الاستقراء الرياضي: المبادئ ، إثبات المتسلسلة ، الإفشاء

الاستقراء الرياضي: المبادئ ، وإثبات المتسلسلة ، وغير القابل للتجزئة ، والمعادلات وأمثلة المشكلات - هل هو استقراء رياضي بهذه المناسبة حول Knowledge.co.id سوف يناقش حول لعبة البيسبول والأشياء التي تحيط بها. دعنا نلقي نظرة على المناقشة في المقالة أدناه لفهمها بشكل أفضل.

الاستقراء الرياضي: المبادئ ، وإثبات المتسلسلة ، وغير القابل للتجزئة ، والمعادلات ، وأمثلة المشكلات

---

الاستقراء الرياضي هو طريقة إثبات استنتاجي تُستخدم لإثبات العبارات الرياضية المتعلقة بمجموعة مرتبة من الأرقام.

هذه الأرقام هي على سبيل المثال أرقام طبيعية ومجموعات فرعية غير فارغة من الأرقام الأصلي: يستخدم الاستقراء الرياضي فقط للتحقق أو إثبات صحة البيان أو الصيغة. والاستقراء الرياضي ليس اشتقاق الصيغ. لا يمكن استخدام الاستقراء الرياضي لاشتقاق أو إيجاد الصيغ.

فيما يلي بعض الأمثلة على العبارات الرياضية التي يمكن إثبات صحتها عن طريق الاستقراء الرياضي:

الفوسفور (ن): 2 + 4 + 6 +... + 2 ن = ن (ن + 1) ، ن أعداد طبيعية
ف (ن): 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لعدد n من الأعداد الطبيعية.
ف (ن): 4 ن <2^ن، لكل عدد طبيعي ن 4

1. P (m) صحيحة ، مما يعني أن n = m ، ثم P (n) صحيحة
2. لكل عدد طبيعي k m ، إذا كانت P (k) صحيحة ، فإن P (k + 1) صحيحة أيضًا.

لتوضيح أن P (1) صحيحة ، يكفي استبدال n = 1 في P (n).

إذا تم تقديم P (n) في شكل معادلة ، فهذا يعني أن الجانب الأيسر يجب أن يساوي الجانب الأيمن عند n = 1 ، ثم نستنتج أن P (1) صحيحة.

يمكننا تطبيق نفس الطريقة لإظهار أن P (m) صحيحة.

بالعودة مرة أخرى إلى حالة الدومينو أعلاه ، لكي يسقط الدومينو (k + 1) ، فإن أول شيء هو أن المجال k يجب أن يسقط.

ثم يليه المعنى الضمني "إذا سقط دومينو k فإن سقوط الدومينو (ك + 1)" يمكن أن يحدث.

لذلك ، لإظهار المعنى الضمني "إذا كانت P (k) صحيحة فإن P (k + 1) صحيحة" ، فيجب أن تكون خطوتنا الأولى هي افتراض أن P (k) صحيحة.

ثم بالنظر إلى هذه الافتراضات نظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا.

تسمى عملية افتراض أن P (k) صحيحة بفرضية الاستقراء.

لتوضيح أن P (k + 1) صحيح ، يمكننا أن نبدأ من الفرضية. أي من افتراض أن P (k) صحيحة أو من الاستنتاج ، أي من P (k + 1) نفسها.

يمكن إثبات الاستقراء الرياضي بالترتيب التالي:

• الخطوة الأولية: إظهار P (1) صحيح.
• خطوة الاستقراء: افترض أن P (k) صحيحة لأي عدد طبيعي k ، ثم أظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا بناءً على هذه الافتراضات.
• الخلاصة: P (n) صحيحة لكل عدد طبيعي n.

