء التي تحيط بها. دعنا نلقي نظرة على المناقشة في المقالة أدناه لفهمها بشكل أفضل.
جدول المحتويات
-
ثلاثة أنظمة معادلات خطية متغيرة: الخصائص والمكونات وطرق الحل وأمثلة المشكلات
- خصائص نظام من ثلاث معادلات خطية متغيرة
-
مكونات نظام ثلاثة متغيرات من المعادلات الخطية
- قبيلة
- عامل
- معامل في الرياضيات او درجة
- ثابت
-
طريقة حل نظام المعادلات الخطية ثلاثة متغيرات
- الطريقة المختلطة أو المركبة
- مثال على المشاكل
- شارك هذا:
- المنشورات ذات الصلة:
ثلاثة أنظمة معادلات خطية متغيرة: الخصائص والمكونات وطرق الحل وأمثلة المشكلات
نظام معادلة بثلاثة متغيرات أو يُختصر عادةً باسم SPLTV عبارة عن مجموعة من المعادلات الخطية التي تحتوي على ثلاثة متغيرات. تتميز المعادلة الخطية بأن أعلى قوة للمتغير في المعادلة هي واحد. بالإضافة إلى ذلك ، فإن الإشارة التي تربط المعادلة هي علامة التساوي.
في الهندسة المعمارية ، هناك حسابات رياضية لبناء المباني ، أحدها نظام من المعادلات الخطية. نظام المعادلات الخطية مفيد في تحديد إحداثيات نقطة التقاطع. الإحداثيات الدقيقة ضرورية لإنتاج مبنى يطابق الرسم التخطيطي. في هذه المقالة ، سنناقش نظام المعادلات الخطية ذو الثلاثة متغيرات (SPLTV).
نظام المعادلة الخطية ثلاثي المتغيرات- هو شكل ممتد لنظام المعادلة الخطية ذات المتغيرين (SPLDV). والتي تتكون في نظام معادلة خطية من ثلاثة متغيرات من ثلاث معادلات ، لكل منها ثلاثة متغيرات (مثل x و y و z).
يتكون نظام المعادلة الخطية من ثلاثة متغيرات من عدة معادلات خطية بثلاثة متغيرات. الشكل العام للمعادلة الخطية ثلاثية المتغيرات هو كما يلي.
الفأس + ب + تشيكوسلوفاكيا = د
a و b و c و d هي أعداد حقيقية ، لكن لا يمكن أن تكون a و b و c كلها 0. المعادلة لها العديد من الحلول. يمكن الحصول على حل واحد بافتراض أي قيمة في متغيرين لتحديد قيمة المتغير الثالث.
خصائص نظام من ثلاث معادلات خطية متغيرة
تسمى المعادلة نظامًا ثلاثي المتغيرات من المعادلات الخطية إذا كان لها الخصائص التالية:
- استخدام علاقة علامة التساوي (=)
- له ثلاثة متغيرات
- المتغيرات الثلاثة لها درجة واحدة (أس واحد)
مكونات نظام ثلاثة متغيرات من المعادلات الخطية
يحتوي على ثلاثة مكونات أو عناصر مرتبطة دائمًا بنظام معادلة خطية من ثلاثة متغيرات.
المكونات الثلاثة هي: المصطلحات والمتغيرات والمعاملات والثوابت. فيما يلي شرح لكل مكون من مكونات SPLTV.
قبيلة
المصطلح جزء من شكل جبري يتكون من المتغيرات والمعاملات والثوابت. يتم فصل كل مصطلح باستخدام علامات الترقيم الجمع والطرح.
مثال:
6 س - ص + 4 ع + 7 = 0 ، إذن شروط المعادلة هي 6 س و-ص و 4 ع و 7.
عامل
المتغير هو متغير أو بديل عن رقم يُشار إليه عمومًا باستخدام أحرف مثل x و y و z.
