الدوال المشتقة الجبرية: الصيغ والتطبيقات والتدوين وضرب القسمة على دالتين وأمثلة للمسائل

August 30, 2023
فيسياسة الروابط اتصال

click fraud protection

صيغة مشتقة الدالة

تذكر إذا و(س)س^ن ، لذا:

$f'(x)\frac{df (x)}{dx} \frac{dx^n}{dx} nx^n-1$

لأن و (س) (ش (خ)) ^ نو ^ ن ، لذا:

$f'(x) \frac{df (x)}{dx} \frac{du^n}{dx} \cdot \frac{du}{du}$

أو

$f'(x) \frac{du^n}{du} \cdot \frac{du}{dx} nu^{n-1} \cdot u'$

وبالتالي فإن صيغة مشتق الدالة هي:

$f'(x) نو^(n-1) \cdot u'$

الصيغ المشتقة لعلم المثلثات

بناءً على تعريف المشتقة، يمكننا الحصول على عدة صيغ لمشتقات علم المثلثات، وهي كما يلي: (مع u و v كل دالة لـ x)، من بين أمور أخرى: y' =

ص = الخطيئة س → ص ' = جتا س
ص = كوس س → ص '= -الخطيئة س
ص = تان س → ص '= ثانية²س
y = المهد x → y' = -csc²س
ص = ثانية س → ص'
y = csc x → y' = csc × cot x
ذ = الخطيئة^نxy' = ن الخطيئة^ن-1× كوس س
ذ = كوس^نx → y' = -n cos^ن-1× الخطيئة ×
y = sin u → y' = u' cos u
y = cos u → y' = u' sin u
y = tan u → y' = ui ثانية²ش
y = cot u → y' = -u' csc²ش
y = ثانية u → y' = u' ثانية u tan u
y = csc u → y' = u' csc u cot u
ذ = الخطيئة^نu → y' = n.u' خطيئة^ن-1كوس ش
ذ = كوس^ن u → y' = -n.u' cos^ن-1. الخطيئة ش

تطبيقات المشتقات

يحدد تدرج المماس للمنحنى

يتم صياغة تدرج المماس (m) للمنحنى y = f (x) على النحو التالي:

معادلة المماس للمنحنى y = f (x) عند نقطة التماس (س_1، ص_1) صيغت على النحو التالي:

$y - y_1 m (x - x_1) \rightarrow m f'(x_1)$

تحديد الفاصل الزمني للوظائف المتزايدة والتناقصية
- شرط زيادة الفاصل الزمني للدالة $\ السهم الأيمن f'(x) 0$
- مصطلح الفاصل الزمني للوظيفة التنازلية $\ السهم الأيمن f'(x) 0$
يحدد القيمة الثابتة للدالة ونوعها

instagram viewer

إذا كانت الدالة y = f (x) متصلة وقابلة للتفاضل عند x = a وf'(x) = 0، فإن الدالة لها قيمة ثابتة عند x = a. يمكن أن يكون نوع القيمة الثابتة للدالة y = f(x) هو الحد الأدنى لقيمة الإرجاع أو الحد الأقصى لقيمة الإرجاع أو قيمة التصريف. يمكن تحديد هذا النوع من القيمة الثابتة باستخدام المشتق الثاني للدالة.

- القيمة القصوى $\ السهم الأيمن f'(x) 0$ و $\ السهم الأيمن f$

لو و '(x_1) 0 و ، لذا هي الحد الأقصى لقيمة الإرجاع للدالة y = f(x) والنقطة (x_1f(x)) هي نقطة التحول القصوى لمنحنى y = f(x).

- الحد الأدنى للقيمة $\ السهم الأيمن f'(x) 0$ و

لو و '(x_1) 0 و ، لذا و (x_1) هو الحد الأدنى لقيمة الإرجاع للدالة ص و (خ) و نقطة (x_1f(x)) هي أدنى نقطة تحول لمنحنى y = f(x).

- بدوره القيمة $\ السهم الأيمن f'(x) 0$ و

لو و '(x_1) 0 و و ''(x_1 0) ، لذا و (x_1) هي قيمة انعطاف الدالة y = f(x) والنقطة (x_1f(x)) هي نقطة انعطاف منحنى y = f(x).

حل مسائل الحد ذات الشكل غير المحدد $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$

لو $\lim \limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)}$ هو نهاية الشكل غير المحدد $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$ ، ثم يمكن للحل استخدام المشتقات، وهي f (x) و g (x) مشتقة على التوالي.

$\lim\limits_{x\to a}\frac{f (x)}{g (x)} \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \frac {f'(a)}{g'(a)}$

إذا أنتجت المشتقة الأولى صورة معينة، فإن تلك الصورة المحددة هي الحل. ولكن إذا كان المشتق الأول لا يزال ينتج شكلاً غير محدد، فسيتم تخفيض f(x) وf(x) مرة أخرى على التوالي حتى يتم الحصول على نتيجة شكل معين. طريقة الحل هذه تسمى نظرية لوبيتال.