---

سلسلة إثبات

قبل الدخول في إثبات السلسلة ، هناك العديد من الأشياء التي يجب مراعاتها بعناية فيما يتعلق بالسلسلة. من بين أمور أخرى:

إذا

ف (ن): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ن = S._ن، ومن بعد
ص (1): ش₁ = S.₁
ف (ك): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ك = S._ك
ف (ك + 1): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ك + ش_{ك + 1} = S._{ك + 1}

• مثال 1:

برهن على 2 + 4 + 6 +... + 2n = n (n + 1) ، لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

إجابه:
ف (ن): 2 + 4 + 6 +... + 2 ن = ن (ن + 1)

سنثبت أن P (n) صحيحة لكل n N

خطوة أولية:

إظهار P (1) صحيح
2 = 1(1 + 1)

حتى نحصل على ، P (1) صحيحة

خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
2 + 4 + 6 +... + 2 ك = ك (ك + 1) ، ك ن

سيظهر أن P (k + 1) صحيح أيضًا ، أي:
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 1 + 1)

من الافتراضات المذكورة أعلاه ثم:
2 + 4 + 6 +... + 2k = ك (ك + 1)

أضف كلا الجانبين مع u_{ك + 1} :
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = ك (ك + 1) + 2 (ك + 1)
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 2)
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 1 + 1)

إذن ، P (k + 1) صحيحة

استنادًا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) صحيحة لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

• المثال 2:

اثبت ذلك 1 + 3 + 5 +... + (2 ن 1) = ن² هذا صحيح ، لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

إجابه:
ف (ن): 1 + 3 + 5 +... + (2 ن 1) = ن²

ثم سيظهر أن P (n) صحيحة لكل n N

• خطوة أولية:
  سيظهر P (1) صحيحًا
  1 = 1²

إذن ، P (1) صحيحة

• خطوة الاستقراء:
  افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
  1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) = ك²، ك ن

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) + (2 (ك + 1) 1) = (ك + 1)²

من الافتراضات المذكورة أعلاه ثم:
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) = ك²

أضف كلا الجانبين مع u_{ك + 1} :
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) + (2 (ك + 1) 1) = ك² + (2 (ك + 1) 1)
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) + (2 (ك + 1) 1) = ك² + 2 ك + 1
1 + 3 + 5 +... + (2 ك 1) + (2 (ك + 1) 1) = (ك + 1)²

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

استنادًا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) صحيحة لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

---

إثبات التقسيم

العبارة "أ قابلة للقسمة على ب" وهي مرادفة لـ:

• من مضاعفات ب
• ب عامل
• ب يقسم أ

إذا كانت p قابلة للقسمة على a وكانت q قابلة للقسمة على a ، فسيكون (p + q) أيضًا قابلاً للقسمة على a.

على سبيل المثال ، 4 قابلة للقسمة على 2 و 6 قابلة للقسمة على 2 ، لذلك (4 + 6) قابلة للقسمة أيضًا على 2

• مثال 1:

إثبات 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لكل n أعداد طبيعية.

إجابه:

ف (ن): 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5

سنثبت أن P (n) صحيحة لكل n N.

• خطوة أولية:

سيظهر P (1) صحيحًا
6¹ + 4 = 10 يقبل القسمة على 5

إذن ، P (1) صحيحة

• خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
6^ك + 4 يقبل القسمة على 5، k N

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
6^{ك + 1} + 4 يقبل القسمة على 5.

6^{ك + 1} + 4 = 6(6^ك)+ 4
6^{ك + 1} + 4 = 5(6^ك) + 6^ك + 4

السبب 5 (6^ك) يقبل القسمة على 5 و 6^ك + 4 يقبل القسمة على 5 ، لذا فإن 5 (6^ك) + 6^ك + 4 سيكون أيضًا قابلاً للقسمة على 5.

إذن ، P (k + 1) صحيحة.

بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، من الواضح أن 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لكل n أعداد طبيعية.

العدد الصحيح a سيكون قابلاً للقسمة على العدد الصحيح b إذا تم العثور على عدد صحيح m ، لذلك يتم تطبيق a = bm.

على سبيل المثال ، "10 قابلة للقسمة على 5" تكون صحيحة نظرًا لوجود أعداد صحيحة م = 2 لذا 10 = 5.2.

لذلك ، فإن العبارة "10 قابلة للقسمة على 5" يمكننا كتابتها كـ "10 = 5m ، للأعداد الصحيحة m"

بناءً على المفهوم أعلاه ، يمكن أيضًا حل إثبات القابلية للقسمة باستخدام الطريقة التالية.