مثال:
تحتوي يوليسا على 2 تفاح و 5 مانجو و 6 برتقالات. إذا كتبناها في شكل معادلة ثم:
مثال: apple = x ، mango = y ، البرتقالي = z ، لذا فإن المعادلة هي 2x + 5y + 6z.
معامل في الرياضيات او درجة
المعامل هو رقم يعبر عن عدد من المتغيرات المتشابهة.
يُشار أيضًا إلى المعاملات على أنها أرقام أمام المتغير ، لأن كتابة معادلة المعامل تكون أمام المتغير.
مثال:
يحتوي جيلانج على 2 تفاح و 5 مانجو و 6 برتقال. إذا كتبناها في شكل معادلة ثم:
مثال: apple = x ، mango = y ، البرتقالي = z ، لذا فإن المعادلة هي 2x + 5y + 6z.
من هذه المعادلات ، يمكن ملاحظة أن 2 و 5 و 6 معاملات حيث 2 هو معامل x و 5 هو معامل y و 6 هو معامل z.
ثابت
الثابت هو رقم لا يتبعه متغير ، لذلك سيكون له قيمة ثابتة أو ثابتة بغض النظر عن قيمة المتغير أو المتغير.
مثال:
2x + 5y + 6z + 7 = 0 ، من المعادلة الثابت هو 7. لأن 7 القيمة ثابتة ولا تتأثر بأي متغير.
طريقة حل نظام المعادلات الخطية ثلاثة متغيرات
القيمة (x ، y ، z) هي مجموعة حلول لنظام معادلة خطية من ثلاثة متغيرات إذا كانت القيمة (x ، y ، z) تفي بالمعادلات الثلاث في SPLTV. يمكن تحديد مجموعة حلول SPLTV بطريقتين ، وهما طريقة الاستبدال وطريقة الحذف.
- طريقة الاستبدال
طريقة الاستبدال هي طريقة لحل نظام المعادلات الخطية عن طريق استبدال قيمة أحد المتغيرات من معادلة إلى أخرى. يتم تنفيذ هذه الطريقة حتى يتم الحصول على جميع القيم المتغيرة في نظام معادلة خطية من ثلاثة متغيرات.
طريقة الاستبدال أسهل في الاستخدام في SPLTV والتي تحتوي على معادلة بمعامل 0 أو 1. فيما يلي خطوات حل طريقة الاستبدال.
- أوجد معادلة لها أبسط صورة. المعادلات ذات أبسط صورة لها معاملات 1 أو 0.
- عبر عن أحد المتغيرات بدلالة متغيرين آخرين. على سبيل المثال ، يتم التعبير عن المتغير x في المتغير y أو z.
- استبدل القيم المتغيرة التي تم الحصول عليها في الخطوة الثانية في المعادلات الأخرى في SPLTV ، بحيث يتم الحصول على نظام من المعادلات الخطية ذات المتغيرين (SPLDV).
- تحديد حل SPLDV الذي تم الحصول عليه في الخطوة الثالثة.
- تحديد قيمة جميع المتغيرات غير المعروفة.
دعنا نجرب الأسئلة المثال التالية. حدد مجموعة الحلول لنظام المعادلات الخطية ذي المتغيرات الثلاثة أدناه.
س + ص + ض = -6... (1)
س - 2 ص + ض = 3... (2)
-2x + y + z = 9... (3)
أولاً ، يمكننا تحويل المعادلة (1) إلى z = -x - y - 6 إلى المعادلة (4). بعد ذلك ، يمكننا استبدال المعادلة (4) في المعادلة (2) على النحو التالي.
س - 2 ص + ض = 3
س - 2 ص + (-س - ص - 6) = 3
س - 2 ص - س - ص - 6 = 3
-3 ص = 9
ص = -3
بعد ذلك ، يمكننا استبدال المعادلة (4) في المعادلة (3) على النحو التالي.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2 س + ص - س - ص - 6 = 9
-3 س = 15
س = -5
لدينا قيم x = -5 و y = -3. يمكننا التعويض عنها في المعادلة (4) للحصول على قيمة z على النحو التالي.