تحديد صيغة السرعة والتسارع

إذا كانت الصيغة أو المعادلة لموضع حركة الجسم كدالة للزمن معروفة، وهي s = f (t)، فيمكن تحديد صيغة السرعة والسرعة المتجهة، وهي:

- صيغة السرعة $\rightarrow v s' f'(t)$
- صيغة التسارع $\rightarrow a s' f$

تدوين مشتق

يتم تعريف مشتق الدالة f(x) بالنسبة إلى x بواسطة:

بشرط وجود الحد.

يمكننا الإشارة إلى المشتق الأول للدالة y = f (x) عند x كما يلي:

y' = f'x ⇒ لاجرانج
⇒ لايبنتز
د_سص = د_س[f(x)]⇒ أويلر

من التعريف أعلاه، يمكننا استخلاص عدة صيغ مشتقة على النحو التالي:

و(س) = ك ⇒ و'(س) = 0
و(س) = ك س ⇒ و'(س) = ك
و(خ) = س^ن ⇒ f'(x) = nx^ن-1
و (x) = ك u (x) ⇒ و '(x) = ك u'(x)
f (x) = u (x) ± v (x) ⇒ f '(x) = u'(x) ± v'(x)

مع ك = ثابت

خذ بعين الاعتبار بعض الأمثلة التالية:

و(س) = 5 ⇒ و'(س) = 0
و(س) = 2س ⇒ و'(س) = 2
و(خ) = س² ⇒ f'(x) = 2x^2-1= 2x
ص = 2س⁴ ⇒ ص' = 2. 4x^4-1= 8x³
ص = 2س⁴ + س² − 2x ⇒ y' = 8x³ +2x−2

لإيجاد مشتقة دالة تحتوي على جذور أو كسور، الخطوة الأولى التي يتعين علينا القيام بها هي تغيير الدالة أولًا إلى الصورة الأسية.

فيما يلي بعض خصائص الجذور والأسس التي يتم استخدامها غالبًا، من بين أمور أخرى:

س^م. س^ن = س^م+ن
س^م/x^ن = س^{م ن}
1/س^ن = س^-ن
√س = س^1/2
^ن√xm = س^{م ن}

مثال:

المشكلة 1.

أوجد مشتقة f (x) = x√x

إجابة:

و(س) = س√س = س. س^1/2= س^3/2

و(خ) = س^3/2 →

المشكلة 2.

تحديد مشتقة

إجابة:

الدوال المشتقة الجبرية: الصيغ والتطبيقات والتدوين وضرب القسمة على دالتين وأمثلة للمسائل

مشتقات الضرب والقسمة لوظيفتين

لنفترض أن y = uv، فيمكن التعبير عن مشتق y على النحو التالي:

ص' = u'v + الأشعة فوق البنفسجية'

لنفترض أن y = u/v، فيمكن التعبير عن مشتق y على النحو التالي:

مثال المشاكل.

المشكلة 1.

مشتقة f (x) = (2x + 3)(x² + 2) وهي:

إجابة:

على سبيل المثال:

ش = 2س + 3 ⇒ ش' = 2
الخامس = س² + 2 ⇒ v' = 2x

و'(س) = ش' ت + ش v'
و'(س) = 2(س² + 2) + (2س + 3) 2س
و'(س) = 2س² +4 +4x² +6x
و'(س) = 6س² +6x +4

قاعدة السلسلة

إذا كانت y = f (u)، حيث u هي دالة يمكن اشتقاقها بالنسبة إلى x، فيمكن التعبير عن مشتق y بالنسبة إلى x بالشكل: دذدس=دذدش×دشدس

من مفهوم قاعدة السلسلة أعلاه، إذن لـ y = u^ن، سيتم الحصول على: دذدس=د(شن)دش×دشدس

ذ′=نشن−1.ش′

وبشكل عام يمكن القول بما يلي:

إذا كان f(x) = [u(x)]^ن حيث u (x) هي دالة يمكن اشتقاقها بالنسبة إلى x، إذن: F′(س)=ن[ش(س)]ن−1.ش′(س)

من مفهوم قاعدة السلسلة أعلاه، إذن لـ y = u^ن، سوف تحصل:

وبشكل عام يمكن القول بما يلي:

إذا كان f (x) = [u (x)]^ن حيث u (x) هي دالة يمكن اشتقاقها من x، إذن:

و'(س) = ن[ش (س)]^ن-1. ش'(خ)

مثال المشاكل.المشكلة 1.

أوجد مشتقة f (x) = (2x + 1)⁴

إجابة:

على سبيل المثال:

ش(س) = 2س + 1 ⇒ ش'(س) = 2
ن = 4
و '(س) = ن[ش (س)]^ن-1. ش'(خ)
و'(س) = 4(2س + 1)^4-1. 2
و'(س) = 8(2س + 1)³

المشكلة 2.

