الاستقراء الرياضي: المبادئ ، وإثبات المتسلسلة ، والقسمة ، والمعادلات ، وأمثلة المشكلات

الاستقراء الرياضي: المبادئ ، وإثبات المتسلسلة ، والقسمة ، والمعادلات ومثال المشكلات - ما هو الاستقراء الرياضي؟ في هذه الفرصة حول Knowledge.co.id سيناقش حول Kasti Ball والأشياء التي تحيط به. دعنا نلقي نظرة على المناقشة في المقالة أدناه لفهمها بشكل أفضل.

الاستقراء الرياضي: المبادئ ، وإثبات المتسلسلة ، والقسمة ، والمعادلات ، وأمثلة المشكلات

---

الاستقراء الرياضي هو طريقة إثبات استنتاجي تُستخدم لإثبات العبارات الرياضية المتعلقة بمجموعة من الأرقام مرتبة بطريقة منظمة.

هذه الأرقام هي على سبيل المثال أرقام طبيعية أو مجموعات فرعية غير فارغة من الأرقام الأصلي: يستخدم الاستقراء الرياضي فقط للتحقق أو إثبات صحة البيان أو الصيغة. والاستقراء الرياضي ليس لاشتقاق الصيغ. لا يمكن استخدام الاستقراء الرياضي لاشتقاق أو إيجاد الصيغ.

فيما يلي بعض الأمثلة على العبارات الرياضية التي يمكن إثبات صحتها عن طريق الاستقراء الرياضي:

P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) ، n عدد طبيعي
ف (ن): 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لعدد n من الأعداد الطبيعية.
ف (ن): 4 ن <2^ن، لكل عدد طبيعي ن ≥ 4

1. P (m) صحيحة ، مما يعني أنه بالنسبة إلى n = m ، فإن P (n) صحيحة
2. لكل عدد طبيعي k ≥ m ، إذا كانت P (k) صحيحة ، فإن P (k + 1) صحيحة أيضًا.

لإثبات أن P (1) صحيحة ، يكفي استبدال n = 1 بـ P (n).

إذا تم تقديم P (n) في شكل معادلة ، فهذا يعني أن الجانب الأيسر يجب أن يساوي الجانب الأيمن عند n = 1 ، ثم نستنتج أن P (1) صحيحة.

يمكننا تطبيق نفس الطريقة لإظهار أن P (m) صحيحة.

بالعودة إلى حالة الدومينو أعلاه ، لكي يسقط الدومينو (k + 1) ، يجب أن يسقط الدومينو الأقدم.

ثم يليه المعنى الضمني "إذا سقط دومينو k ، فإن سقوط الدومينو (ك + 1)" يمكن أن يحدث.

لذلك ، لإظهار المعنى الضمني "إذا كانت P (k) صحيحة ، فإن P (k + 1) صحيحة" ، فيجب أن تكون خطوتنا الأولى هي افتراض أن P (k) صحيحة.

ثم بالنظر إلى هذه الافتراضات نظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا.

تسمى عملية افتراض أن P (k) صحيحة بفرضية الاستقراء.

لتوضيح أن P (k + 1) صحيحة ، يمكننا البدء من الفرضية. أي من افتراض أن P (k) صحيحة أو من الاستنتاج ، أي من P (k + 1) نفسها.

يمكن إثبات الاستقراء الرياضي بالترتيب التالي:

• الخطوة الأولية: إظهار P (1) صحيح.
• خطوة الاستقراء: افترض أن P (k) صحيحة لأي عدد طبيعي k ، ثم أظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا بناءً على هذا الافتراض.
• الخلاصة: P (n) صحيحة لكل عدد طبيعي n.

---

دليل على السلسلة

قبل الدخول في إثبات السلسلة ، هناك العديد من الأشياء التي يجب مراعاتها بعناية فيما يتعلق بالسلسلة. من بين أمور أخرى:

لو

ف (ن): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ن = S._ن، لذا
ص (1): ش₁ = S.₁
ف (ك): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ك = S._ك
ف (ك + 1): ش₁ + ش₂ + ش₃ +… + ش_ك + ش_{ك + 1} = S._{ك + 1}

• مثال 1:

أثبت أن 2 + 4 + 6 +... + 2n = n (n + 1) ، لكل عدد n من الأعداد الطبيعية.