اقرأ أيضا:صيغة حساب مساحة سطح الأنبوب بدون غطاء
ض = -x - ص - 6
ض = - (- 5) - (-3) - 6
ض = 5 + 3-6
ض = 2
إذن ، نحصل على مجموعة الحلول (x ، y ، z) = (-5، -3، 2)
- طريقة الاستبعاد
طريقة الحذف هي طريقة لحل نظام المعادلات الخطية عن طريق حذف أحد المتغيرات في معادلتين. يتم تنفيذ هذه الطريقة حتى يبقى متغير واحد.
يمكن استخدام طريقة الحذف في جميع أنظمة المعادلات الخطية ذات المتغيرات الثلاثة. لكن هذه الطريقة تتطلب خطوات طويلة لأن كل خطوة يمكن أن تزيل متغيرًا واحدًا فقط. مطلوب ما لا يقل عن 3 أضعاف طريقة الإزالة لتحديد مجموعة حلول SPLTV. هذه الطريقة أسهل عند دمجها مع طريقة الاستبدال.
خطوات الإنجاز باستخدام طريقة الحذف هي كما يلي.
- لاحظ المعادلات الثلاث في SPLTV. إذا كانت هناك معادلتان لهما نفس المعامل على نفس المتغير ، اطرح أو أضف المعادلتين بحيث يكون للمتغير معامل 0.
- إذا لم يكن أي من المتغيرات له نفس المعامل ، فاضرب كلا المعادلتين في الرقم الذي يجعل معاملات المتغير في كلتا المعادلتين متطابقة. اطرح أو اجمع المعادلتين بحيث يكون للمتغير معامل 0.
- كرر الخطوة 2 لأزواج المعادلات الأخرى. يجب أن يكون المتغير المحذوف في هذه الخطوة هو نفسه المتغير الذي تم حذفه في الخطوة 2.
- بعد الحصول على معادلتين جديدتين في الخطوة السابقة ، حدد مجموعة الحلول للمعادلتين باستخدام طريقة الحل لنظام المعادلات الخطية ذات المتغيرين (SPLDV).
- استبدل قيمة المتغيرين اللذين تم الحصول عليهما في الخطوة 4 في إحدى معادلات SPLTV بحيث يتم الحصول على قيمة المتغير الثالث.
سنحاول استخدام طريقة الحذف في المشكلة التالية. تحديد مجموعة حلول SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3 س + 2 ص + ع = 20... (2)
س + 4 ص + 2 ز = 15... (3)
يمكن تحديد مجموعة الحلول SPLTV بإلغاء المتغير z. أولاً ، اجمع المعادلتين (1) و (2) لتحصل على:
2 س + 3 ص - ع = 20
3 س + 2 ص + ع = 20 +
5 س + 5 ص = 40
س + ص = 8... (4)
ثم اضرب 2 في المعادلة (2) واضرب 1 في المعادلة (1) لتحصل على:
3 س + 2 ص + ع = 20 | س 2 6 س + 4 ص + 2 ز = 40
س + 4 ص + 2 ز = 15 | س 1 س + 4 ص + 2 ز = 15 –
5 س = 25
س = 5
بعد معرفة قيمة x ، استبدلها في المعادلة (4) على النحو التالي.
س + ص = 8
5 + ص = 8
ص = 3
عوّض بقيمتي x و y في المعادلة (2) على النحو التالي.
3 س + 2 ص + ع = 20
3 (5) + 2 (3) + ض = 20
15 + 6 + ع = 20
ض = -1
بحيث يكون حل مجموعة SPLTV (x، y، z) هو (5، 3، -1).
الطريقة المختلطة أو المركبة
الحل لنظام المعادلات الخطية باستخدام طريقة مركبة أو مختلطة هو طريقة للحل عن طريق الجمع بين طريقتين في وقت واحد.
الطرق المعنية هي طريقة الحذف وطريقة الاستبدال.
يمكن استخدام هذه الطريقة باستخدام طريقة الاستبدال أولاً أو بالحذف أولاً.
