الإحداثيات الديكارتية: التعريف ، الأنظمة ، الرسوم البيانية وأمثلة على المشاكل

الإحداثيات الديكارتية: مشاكل التعريف والنظام والرسم البياني والمثال - ماذا تقصد بالإحداثيات الديكارتية بهذه المناسبة حول Knowledge.co.id سيناقش حول الإحداثيات الديكارتية والأشياء التي تحيط بها. دعنا نلقي نظرة على المناقشة معًا في المقالة أدناه لفهمها بشكل أفضل.

الإحداثيات الديكارتية: التعريف ، الأنظمة ، الرسوم البيانية وأمثلة على المشاكل

---

ديكارت ينسق صيغة في الرياضيات تلعب دورًا مهمًا في الجمع بين الجبر والهندسة لذلك سينتج ديكارت ، إحداثيات ديكارت ، والتي كان لها تأثير كبير على تطور الهندسة تحليلي. تم تطوير استخدام هذا النظام في عام 1637 في اثنتين من كتاباته التي قدمت اقتراحات جديدة للإشارة إلى حالة أو موضع نقاط كائن على سطح ما.

غالبًا ما يشار إلى الإحداثيات الديكارتية بإحداثيات مربعة. يستخدم مصطلح Cartesius لإحياء ذكرى عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت. إنه خبير وله دور كبير في الجمع بين الجبر والهندسة.

كانت نتائج اكتشافات ديكارت والإحداثيات الديكارتية مؤثرة للغاية في تطوير الهندسة التحليلية وحساب التفاضل والتكامل ورسم الخرائط. تم تطوير الأساس المنطقي لاستخدام هذا النظام في عام 1637 في اثنين من كتابات ديكارت.

في خطاب ديكارت حول الطريقة ، يقدم اقتراحًا جديدًا للإشارة إلى حالة أو موضع نقطة كائن على سطح ما. هذه الطريقة هي استخدام محورين متعامدين بشكل متبادل في عمل La Géométrie ، في المفهوم الذي سيتم تطويره.

لذلك في الإحداثيات الديكارتية ، يمكنك القفز من أعلى نقطة إذا تم تحديد النقاط بينهما

[-3.1] و [2.3] و [-1.5 و -2.5] و [0.0]. كما تسمى النقطة [0،0] أيضًا بأصل الجملة.

نظرًا لأن المحورين متعامدين مع بعضهما البعض في المستوى xy الذي ينقسم إلى أربعة أجزاء ، يطلق عليه رباعي ويمكن رؤيته عند النقاط المحددة [-3.1] ، والنقاط [2.3] ، والنقاط [-1.5 ، -2.5] .

حسب الاصطلاح ، يمكن فرزها في اتجاهين متعاكسين بدءًا من أعلى اليمين في الربع I ، وكلا الإحداثيين (x و y) نتائج إيجابية.

---

نظام الإحداثيات

سيتم تحديد نظام الإحداثيات الديكارتية في بعدين بشكل عام بواسطة محورين متعامدين بشكل متبادل وكلاهما يقع في مستوى واحد (المستوى xy).

في مجموعة المحور الأفقي المسمى x والمحور الرأسي الذي سيتم تسميته y بنظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد كمحاور متعامدة مع بعضها البعض.

عند تقاطع المحورين ، سيتم تحديد الأصل بشكل عام 0 وله مقياس طول وحدة ملحوظ في نوع من شكل شبكي.

وظيفة لوصف نقطة معينة في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد مع قيمة x (abscissa) متبوعة بقيمة y (تنسيق) مثل التنسيق المستخدم (x ، y).

يتم تمييز المحاور المتعامدة بشكل متبادل في المستوى xy بالأرقام I و II و III و IV وسيتم تطبيقها على إحداثيات x بعلامة سالبة و y موجبة.

موضع نقطة الإحداثيات الديكارتية المكتوبة في أزواج على الرقم (س ، ص) هو.

• x يسمى حدودي أيضًا
• y يسمى الاحداثي

في إحداثيات أن تكون.

• النقطة A عند الإحداثيات (1،0) ، مع A (1،0)
• تقع النقطة B عند الإحداثيات (2،4) ، مع النقطة B (2،4)
• النقطة C عند الإحداثيات (5،7) ، مع C (5،7)
• والنقطة D تقع عند الإحداثيات (6،4) مع D (6،4)

---

وظيفة الإحداثيات الديكارتية

في الرياضيات ، يتم استخدام نظام الإحداثيات الديكارتية لتحديد كل نقطة بالداخل المستوى باستخدام رقمين يشار إليهما عادةً باسم الإحداثي x وكذلك الإحداثي y لتلك النقطة.