إجابة:
ف (ن): 2 + 4 + 6 +... + 2 ن = ن (ن + 1)

سيتم إثبات أن P (n) صحيحة لكل n ∈ N

خطوة أولية:

يظهر أن P (1) هو الصحيح
2 = 1(1 + 1)

لذلك تم الحصول عليها ، P (1) صحيحة

خطوة الاستقراء:

لنفترض أن P (k) تكون صحيحة ، وهي:
2 + 4 + 6 +... + 2 ك = ك (ك + 1) ، ك ∈ شمال

سوف يُظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي:
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 1 + 1)

من الافتراضات أعلاه إذن:
2 + 4 + 6 +... + 2k = ك (ك + 1)

أضف كلا الجانبين مع u_{ك + 1} :
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = ك (ك + 1) + 2 (ك + 1)
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 2)
2 + 4 + 6 +... + 2k + 2 (ك + 1) = (ك + 1) (ك + 1 + 1)

إذن ، P (k + 1) صحيحة

بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) صحيحة لكل n من الأعداد الطبيعية.

• المثال 2:

اثبت ذلك 1 + 3 + 5 +... + (2 ن - 1) = ن² هذا صحيح ، لكل n عدد طبيعي.

إجابة:
ف (ن): 1 + 3 + 5 +... + (2 ن - 1) = ن²

ثم سيظهر أن P (n) صحيحة لكل n ∈ N

• خطوة أولية:
  سيظهر P (1) صحيحًا
  1 = 1²

إذن ، P (1) صحيحة

• خطوة الاستقراء:
  تخيل أن P (k) صحيحة ، وهي:
  1 + 3 + 5 +... + (2 ك - 1) = ك²، ك ∈ ن

سيظهر هذا أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، وهي:
1 + 3 + 5 +... + (2 ك - 1) + (2 (ك + 1) - 1) = (ك + 1)²

من الافتراضات أعلاه إذن:
1 + 3 + 5 +... + (2 ك - 1) = ك²

أضف كلا الجانبين مع u_{ك + 1} :
1 + 3 + 5 +... + (2 ك - 1) + (2 (ك + 1) - 1) = ك² + (2 (ك + 1) - 1)
1 + 3 + 5 +... + (2 ك - 1) + (2 (ك + 1) - 1) = ك² + 2 ك + 1
1 + 3 + 5 +... + (2 ك - 1) + (2 (ك + 1) - 1) = (ك + 1)²

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) صحيحة لكل n من الأعداد الطبيعية.

---

إثبات القسمة

العبارة "أ قابلة للقسمة على ب" مرادفة لـ:

• متعدد ب
• ب عامل
• ب قسمة أ

إذا كانت p قابلة للقسمة على a وكانت q قابلة للقسمة على a ، فسيكون (p + q) أيضًا قابلاً للقسمة على a.

على سبيل المثال ، 4 قابلة للقسمة على 2 و 6 قابلة للقسمة على 2 ، ثم (4 + 6) ستكون أيضًا قابلة للقسمة على 2

• مثال 1:

إثبات 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لكل n عدد طبيعي.

إجابة:

ف (ن): 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5

سيتم إثبات أن P (n) صحيحة لكل n ∈ N.

• خطوة أولية:

سيظهر P (1) صحيحًا
6¹ + 4 = 10 يقبل القسمة على 5

إذن ، P (1) صحيحة

• خطوة الاستقراء:

تخيل أن P (k) صحيحة ، وهي:
6^ك + 4 يقبل القسمة على 5 ، k ∈ N

سيظهر هذا أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، وهي:
6^{ك + 1} + 4 يقبل القسمة على 5.

6^{ك + 1} + 4 = 6(6^ك)+ 4
6^{ك + 1} + 4 = 5(6^ك) + 6^ك + 4

السبب 5 (6^ك) يقبل القسمة على 5 و 6^ك + 4 يقبل القسمة على 5 ، لذا فإن 5 (6^ك) + 6^ك + 4 يقبل القسمة أيضًا على 5.

إذن ، P (k + 1) صحيحة.

بناءً على مبدأ الاستقراء الرياضي ، ثبت أن 6^ن + 4 يقبل القسمة على 5 ، لكل n عدد طبيعي.

العدد الصحيح a سيكون قابلاً للقسمة على عدد صحيح b عند إيجاد العدد الصحيح m ، بحيث يتم تطبيق a = bm.

على سبيل المثال ، "10 قابلة للقسمة على 5" تكون صحيحة نظرًا لوجود أعداد صحيحة م = 2 لذا 10 = 5.2.

لذلك ، يمكن كتابة العبارة "10 قابلة للقسمة على 5" بالشكل "10 = 5 م ، للأعداد الصحيحة م"

بناءً على المفهوم أعلاه ، يمكن أيضًا حل إثبات القسمة باستخدام الطريقة التالية.