أوجد مشتقة y = (x²- 3x)⁷

إجابة :

ص' = 7(س²- 3x)^7-1. (2س - 3)
ص' = (14س - 21). (x²- 3x)⁶

أسئلة سبيل المثال والمناقشة

المشكلة 1

المشتق الأول من $و (س) 4 \sqrt{2x^3 - 1}$ يكون

المناقشة 1:

هذه المشكلة هي دالة بالصيغة y = au^n والتي يمكن حلها باستخدام الصيغة $y ' n \cdot a \cdot u^{n-1} \cdot u'$ . لذا:

$f (x) 4 \sqrt{2x^3-1} 4(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}$

بحيث يكون المشتق:

$f'(x) \frac{1}{2} \cdot 4(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 6x^2$

$2(2x^3-1) \cdot 6x^2$

$12x^2(2x^3-1)^{-\frac{1}{2}}$

$\frac{12x^2}{(2x^3-1)^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{12^2}{\sqrt{2x^3-1}}$

المشكلة 2

أوجد المشتقة الأولى لـ

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{\sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

المناقشة 2:

لحل هذه المشكلة، استخدم الصيغة المختلطة، وهي $f'(x) \frac{u'v-uv'}{v^2}$ و أيضا $y' n \cdot u' \sin^{n-1}u \cdot \cos u$ . لهذا السبب:

$f (x) \frac{6}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\pi}{5})}}$

$f (x) \frac{6}{(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{1}{2}}}$

$f'(x) \frac{0 - 6 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3}(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^{- \frac{2}{ 3}} \cdot \cos (3x - \frac{\pi}{5})}{(\sin (3x - \frac{\pi}{5}))^\frac{2}{3}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-\frac{2}{3}}.cos (3x-\frac{\pi}{) 5})}{(الخطيئة (3x-\frac{\pi}{5}))^{\frac{2}{3}}}. $$ $ -\frac{1}{3}}}$

$f'(x) \frac{-6(sin (3x-\frac{\pi}{5}))^{-1} cos (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[ 3] {الخطيئة (3x-\frac{\pi}{5}})}$

$f'(x) \frac{-6cot (3x-\frac{\pi}{5})}{\sqrt[3]{sin (3x-\frac{\frac{\pi}{5})}}$

المشكلة 3

تحديد القيمة القصوى ل و (س) س^3 - 6x^2 + 9x على الفاصل الزمني -1 ≥ x ≥ 3.

المناقشة 3:

تذكر أن القيمة القصوى للدالة f (x) هي و '(خ) 0 و لذا:

$و_ {ماكس}$ لو

و س_1 1 و س_2 3

$f_{max} f (1) 1^3 - 6.1^2 + 9.1$

$و_{ماكس} 4$

المشكلة 4.

مشتق f (x) = (x – 1)²(2س + 3) هو...

إجابة:

على سبيل المثال:

ش = (س − 1)² ⇒ ش' = 2س − 2
الخامس = 2س + 3 ⇒ الخامس' = 2

و'(خ) = ش'ف + الأشعة فوق البنفسجية'
و '(x) = (2x − 2)(2x + 3) + (x − 1)². 2
و '(س) = 4x² + 2x − 6 + 2(x² - 2س + 1)
و '(س) = 4x² + 2x − 6 + 2x² - 4س + 2
و'(س) = 6س² − 2x − 4
و '(x) = (x − 1)(6x + 4) أو
و '(س) = (2س − 2)(3س + 2)

المشكلة 5.

إذا كانت f (x) = x² – (1/x) + 1، فإن f'(x) =... .

أ س – س²
ب. س + س²
ج. 2س - س^-2 + 1
د. 2س - س² – 1
ه. 2س + س^-2

إجابة:

و(خ) = س² - (1/س) + 1

= س² – س^-1 + 1

f'(x) = 2x -(-1)x^-1-1

= 2س + س^-2

الجواب: ه

وبالتالي المراجعة من حول المعرفة.co.id عن مشتقة من الوظائف الجبرية, نأمل أن تضيف إلى البصيرة والمعرفة الخاصة بك. شكرا لكم على الزيارة ولا تنسوا قراءة المقالات الأخرى

الدوال المشتقة الجبرية: الصيغ والتطبيقات والتدوين وضرب القسمة على دالتين وأمثلة للمسائل

صيغة مشتقة الدالة

الصيغ المشتقة لعلم المثلثات

تطبيقات المشتقات

يحدد تدرج المماس للمنحنى

تحديد الفاصل الزمني للوظائف المتزايدة والتناقصية

يحدد القيمة الثابتة للدالة ونوعها

حل مسائل الحد ذات الشكل غير المحدد أو

تحديد صيغة السرعة والتسارع

تدوين مشتق

مشتقات الضرب والقسمة لوظيفتين

قاعدة السلسلة

أسئلة سبيل المثال والمناقشة

حل مسائل الحد ذات الشكل غير المحدد $\frac{0}{0}$ أو $\frac{\infty}{\infty}$