وهذه المرة سنجرب طريقة مركبة أو مختلطة بتقنيتين ، وهما:
احذف أولاً ثم استخدم طريقة الاستبدال.
استبدل أولاً ثم استخدم طريقة الحذف.
العملية هي نفسها تقريبًا كما في تسوية SPLTV باستخدام طريقة الإزالة وطريقة الاستبدال.
حتى تفهم المزيد حول كيفية حل SPLTV باستخدام هذا المزيج أو المزيج ، نقدم هنا بعض الأمثلة على الأسئلة ومناقشتها.
مثال على المشاكل
المشكلة 1.
حدد حل SPLTV المحدد أدناه باستخدام طريقة الاستبدال:
س - 2 ص + ض = 6
3 س + ص - 2 ع = 4
7 س - 6 ص - ض = 10
إجابه:
الخطوة الأولى هي تحديد أبسط معادلة أولاً.
من بين المعادلات الثلاث ، المعادلة الأولى هي الأبسط. من المعادلة الأولى ، حدد المتغير x كدالة لـ y و z على النحو التالي:
س - 2 ص + ض = 6
س = 2 ص - ض + 6
عوّض بالمتغير أو المتغير x في المعادلة الثانية
3 س + ص - 2 ع = 4
3 (2y - z + 6) + y - 2z = 4
6 ص - 3 ع + 18 + ص - 2 ز = 4
7 ص - 5 ع + 18 = 4
7 ص - 5 ز = 4-18
7y - 5z = –14 …………………. (1)
عوّض بالمتغير x في المعادلة الثالثة
7 س - 6 ص - ض = 10
7 (2y - z + 6) - 6y - z = 10
14 ص - 7 ع + 42 - 6 ص - ع = 10
8 ص - 8 ع + 42 = 10
8 ص - 8 ز = 10-42
8 ص - 8 ز = –32
ص - ض = –4... مكافئ. (2)
المعادلتان (1) و (2) تشكلان SPLDV y و z:
7 ص - 5 ز = –14
ص - ض = –4
ثم حل SPLDV أعلاه باستخدام طريقة الاستبدال. اختر واحدة من أبسط المعادلات. في هذه الحالة المعادلة الثانية هي أبسط معادلة.
من المعادلة الثانية نحصل على:
ص - ض = –4
ص = ض - 4
عوّض بالمتغير y في المعادلة الأولى
7 ص - 5 ز = –14
7 (ض - 4) - 5 ز = –14
7z - 28 - 5z = –14
2z = –14 + 28
2z = 14
ض = 14/2
ض = 7
استبدل قيمة z = 7 بأحد SPLDV ، على سبيل المثال y - z = –4 حتى نحصل على:
ص - ض = –4
ص - 7 = –4
ص = –4 + 7
ص = 3
بعد ذلك ، استبدل قيم y = 3 و z = 7 في واحدة من SPLTV ، على سبيل المثال x - 2y + z = 6 حتى نحصل على:
س - 2 ص + ض = 6
س - 2 (3) + 7 = 6
س - 6 + 7 = 6
س + 1 = 6
س = 6-1
س = 5
بهذه الطريقة ، نحصل على x = 5 و y = 3 و z = 7. بحيث يكون الحل المحدد لمشكلة SPLTV هو {(5، 3، 7)}.
من أجل التأكد من صحة قيم x و y و z التي تم الحصول عليها ، يمكننا معرفة ذلك عن طريق استبدال قيم x و y و z في أجهزة SPLTV الثلاثة أعلاه. من بين أمور أخرى:
المعادلة الأولى:
س - 2 ص + ض = 6
⇒ 5 – 2(3) + 7 = 6
⇒ 5 – 6 + 7 = 6
6 = 6 (صحيح)
المعادلة الثانية:
3 س + ص - 2 ع = 4
⇒ 3(5) + 3 – 2(7) = 4
⇒ 15 + 3 – 14 = 4
اقرأ أيضا:المتسلسلة الهندسية: التعريف والصيغ والخصائص وأمثلة على المشاكل
4 = 4 (صحيح)
المعادلة الثالثة:
7 س - 6 ص - ض = 10
⇒ 7(5) – 6(3) – 7 = 10
⇒ 35 – 18 – 7 = 10
10 = 10 (صحيح)
من البيانات أعلاه ، يمكن التأكد من أن قيم x و y و z التي نحصل عليها صحيحة وقد استوفت نظام المعادلات الخطية للمتغيرات الثلاثة المعنية.