• المثال 2:

يثبت³ + 2n ستكون قابلة للقسمة على 3 ، لكل n عدد طبيعي

إجابة:

ف (ن): ن³ + 2 ن = 3 م ، مع م ∈ ضض

سيتم إثبات أن P (n) صحيحة لكل n ∈ نن

• خطوة أولية:

سيظهر أن P (1) صحيحة
1³ + 2.1 = 3 = 3.1

إذن ، P (1) صحيحة

• خطوة الاستقراء:

تخيل أن P (k) صحيحة ، وهي:
ك³ + 2 ك = 3 م ، ك ∈ نن

سيظهر هذا أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، وهي:
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 ص ، ص ∈ ضض

(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = (ك³ + 3 ك² + 3 ك + 1) + (2 ك + 2)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = (ك³ + 2 ك) + (3 ك² + 3 ك + 3)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 م + 3 (ك² + ك + 1)
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 (م + ك² + ك + 1)

بما أن م عدد صحيح و ك عدد طبيعي ، إذن (م + ك² + k + 1) عدد صحيح.

على سبيل المثال ص = (م + ك² + k + 1) ، لذلك:
(ك + 1)³ + 2 (ك + 1) = 3 ص ، مع ص ∈ ضض

إذن ، P (k + 1) صحيحة

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي أعلاه ، ثبت أن n³ + 2n ستكون قابلة للقسمة على 3 ، لكل n عدد طبيعي.

---

إثبات عدم المساواة

فيما يلي بعض خصائص عدم المساواة التي يتم استخدامها غالبًا ، بما في ذلك:

1. طبيعة متعدية
أ> ب> ج ⇒ أ> ج أو
أ

2. a 0 ⇒ ac a> b و c> 0 ⇒ ac> bc

3. أ أ> ب ⇒ أ + ج> ب + ج

قبل أن ندخل في أمثلة الأسئلة ، من الجيد التدرب على استخدام الخصائص أعلاه لإظهار المعنى الضمني "إذا كانت P (k) صحيحة ، فإن P (k + 1) صحيحة أيضًا".

مثال

ف (ك): 4k <2^ك
ف (ك + 1): 4 (ك + 1) <2^{ك + 1}

إذا افترضنا أن P (k) صحيحة لـ k ≥ 5 ، فأظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا!

تذكر أن هدفنا هو العرض ، لذلك:
4 (ك + 1) <2^{ك + 1} = 2(2^ك) = 2^ك + 2^ك (هدف)

يمكننا أن نبدأ من الجانب الأيسر من المتباينة أعلاه إلى:
4 (ك + 1) = 4 كيلو + 4
4 (ك + 1) <2^ك + 4 (لأن 4k <2^ك)
4 (ك + 1) <2^ك + 2^ك (لأن 4 <4k <2^ك)
4 (ك + 1) = 2 (2^ك)
4 (ك + 1) = 2^{ك + 1}

بناءً على الطبيعة المتعدية ، يمكننا أن نستنتج أن 4 (ل + 1) <2^{ك + 1}

لماذا يمكن أن يتغير 4k إلى 2^ك ?

لأنه وفقًا للخاصية 3 ، يُسمح لنا بإضافة طرفي المتباينة بنفس العدد.

لأنه لن يغير القيمة الحقيقية لعدم المساواة. لأن 4K <2^ك صحيح ، والذي ينتج عنه 4k + 4 <2^ك + 4 صحيح أيضًا.

كيف نعرف أنه يجب تغيير 4 إلى 2^ك ?

شاهد الأهداف.

النتيجة المؤقتة التي نحصل عليها هي 2^ك + 4 بينما هدفنا هو 2^ك + 2^ك.

بالنسبة لـ k ≥ 5 ، ثم 4 <4k و 4 k <2^ك هذا صحيح ، لذا 4 <2^ك هو أيضًا صحيح (خاصية متعدية). ينتج عن هذا 2^ك + 4 < 2^ك + 2^ك صحيح (خاصية 3).

مثال على المشاكل

مشكلة 1

برهن على أن لكل عدد طبيعي n ≥ 4 ويثبت
3n <2^ن

إجابة:

ف (ن): 3 ن <2^ن

سيتم إثبات أن P (n) تحمل لـ n ≥ 4 ، n ∈ نن

سيظهر أن P (4) صحيح
3.4 = 12 < 2⁴ = 16

إذن ، P (4) صحيحة

تخيل أن P (k) صحيحة ، وهي:
3 ك <2^ك، ك ≥ 4

سيظهر هذا أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، وهي:
3 (ك + 1) <2^{ك + 1}

3 (ك + 1) = 3 ك + 3
3 (ك + 1) <2^ك + 3 (لأن 3 كيلو <2^ك)
3 (ك + 1) <2^ك + 2^ك (منذ 3> 3 آلاف <2^ك)
3 (ك + 1) = 2 (2^ك)
3 (ك + 1) = 2^{ك + 1}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا.