• المثال 2:

يثبت³ + 2n ستكون قابلة للقسمة على 3 ، لكل n أعداد طبيعية

إجابه:

ف (ن): ن³ + 2 ن = 3 م ، حيث م ضض

سنثبت أن P (n) صحيحة لكل n نن

• خطوة أولية:

سيظهر أن P (1) صحيحة
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

إذن ، P (1) صحيحة

• خطوة الاستقراء:

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
ك³ + 2 ك = 3 م ، ك نن

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 ص ، ص ضض

(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = (ك³ + 3 ك² + 3 ك + 1) + (2 ك + 2)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = (ك³ + 2 ك) + (3 ك² + 3 ك + 3)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 م + 3 (ك² + ك + 1)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 (م + ك² + ك + 1)

بما أن م عدد صحيح و ك عدد طبيعي ، إذن (م + ك² + k + 1) عدد صحيح.

على سبيل المثال ص = (م + ك² + k + 1) ، بحيث:
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 ص ، حيث ص ضض

إذن ، P (k + 1) صحيحة

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي أعلاه ، ثبت أن n³ + 2n ستكون قابلة للقسمة على 3 ، لكل n أعداد طبيعية.

---

إثبات عدم المساواة

فيما يلي بعض خصائص عدم المساواة التي يتم استخدامها غالبًا ، بما في ذلك:

1. خصائص متعدية
أ> ب> ج أ> ج أو
أ

2. a 0 ac a> b و c> 0 ac> bc

3. أ أ> ب أ + ج> ب + ج

قبل أن ندخل في أمثلة الأسئلة ، من الأفضل أن نتدرب أولاً باستخدام الخصائص المذكورة أعلاه لإظهار المعنى الضمني "إذا كانت P (k) صحيحة ، فإن P (k + 1) صحيحة أيضًا".

مثال

ف (ك): 4k <2^ك
ف (ك + 1): 4 (ك + 1) <2^{ك + 1}

إذا افترضنا أن P (k) صحيحة لـ k 5 ، فعليك أن توضح أن P (k + 1) صحيحة أيضًا!

تذكر أن هدفنا هو العرض ، لذلك:
4 (ك + 1) <2^{ك + 1} = 2(2^ك) = 2^ك + 2^ك (استهداف)

يمكننا أن نبدأ من الجانب الأيسر من المتباينة أعلاه على النحو التالي:
4 (ك + 1) = 4 كيلو + 4
4 (ك + 1) <2^ك + 4 (لأن 4k <2^ك)
4 (ك + 1) <2^ك + 2^ك (لأن 4 <4k <2^ك)
4 (ك + 1) = 2 (2^ك)
4 (ك + 1) = 2^{ك + 1}

بناءً على الخصائص متعدية ، يمكننا أن نستنتج أن 4 (ك + 1) <2^{ك + 1}

لماذا يمكن أن يتحول 4k إلى 2^ك ?

لأنه وفقًا للخاصية 3 ، يُسمح لنا بإضافة طرفي متباينة بنفس العدد.

لأنه لن يغير القيمة الحقيقية لعدم المساواة. تسبب 4k <2^ك صحيح ، والذي ينتج عنه 4k + 4 <2^ك +4 صحيح أيضًا.

كيف نعلم أنه يجب تغيير 4 إلى 2^ك ?

انتبه للأهداف.

النتيجة المؤقتة التي نحصل عليها هي 2^ك + 4 بينما هدفنا هو 2^ك + 2^ك.

بالنسبة إلى k 5 ، ثم 4 <4k و 4 k <2^ك وهذا صحيح ، لذا 4 <2^ك هو أيضًا صحيح (خاصية متعدية). ينتج عن هذا 2^ك + 4 < 2^ك + 2^ك صحيح (خاصية 3).

مثال على المشاكل

مشكلة 1

إثبات ذلك لكل عدد طبيعي ن 4 وتطبيقه
3n <2^ن

إجابه:

ف (ن): 3 ن <2^ن

سنثبت أن P (n) تحمل قيمة n 4، n نن

سيظهر أن P (4) صحيح
3.4 = 12 < 2⁴ = 16

إذن ، P (4) صحيحة

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
3 ك <2^ك، ك 4

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
3 (ك + 1) <2^{ك + 1}

3 (ك + 1) = 3 ك + 3
3 (ك + 1) <2^ك + 3 (لأن 3 كيلو <2^ك)
3 (ك + 1) <2^ك + 2^ك (لأن 3 <3 كيلو <2^ك)
3 (ك + 1) = 2 (2^ك)
3 (ك + 1) = 2^{ك + 1}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا.