غالبًا ما يُشار أيضًا إلى إحداثي x باسم الإحداثي السيني ، بينما يُشار إلى الإحداثي y غالبًا باسم الإحداثي.

لتفسير الإحداثيات ، يلزم وجود خطين موجهين متعامدين مع بعضهما البعض [المحور x والمحور y]. بالإضافة إلى طول الوحدة ، حيث يتم وضع العلامات على كلا المحورين.

انظر بعناية إلى الصورة أدناه:

من الصورة أعلاه ، يمكننا أن نرى ما إذا كان هناك 4 نقاط تم تحديدها. من بين أمور أخرى: [-3،1] ، [2،3] ، [-1.5 ، -2.5] و [0،0]. النقطة [0،0] تسمى أيضًا الأصل.

من الصورة أعلاه يمكننا أن نرى ما يلي:

نظرًا لأن المحورين متعامدين مع بعضهما البعض ، فسيتم تقسيم المستوى xy إلى أربعة أجزاء تُعرف باسم الأرباع. يمكن ملاحظة ذلك في الشكل أعلاه المميز بالنقاط [-3،1] ، والنقاط [2،3] ، والنقاط [-1.5 ، -2.5].

وفقًا للاتفاقية ، يتم ترتيب الأرباع الأربعة بدءًا من أعلى اليمين [الربع الأول] ، بشكل دائري عكس اتجاه عقارب الساعة.

في الربع الأول ، سيكون كلا الإحداثيين (س وص) موجبين.

في الربع الثاني ، سيكون إحداثي x سالبًا وإحداثي y موجبًا.

في الربع الثالث ، سيكون كلا الإحداثيين سالبًا.

وفي الربع الرابع ، ستكون إحداثيات x موجبة و y سالبة.

النقطة [2،3] تقع في الربع الأول ، والنقطة [-3،1] في الربع الثاني والنقطة [-1.5 ، -2.5] في الربع الثالث.

أو بشكل عام ، يتم فرز الأرباع الأربعة بدءًا من أعلى اليمين [الربع الأول] ، بشكل دائري عكس اتجاه عقارب الساعة.

في الربع الأول ، سيكون كلا الإحداثيين [x و y] موجبين.

في الربع الثاني ، سيكون إحداثي x سالبًا وإحداثي y موجبًا.

في الربع III ، سيكون كلا الإحداثيين سالبين ، وفي الربع الرابع سيكون إحداثي x موجبًا و y سلبيًا [لاحظ مرة أخرى في الصورة أعلاه].
الربع قيمة x قيمة y
أنا موجب [> 0] موجب [> 0]
II هي قيمة سالبة [<0] موجبة [> 0]
II سلبي [<0] سلبي [<0]
IV موجب [> 0] سلبي [<0]

يتم تعريف نظام الإحداثيات الديكارتية في بعدين بشكل عام باستخدام محورين متعامدين بشكل متبادل.

حيث يوجد موقعان من المحاور في مستوى واحد ، وهو المستوى xy. سيتم تسمية المحور الأفقي بـ x ، بينما سيتم تسمية المحور الرأسي بـ y.

النقطة التي يلتقي فيها المحورين ، الأصل ، ستتم تسميتها بشكل عام بـ 0.

يحتوي كل محور أيضًا على طول وحدة ، وسيتم تمييز كل من هذه الأطوال بحيث تشكل نوعًا من الشبكة.

لوصف نقطة معينة في نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد ، تكتب قيمة x [الإحداثي] ، متبوعة بالقيمة y [إحداثيات].

بهذه الطريقة ، سيكون التنسيق المستخدم دائمًا هو [x ، y] ولن يتم عكس الترتيب.

يمكن أيضًا استخدام نظام الإحداثيات الديكارتية في الأبعاد الأعلى.

على سبيل المثال: 3 [ثلاثة] أبعاد ، باستخدام ثلاثة محاور وهي المحور س والمحور ص والمحور ع.

إذا كان الخط في بعدين في المستوى xy ، ثم في نظام إحداثيات ثلاثي الأبعاد ، فسيتم إضافة محور آخر والذي غالبًا ما يسمى z.

حيث يكون هذا المحور z عموديًا بشكل متبادل على المحور x والمحور y [بمعنى آخر ، يكون المحور x والمحور y والمحور z متعامدين أو متعامدين بشكل متبادل].

---

تحديد النقاط في نظام الإحداثيات الديكارتية

يشار إلى المستوى المسطح أعلاه على أنه مستوى الإحداثيات المكون من الخط العمودي Y (المحور Y) والخط الأفقي X (المحور X).