السؤال 2.
بالنظر إلى نظام المعادلات الخطية:
(ط) x -3y + z = 8
(2) 2x = 3y-z = 1
(iii) 3x -2y -2z = 7
قيمة x + y + z هي
أ -1
ب. 2
ج. 3
د. 4
مناقشة:
من المعادلة (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (رابعا)
استبدال المعادلة (4) في المعادلة (2):
2 س + 3 ص - ع = 1
2 (3y - z + 8) + 3y - z = 1
6 ص - 2 ع + 16 + 3 ص - ع = 1
9 ص - 3 ع + 16 = 1
3 ع = 9 ص + 15
ض = 3 ص + 5... (الخامس)
المعادلة البديلة (4) في المعادلة (3):
3 س - 2 ص - 2 ز = 7
3 (3y - z + 8) - 2y - 2z = 7
9 ص - 3 ع + 24 - 2 ص - 2 ز = 7
7 ص - 5 ع + 24 = 7
5 ع = 7 ص + 24-7
5z = 7y + 17…. (السادس)
المعادلة البديلة (v) في المعادلة (vi):
5 ع = 7 ص + 17
5 (3y + 5) = 7y + 17
15 ص + 25 = 7 س + 17
15 ص - 7 ص = -25 + 17
8 ص = -8 ← ص = - 1 …. (السابع)
عوّض بقيمة y = - 1 في المعادلة (vi) للحصول على قيمة z.
5 ع = 7 ص + 17
5 ع = 7 (- 1) + 17
5 ع = - 7 + 17
5z = 10 ← ض = 2... (ثامنا)
عوّض بقيمة y = - 1 و z = 2 في المعادلة (i) لتحصل على قيمة x.
س - 3 ص + ض = 8
س - 3 (- 1) + 2 = 8
س + 3 + 2 = 8
س + 5 = 8
س = 8-5 → س = 3
يتم الحصول على قيم المتغيرات الثلاثة التي تتوافق مع نظام المعادلات ، وهي x = 3 و y = - 1 و z = 2.
إذن ، قيمة x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
الجواب: د
إعطاء نظام المعادلات الخطية
(ط) = س - 3 ص +
مناقشة:
من المعادلة (i) x - 3y + z = 8 → x = 3y - z + 8…. (رابعا)
استبدال المعادلة (4) في المعادلة (2):
2 س + 3 ص - ع = 1
2 (3y - z + 8) + 3y - z = 1
6 ص - 2 ع + 16 + 3 ص - ع = 1
9 ص - 3 ع + 16 = 1
3 ع = 9 ص + 15
ض = 3 ص + 5... (الخامس)
المعادلة البديلة (4) في المعادلة (3):
3 س - 2 ص - 2 ز = 7
3 (3y - z + 8) - 2y - 2z = 7
9 ص - 3 ع + 24 - 2 ص - 2 ز = 7
7 ص - 5 ع + 24 = 7
5 ع = 7 ص + 24-7
5z = 7y + 17…. (السادس)
المعادلة البديلة (v) في المعادلة (vi):
5 ع = 7 ص + 17
5 (3y + 5) = 7y + 17
15 ص + 25 = 7 س + 17
15 ص - 7 ص = -25 + 17
8y = -8 → y = - 1…. (السابع)
عوّض بقيمة y = - 1 في المعادلة (vi) للحصول على قيمة z.
5 ع = 7 ص + 17
5 ع = 7 (- 1) + 17
5 ع = - 7 + 17
5z = 10 → z = 2... (viii)
عوّض بقيمة y = - 1 و z = 2 في المعادلة (i) لتحصل على قيمة x.