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n 4.

المشكلة 2

اثبت ذلك .

مناقشة:

• الخطوة 1

(مثبت)

• الخطوة 2 (ن = ك)

• الخطوة 3 (ن = ك + 1)

.

(كلا الجانبين يضيف .

{مثبت).

مشكلة 3

اثبت ذلك لكل عدد طبيعي ن 2 وطبق 3^ن > 1 + 2n

إجابه:

ف (اسم): 3^ن > 1 + 2n

سنثبت أن P (n) تحمل قيمة n 2، n نن

سوف تظهر أن P (2) صحيحة وهي:
3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

إذن ، P (1) صحيحة

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
3^ك > 1 + 2 ك، ك 2

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي
3^{ك + 1} > 1 + 2 (ك + 1)

3^{ك + 1} = 3(3^ك)
3^{ك + 1} > 3 (1 + 2 كيلو) (لأن 3^ك > 1 + 2 ك)
3^{ك + 1} = 3 + 6 كيلو
3^{ك + 1} > 3 + 2 كيلو (لأن 6 كيلو> 2 كيلو)
3^{ك + 1} = 1 + 2 ك + 2
3^{ك + 1} = 1 + 2 (ك + 1)

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n 2.

اثبت ذلك

مناقشة:

• الخطوة 1

(مثبت)

• الخطوة 2 (ن = ك)

• الخطوة 3 (ن = ك + 1)

تم إثباته بواسطة:

(كلا الجانبين مضروب في )

(2^ك معدلة إلى 2^{ك + 1})

(مثبت)

السؤال 4

اثبت أن لكل عدد طبيعي ن 5 ، 2 ن 3 <2^{ن -2}

إجابه:

ف (ن): 2 ن 3 <2^{ن -2}

سنثبت أن P (n) تنطبق على n 5، n نن

سيظهر أن P (5) صحيحة
2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

إذن ، P (1) صحيحة

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:
2 ك 3 <2^{ك -2}، ك 5

سيظهر أن P (k + 1) صحيح أيضًا ، وهي:
2 (ك + 1) 3 <2^{ك + 1-2}

2 (ل + 1) 3 = 2 ك + 2 3
2 (ل + 1) 3 = 2 ك 3 + 2
2 (ك + 1) 3 <2^{ك -2} + 2 (سبب 2k 3 <2^{ك -2})
2 (ك + 1) 3 <2^{ك -2} + 2^{ك -2} (السبب 2 <2k 3 <2^{ك -2})
2 (ل + 1) 3 = 2 (2^{ك -2})
2 (ل + 1) 3 = 2^{ك + 1-2}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n 5.

المشكلة 5:

اثبت لكل عدد طبيعي ن 4 وطبق (ن + 1)! > 3^ن

إجابه:

ف (ن): (ن + 1)! > 3^ن

سنثبت أن P (n) تحمل قيمة n 4، n نن

سيظهر P (4) صحيحًا
(4 + 1)! > 3⁴
الجانب الأيسر: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
الجانب الأيمن: 3⁴ = 81

إذن ، P (1) صحيحة

افترض أن P (k) صحيحة ، وهي:

(ك + 1)! > 3^ك، ك 4

سنبين أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي
(ك + 1 + 1)! > 3^{ك + 1}

(ك + 1 + 1)! = (ك + 2)!
(ك + 1 + 1)! = (ك + 2) (ك + 1)!
(ك + 1 + 1)! > (ك + 2) (3^ك) (سبب (ك + 1)! > 3^ك)
(ك + 1 + 1)! > 3(3^ك) (سبب ك + 2> 3)
(ك + 1 + 1)! = 3^{ك + 1}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا.

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n 4.

هذا هو الاستعراض من حول Knowledge.co.id حول الاستنتاج الرياضي , نأمل أن تضيف إلى بصيرتك ومعرفتك. شكرا لزيارتك ولا تنسى قراءة مقالات أخرى