ستتقاطع النقاط بين الخط Y وخط X ، والذي يسمى مركز الإحداثيات (النقطة O).

تُعرف هذه الإحداثيات باسم مستويات الإحداثيات الديكارتية. كما هو موضح أعلاه ، يتم استخدام مستوى الإحداثيات الديكارتية لتحديد موقع النقطة المعبر عنها في أزواج من الأرقام.

لاحظ النقاط A و B و C و D في المستوى. لتحديد الموضع ، ابدأ من النقطة O. ثم تحرك أفقيًا نحو اليمين (المحور X) ، ثم تحرك لأعلى (المحور Y).

تتم كتابة موضع النقطة على مستوى الإحداثيات الديكارتية في شكل زوج أرقام (x ، y) ، حيث:

يُشار إلى x أيضًا باسم الإحداثي السيني
y يسمى الاحداثي.

في المستوى الإحداثي ، ثم:

تقع النقطة أ عند الإحداثيات (1،0) ، مكتوبة بالشكل أ (1،0).
تقع النقطة B عند الإحداثيات (2،4) ، مكتوبة ب (2،4).
تقع النقطة C عند الإحداثيات (5،7) ، مكتوبة بالشكل C (5،7).
والنقطة D عند الإحداثيات (6،4) مكتوبة بالشكل D (6،4).

في مستوى الإحداثيات الديكارتية يمكننا توسيعه ليكون كما في الصورة أدناه:

كمثال:

إحداثيات النقطة E هي (2،2).
يتم الحصول على إحداثيات النقطة F ، أي (-2،1) بالتحرك أفقيًا إلى اليسار بدءًا من النقطة O بمقدار وحدتين ثم عموديًا لأعلى بمقدار وحدة واحدة.
يتم الحصول على إحداثيات النقطة G ، أي (-3 ، -3) بالتحرك أفقيًا إلى اليسار بدءًا من النقطة O بثلاث وحدات ثم عموديًا لأسفل بمقدار ثلاث وحدات.

---

الفوائد الديكارتية

باستخدام نظام الإحداثيات الديكارتية ، يمكننا وصف الأشكال الهندسية مثل المنحنيات باستخدام المعادلات الجبرية. في هذا العصر الحديث ، تم استخدام الإحداثيات الديكارتية على نطاق واسع. فيما يلي بعض فوائد الإحداثيات الديكارتية ، بما في ذلك:

أولاً:

غالبًا ما نجد في الحياة اليومية مخططات وخرائط للطوابق. أين هي وظيفة الخريطة نفسها لتسهيل العثور على موقع أو مكان أو منطقة. وبالمثل عندما نريد إرسال رسالة إلى شخص ما. عند إرسال خطاب إلى شخص ما ، يجب أن نعرف العنوان الكامل والصحيح للوجهة.

يهدف إلى تسهيل تسليم الرسالة نفسها. لذلك ، إذا قمنا بتضمين العنوان بشكل صحيح وكامل ، فسيصل الحرف بشكل أسرع. تُظهر الخريطة أيضًا خطوط الطول والعرض.

ثانية:

الإحداثيات الديكارتية ضرورية للغاية في الحياة اليومية. واحد منهم في شؤون الطيران. يمكن للطيار أن يقود طائرته دون الاصطدام ببعضه البعض ويمكنه أيضًا معرفة ما إذا كانت الطائرة قد وصلت إلى وجهتها.

وذلك لأن الطائرة تم تجهيزها بمعدات متطورة مثل الرادار كأداة للكشف ، والبوصلة كدليل للاتجاه ، وكذلك الراديو كوسيلة للاتصال. لذلك يجب على الطيار فهم كيفية قراءة وتحديد موقع مكان ما في مستوى الإحداثيات الديكارتية.

ثالث:

في دروس الدراسات الاجتماعية ، غالبًا ما نصادف خريطة مقاطعة أو حتى خريطة دولة. يمكننا وصف موقع مدينة أو جبل أو بحيرة أو مطار كموقع. لتسهيل قراءة الخريطة ، تم تجهيز الخريطة بإرشادات أفقية ورأسية أو خطوط الطول والعرض. أساس عمل الخط الذي هو أساس مستوى الإحداثيات.

---

مجال الإحداثيات الديكارتية

في الحقل يمكن أن يرسم شعورًا أنه أسهل في مستوى الإحداثيات الديكارتية مع المستوى مسطحة في مستوى الإحداثيات على الخط الرأسي Y (يسمى المحور Y) والخط الأفقي X (يسمى المحور Y). X).