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n ≥ 4.

المشكلة 2

اثبت ذلك .

مناقشة:

• الخطوة 1

(مثبت)

• الخطوة 2 (ن = ك)

• الخطوة 3 (ن = ك + 1)

.

(تمت إضافة كلا الحقلين .

{مثبت).

مشكلة 3

أثبت أن لكل عدد طبيعي n ≥ 2 ويحمل 3^ن > 1 + 2n

إجابة:

ف (اسم): 3^ن > 1 + 2n

سيتم إثبات أن P (n) تحمل لـ n 2 ، n ∈ نن

سوف تظهر أن P (2) صحيحة وهي:
3² = 9 > 1 + 2.2 = 5

إذن ، P (1) صحيحة

تخيل أن P (k) صحيحة ، وهي:
3^ك > 1 + 2 ك ، ك ≥ 2

سوف تجد أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي
3^{ك + 1} > 1 + 2 (ك + 1)

3^{ك + 1} = 3(3^ك)
3^{ك + 1} > 3 (1 + 2 كيلو) (لأن 3^ك > 1 + 2 ك)
3^{ك + 1} = 3 + 6 كيلو
3^{ك + 1} > 3 + 2 كيلو (لأن 6 كيلو> 2 كيلو)
3^{ك + 1} = 1 + 2 ك + 2
3^{ك + 1} = 1 + 2 (ك + 1)

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n ≥ 2.

اثبت ذلك

مناقشة:

• الخطوة 1

(مثبت)

• الخطوة 2 (ن = ك)

• الخطوة 3 (ن = ك + 1)

تم إثباته بواسطة:

(كلا الجانبين مضاعف )

(2^ك معدلة إلى 2^{ك + 1})

(مثبت)

المشكلة 4

اثبت أن لكل عدد طبيعي n ≥ 5 سيحتوي على 2n - 3 <2^{ن -2}

إجابة:

ف (ن): 2 ن - 3 <2^{ن -2}

سيتم إثبات أن P (n) تحمل لـ n 5 ، n ∈ نن

سيظهر أن P (5) صحيحة
2.5 − 3 = 7 < 2^5-2 = 8

إذن ، P (1) صحيحة

تخيل أن P (k) صحيحة ، وهي:
2 ك - 3 <2^{ك -2}، ك ≥ 5

سيظهر هذا أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، وهي:
2 (ك + 1) - 3 <2^{ك + 1-2}

2 (ك + 1) - 3 = 2 ك + 2-3
2 (ك + 1) - 3 = 2 ك - 3 + 2
2 (ك + 1) - 3 <2^{ك -2} + 2 (لأن 2 ك - 3 <2^{ك -2})
2 (ك + 1) - 3 <2^{ك -2} + 2^{ك -2} (لأن 2 <2 كيلو - 3 <2^{ك -2})
2 (ل + 1) - 3 = 2 (2^{ك -2})
2 (ل + 1) - 3 = 2^{ك + 1-2}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n ≥ 5.

المشكلة 5:

اثبت ذلك لكل عدد طبيعي n ≥ 4 واضغط (n + 1)! > 3^ن

إجابة:

ف (ن): (ن + 1)! > 3^ن

سيتم إثبات أن P (n) تحمل لـ n ≥ 4 ، n ∈ نن

سيظهر P (4) صحيحًا
(4 + 1)! > 3⁴
الجانب الأيسر: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
الجانب الأيمن: 3⁴ = 81

إذن ، P (1) صحيحة

تخيل أن P (k) صحيحة ، وهي:

(ك + 1)! > 3^ك، ك ≥ 4

سيظهر أن P (k + 1) صحيحة أيضًا ، أي
(ك + 1 + 1)! > 3^{ك + 1}

(ك + 1 + 1)! = (ك + 2)!
(ك + 1 + 1)! = (ك + 2) (ك + 1)!
(ك + 1 + 1)! > (ك + 2) (3^ك) (لأن (ك + 1)! > 3^ك)
(ك + 1 + 1)! > 3(3^ك) (لأن ك + 2> 3)
(ك + 1 + 1)! = 3^{ك + 1}

إذن ، P (k + 1) صحيحة أيضًا.

بناءً على مفهوم الاستقراء الرياضي ، ثبت أن P (n) تحمل لكل رقم طبيعي n ≥ 4.

وبالتالي فإن المراجعة من حول Knowledge.co.id عن الاستنتاج الرياضي , نأمل أن تضيف إلى بصيرتك ومعرفتك. شكرا لزيارتك ولا تنسى قراءة مقالات أخرى