س - 3 ص + ض = 8
س - 3 (- 1) + 2 = 8
س + 3 + 2 = 8
س + 5 = 8
س = 8-5 ← س = 3
يتم الحصول على قيم المتغيرات الثلاثة التي تتوافق مع نظام المعادلات ، وهي x = 3 و y = - 1 و z = 2.
إذن ، قيمة x + y + z = 3 + (-1) + 2 = 4.
الجواب: د
مشكلة 3.
حدد مجموعة الحلول لنظام المعادلات الخطية ذات المتغيرات الثلاثة أدناه باستخدام الطريقة المدمجة.
س + 3 ص + 2 ز = 16
2 س + 4 ص - 2 ز = 12
س + ص + 4 ع = 20
إجابه:
طريقة الاستبدال (SPLTV)
الخطوة الأولى هي تحديد أبسط معادلة. من المعادلات الثلاثة أعلاه ، يمكننا أن نرى أن المعادلة الثالثة هي أبسط معادلة.
من المعادلة الثالثة ، حدد المتغير z كدالة لـ y و z على النحو التالي:
س + ص + 4 ع = 20
س = 20 - ص - 4 ع... مكافئ. (1)
ثم ، استبدل المعادلة (1) أعلاه في أول SPLTV.
س + 3 ص + 2 ز = 16
(20 - ص - 4 ع) + 3 ص + 2 ع = 16
2 ص - 2 ع + 20 = 16
2 ص - 2 ز = 16-20
2y - 2z = –4
ص - ض = –2 ……………. بيرس. (2)
ثم ، استبدل المعادلة (1) أعلاه في SPLTV الثاني.
2 س + 4 ص - 2 ز = 12
2 (20 - ص - 4 ع) + 4 ص - 2 ع = 12
40 - 2y - 8z + 4y - 2z = 12
2 ص - 10 ع + 40 = 12
2 ص - 10 ز = 12-40
2y - 10z = –28 ………………. (3)
من المعادلة (2) والمعادلة (3) نحصل على SPLDV y و z على النحو التالي:
ص - ض = –2
2y - 10z = –28
طريقة القضاء (SPLDV)
للتخلص من y أو حذفه ، اضرب أول SPLDV في 2 بحيث يكون معامل y للمعادلتين هو نفسه.
بعد ذلك ، نفرق بين المعادلتين حتى نحصل على قيمة z كما يلي:
ص - ض = -2 | × 2 | → 2y - 2z = -4
2 ص - 10 ع = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8 ع = 24
ض = 3
للتخلص من z ، اضرب أول SPLDV في 10 بحيث يكون معامل z في كلتا المعادلتين هو نفسه.
ثم نطرح المعادلتين حتى نحصل على قيمة y كما يلي:
ص - ض = -2 | × 10 | → 10 ص - 10 ز = -20
2 ص - 10 ع = -28 | × 1 | → 2y - 10z = -28
__________ –
8 ص = 8
ض = 1
حتى هذه النقطة ، نحصل على قيمتي y = 1 و z = 3.
الخطوة الأخيرة هي تحديد قيمة x. تتمثل طريقة تحديد قيمة x في إدخال قيم y و z في أحد SPLTV. على سبيل المثال x + 3y + 2z = 16 لذلك سوف نحصل على:
س + 3 ص + 2 ز = 16
س + 3 (1) + 2 (3) = 16
س + 3 + 6 = 16
س + 9 = 16
س = 16-9
س = 7
بهذه الطريقة نحصل على قيم x = 7 و y = 1 و z = 3 بحيث تكون مجموعة حلول SPLTV من المشكلة أعلاه هي {(7، 1، 3)}.
هذا هو الاستعراض من حول Knowledge.co.id حولثلاثة نظام متغير للمعادلات الخطية, نأمل أن تضيف إلى بصيرتك ومعرفتك. شكرا لزيارتك ولا تنسى قراءة مقالات أخرى