يسمى تقاطع المحورين X و Y بإحداثيات المركز أو إحداثيات القاعدة ، لذلك تسمى مستويات الإحداثيات هذه مستويات الإحداثيات الديكارتية.

يمكن استخدام مستويات الإحداثيات لتحديد المواضع بنقاط محددة في زوج أرقام ، على سبيل المثال ، يتم تقسيم محوري x و y إلى محاور x. وستحصل على نتيجة موجبة ومحور ص سالب.

الربع الأول من المحور x والمحور y النتائج الإيجابية
الربع الثاني من المحور x والمحور y النتائج الإيجابية
الربع الثالث للنتائج السلبية للمحور السيني والمحور الصادي
الربع الرابع من نتائج المحور السيني والمحور الصادي سلبية

اقبل هذا المثال!

تقع النقطة B في I مع قيم x - y الموجبة
قم بالوصول إلى النقطة II بقيم x الموجبة والسالبة
تقع النقطة D في الربع III في قيم x و y السالبة
تقع النقطة A في الربع IV في موجب x وقيم سالبة

---

أمثلة على المشاكل ومناقشة الإحداثيات الديكارتية

• ---

  المشكلة 1

إحداثي النقطة أ (9 ، 21) هو.

أ. -9
ب. 9
ج. -21
د. 21

إجابة:

بشكل عام ، اكتب النقطة = (abscissor ، ordain) ، في المسألة أعلاه ، النقطة A (9 ، 21) هي.

الحد الأقصى للإحداثيات = 9

ترتيب = 21

والجواب الصحيح هو د.

• المشكلة 2

في أي ربع تقع النقاط أدناه؟

(2,3)
(3,3)
(-4,7)
(85,-77)
(-54,2)

إجابة

(2،3) تقع في الربع الأول
(3،3) تقع في الربع الأول
(-4.7) يقع في الربع الثاني
(85، -77) يقع في الربع الرابع
(-54.2) يقع في الربع الثالث

• مشكلة 3

تسمى النقاط المعروفة P (3 ، 2) و Q (15 ، 13) والتي ستكون مرتبطة بالنقطة Q فيما يتعلق بـ P.

أ. (12, 11)
ب. (12, 9)
ج. (18, 11)
د. (18, 13)

إجابة:

يمكننا إيجاد الإحداثيات النسبية من النقطة Q إلى النقطة P بطرح الأرقام.

أ. Abscissa Q ناقص abscissa P

ب. الاحداثيات Q مطروحاً منها الاحداثى P.

ج. لذا فإن إحداثي Q متعلق بـ P.

د. (15-3, 13-2) = (12, 11)

اجابة صحيحة. أ

• المشكلة 4.

إحداثي النقطة أ (9 ، 21) هو ...

أ. -9
ب. 9
ج. -21
د. 21

إجابة:

بشكل عام ، كتابة نقطة = (الإحداثي ، الإحداثي). في المشكلة أعلاه ، توضح النقطة أ (9 ، 21) ما إذا كان:

الخراج = 9

ترتيب = 21

والجواب الصحيح هو د.

• المشكلة 5.

النقاط P (3، 2) و Q (15، 13) معروفة. الإحداثيات النسبية للنقطة Q إلى P هي ...

أ. (12, 11)
ب. (12, 9)
ج. (18, 11)
د. (18, 13)

إجابة:

يمكننا إيجاد الإحداثيات النسبية للنقطة Q للنقطة P بطرح:

أ. الحد الأقصى لـ Q ناقص حدودي P.

ب. الاحداثيات Q مطروحاً منها الاحداثى P.

وبالتالي ، فإن الإحداثيات النسبية من Q إلى P هي:

(15 – 3, 13 – 2) = (12, 11)

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

• المشكلة 6.

تكملة الزاوية 48 درجة ...

أ. 42°
ب. 52°
ج. 68°
د. 138°

إجابة:

المتمم = 90-48 = 42

إذن ، الإجابة الصحيحة هي أ.

• المشكلة 7.

النقاط A (3 ، 2) ، B (0 ، 2) و C (-5 ، 2) كنقاط يتقاطع معها الخط p الموازي للخط p ، الخط q

أ. بالتوازي مع المحور السيني
ب. بالتوازي مع المحور ص
ج. عمودي على المحور x
د. عمودي على المحور ص

الجواب: د

---

وبالتالي فإن المراجعة من حول Knowledge.co.id عن الإحداثيات الديكارتية، نأمل أن تضيف إلى بصيرتك ومعرفتك. شكرا لزيارتك ولا تنسى قراءة مقالات أخرى